4 (Лекции)

ТЕОРИИЯ ПОДОБИЯОбщие положенияСложные процессы, протекающие в тепловых агрегатах, зависят от различных факторов. Взаимодействие этих факторов можно с известной степенью точности описать математически с помощью обыкновенных или дифференциальных уравнений. Решение такихуравнений обычно крайне затруднено или возможно лишь при условии введения ряда упрощающих условностей.Такое положение приводит к необходимости экспериментального исследования интересующих нас процессов на моделях или на действующих агрегатах.В задачу теории подобия входит установление способов обобщения результатовэксперимента и выяснение возможности использования их для других аналогичных объектов.Подобными называются явления, у которых отношение характеризующих их величин есть величина постоянная. В дальнейшем будут рассмотрены следующие виды подобия: геометрическое, механическое, гидромеханическое и тепловое.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕНаиболее простым является геометрическое подобие.Из геометрии известно, что все стороны подобных треугольников (и вообще систем), а также любые отрезки, соединяющие две пары соответствующих точек, пропорциональны.Если обозначим стороны и другие соответствующие линии в подобных треугольниках через l1' , l2' , l3' , l4' ...

в одном треугольнике и через l1'' , l2'' , l3'' , l4'' ... в другом (рис. 8.1), то получим:Рис. 1. Геометрическое подобиеl1'' l2'' l3'' l4''= = = = ... = K l (8.1)l1' l2' l3' l4'где Kl - коэффициент пропорциональности, называемый в данном случае константой геометрического подобия.Далее будет показано, что при подобии других физических величин возможны другие константы подобия.Из уравнения (8.1) следует, чтоl1'' − l2'' dl ''== Kll1' − l2' dl 'Отсюда видно, что в подобных системах отношение приращений величин, выраженное в конечной или дифференциальной форме, также равно константе подобия.Отношение между двумя сходственными отрезками одной системы равно такому жеотношению в другой системе:l1' l1''= = ... = idem (Обозначение idem означает «одно и то же»)l2' l2''Здесь впервые встречаемся с величинами в подобных системах, которые сохраняютодно и то же значение.При одинаковых размерностях составляющих величин - эти величины называютсясимплексами, при разных размерностях - инвариантами или критериями подобия.8.3.

МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕБолее сложным случаем является механическое подобие явлений, при котором, кроме обязательного сохранения геометрического подобия, необходимо кинематическое и динамическое подобия. При этом необходимо соблюдать одинаковое отношение скоростей исохранять отношение действующих сил, приложенных в сходственных точках подобныхсистем.Исходным уравнением для анализа условий механического подобия является второйзакон Ньютона:F = ma = mwτгде F - сила, Н; m - масса тела, кг; a = - ускорение движущегося тела, м/с2 (w - скорость,м/с; - время процесса, с).Рассмотрим две подобные системы:для первой системы F1 = m1для второй системы F2 = m2откудаF1 m1 w1 τ 2=F2 m2 w2 τ 1w1τ1w2τ2;Все члены этого уравнения являются соответствующими константами подобия:F1= K F - константа динамического подобия;F2w1= K w - константа кинематического подобия;w2m1= K m - константа материального подобия;m2τ1= Kτ - константа временного подобия.τ2Произведя соответствующие подстановки, получим:Kτ K F= 1, 0Km Kw(8.6)Это условие определяет выбор констант подобия, которые не могут иметь произвольных, независимых друг от друга значений.Подставив в уравнение (8.5) приведенные выше значения констант подобия, получим:F 'τ ' F ''τ ''Fτ= '' '' = ...

== idem' 'mw m wmwПолученный критерий подобия называется критерием Ньютона и имеет обозначениеNe =Fτ= idemmw(8.8)Чаще критерию Ne придают другую форму при замене τ =Ne =Fl= idem .mw2Заменяя силу F через F =Ne =Fll=2mwwτl:w(8.9)mwτ, получим другое выражение критерия Ньютона:(8.10)Обратную величину часто называют критерием гомохронности:Ho =1wτ=Nel(8Л1>Величина l в формулах, численно равная пути, пройденному со скоростью w, является определяющим размером критерия подобия.Величину определяющего размера можно выбрать произвольной вследствие геометрического подобия систем, но при всех случаях дальнейшего использования критериянужно сохранять сходственное значение.

Так, если в качестве определяющего критериявыбран радиус тела, то в дальнейшем при подсчете критериев других систем следует подставлять только радиус.Критерии подобия, в состав которых входит время, называют критериями гомохронности вообще. Эти критерии устанавливают связь между временем протекания процесса идругими характеризующими его параметрами. Выведенный ранее критерий Но являетсянаиболее простым из критериев такого рода. Другой критерий гомохронности - критерийФурье - будет приведен ниже.Критерии гомохронности используют при анализе неустановившихся (нестационарных) процессов.Нетрудно убедиться, что размерность критериев подобия всегда равна единице. Привычислении критериев подобия необходимо особенно внимательно следить за тем, чтобы вокончательном результате получилась безразмерная величина.Рассмотренный способ определения критериев подобия называется способом масштабных преобразований.

Этот способ усложняется, если исходное уравнение дано в дифференциальной форме.Вэтомслучаеможетбытьиспользованспособ,впервыепредложенныйА.А.Гухманом (описан без доказательств). При нахождении критериев подобия в исходномуравнении отбрасывают символы дифференцирования, индексы, знаки суммирования и др.8.4. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕКритерии подобия при движении сжимаемых и несжимаемых жидкостей получаютза счет преобразования основного критерия Ньютона. В этом случае в уравнении (8.9) вместо силы можно подставить следующие величины: силы трения, тяжести, давления и поверхностного натяжения.Рассмотрим последовательно все случаи за исключением последнего, который относится целиком к капельным жидкостям.Выделим в потоке вязкой несжимаемой жидкости элементарный куб с ребрами dx.Выделенный объем движется со скоростью w м/с.

Масса элементарного куба dm = ρdx3 иопределяющий размер в критерии подобия l = dx (рис. 8.2).Рис. 8.2. Схема к выводу основных критериев гидромеханического подобияСила внутреннего трения согласно уравнению (6.1) равна:F =T = μdw 2dxdx(8.12)Подставляя это значение в уравнение (8.9), получим:Ne =μdw 2dx dxdx.dx 3 ρ w2(8.13)Используя метод А.А. Гухмана, получим:Ne =μρwx= idem(8.14)Обратная величина этого выражения представляет собой критерий Рейнольдса:Re =wlν= idem ,(8.15)где l=х - определяющий размер критерия; ν - кинематическая вязкость, м2/с.Подставив вместо F силу тяжести F = mg и произведя аналогичные преобразования,получим критерий Фруда:Fr =gl= idemw2(8.16)Если критерий Рейнольдса является мерой отношения инерционных и вязкостныхсил при движении жидкости, то критерий Фруда является мерой отношения инерционныхи гравитационных сил.Вместо критерия Фруда можно применять критерий Галилея - Ga, равный произведениюGa = Fr Re 2 =gl w2l 2 gl 3= 2 = idem .νw2 ν 2(8.17)Критерий Галилея применяют в тех случаях, когда скорость потока невозможно оп-ределить по каким-либо причинам.В практике строительства печей большое значение имеет критерий Архимеда Ar,который учитывает действие подъемной силы газов.

Критерий Ar получится, если в критерий Галилея вместо ускорения силы тяжести g подставить ускорение подъемной силыa=gρ0 − ρ, где ρ0 и ρ - плотности холодных и горячих газов:ρ0Ar =gl 3 ρ0 − ρν2ρ0.(8.18)Если плотность меняется при изменении температуры, то ρ = ρ0(l + βΔt), где β - коэффициент объемного расширения для жидкости, который берут из справочных таблиц, адля газаβ=1 1273 αПодставляя значение ρ в уравнение (8.18), получим критерий Грасгофа:Gr = βgl 3ν2Δt = idem .(8.19)Физический смысл критериев Fr, Ga, Ar, Gr одинаков. По существу, это четыре разновидности одного и того же критерия.Результирующая сил давления, действующих на грани элементарного куба, равна:F = ( p1 − p2 ) dx 2 = Δpdx 2 (рис.

8.2). ОтсюдаNe =Δpdx 2 dxρ dx 2 w2(820)Используя метод Гухмана, получим:Ne =p= idem .ρ w2(8.21)Этот критерий называют критерием Эйлера (EU). Часто вместо абсолютного давления р в критерии используют потерю давления Δр в пределах исследуемого объекта. Вэтом случае критерий Эйлера определяют следующим образом:Eu =Δp= idemρ w2(8.22)8.5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯПри практическом применении теории подобия используют три основных ее теоремы.Первая теорема: физические процессы, подобные друг другу, имеют одинаковые повеличине критерии подобия.Из этой теоремы следует, что при экспериментальных исследованиях в первую очередь необходимо измерять величины, входящие в состав критериев подобия.Вторая теорема: решение дифференциальных уравнений, выражающих сущностьданного физического процесса, можно представить в виде функциональной связи междукритериями подобия.Так, при изучении движения вязкой жидкости в трубах находят зависимость видаl⎞l⎛— отношение длины трубы к диаметру (симплекс).Eu = f ⎜ Re, ⎟ , гдеdd⎠⎝Eu =Δp= idem .ρ w2Предположим, что определяют опытным путем потерю давления в трубопроводе.Опыты проводят с разными жидкостями и газами при разных скоростях.

В результате опытов полученная обобщенная зависимость Eu = f (Re ) , приведенная на рис. 1. Эта кривая характеризует любую жидкость и газ, независимо от того, использовали их при проведенииэксперимента или нет.Рис. 1. Зависимость критерия Эйлера от критерия Рейнольдсапри неизменных геометрических условияхКривые критериальных зависимостей обычно обрабатывают в виде степенныхфункций. Для нашего случая такую кривую можно выразить следующей формулой:nl⎞Eu = A Re ⎜ ⎟ .⎝d⎠m⎛Постоянные коэффициенты А, m, n находят в результате обработки опытных данных.Третья теорема подобия (теорема В.М.Кирпичева и А.А.Гухмана) определяет условия обеспечения подобия физических явлений: у подобных явлений условия однозначности одинаков и критерии, полученные из условий однозначности, равны между собой.Таким образом, из третьей теоремы подобия возникает необходимость обеспечитьодинаковые условия однозначности процесса.Дифференциальные уравнения, выражающие физический процесс, имеют обычнобесконечное количество решений.