ЛР №.1.4.8. Измерение модуля Юнга методом акустического резонанса

Лабораторная работа 1.4.8 Измерение модуля Юнга методом акустического резонанса Цель работы: исследование явления акустического резонанса. Измерение скоростираспространения продольных колебаний в тонких стрежнях. Измерение модуляЮнга различных материалов.В работе используются: генератор звуковых частот, частотомер, осциллограф,электромагнитные излучатель и приемник колебаний, набор стержней из различных материалов (стали, алюминия, меди).Распространение продольных волн в тонких стержнях Акустические волны, распространяющиеся в металлических стержнях,существенно отличаются от волн в неограниченной среде.

Строгий анализраспространения таких волн связан с довольно громоздкими математическими расчетами. Будем рассматривать волны, длина λ которых велика посравнению с радиусом R стержня. Опишем распространение продольнойволны вдоль оси тонкого стержня постоянного сечения площадью S .Стержень считается тонким в том случае, когда радиус стержня R мал посравнению с длиной волны λ , т. е. R / λ1.Рис. 1. Силы, действующие на элемент стержня при продольных колебанияхНаправим ось x вдоль геометрической оси стержня (рис. 1).

Под действием продольной силы F элементарный отрезок стержня Δx , ограниченный плоскостями Δx и (x + Δx ) , растянется или сожмется на величину Δξ =∂ξ∂xΔx , где ∂ξ / ∂x — относительное удлинение, т. е. деформацияэлемента стержня. Напряжение σ (т. е. сила, действующая на единицу поперечного сечения стержня) согласно закону Гука равноF∂ξ.(1)σ= =ES∂x1Коэффициент пропорциональности E носит название модуля Юнга и имеет размерность Н/м2.В результате переменной деформации вдоль оси стержня будет распространяться продольная волна. Действительно, в сечениях x и x + Δxнапряжения будут различными, а их разность можно записать следующимобразом:1 ∂F∂ ⎛⎜ F ⎞⎟∂σσ(x + Δx ) − σ(x ) =Δx =Δx .(2)⎜⎜ ⎟⎟ Δx =⎟⎜S ∂x∂x ⎝ S ⎠∂xЭта разность напряжений вызовет движение элемента стержня массойm = S ρ Δx вдоль оси x ( ρ — плотность материала стержня). Используясоотношения (1) и (2), на основании второго закона Ньютона уравнениедвижения этого элемента можно записать в виде:S ρ Δx∂2 ξ∂t 2= SE∂2 ξ∂x 2Δx .(3)2Обозначив E / ρ через cст, выражение (3) запишем в следующем виде:∂2 ξ2= cст⋅∂2 ξ.(4)∂t 2∂x 2Это уравнение носит название волнового  уравнения.

Оно, в частности,описывает распространение продольных волн в стержне. Общее решениеволнового уравнения можно представить в форме двух бегущих волн, распространяющихся в обе стороны вдоль оси x со скоростью cст :ξ(x , t ) = f (cстt − x ) + g(cстt + x ) ,(5)где f и g — произвольные функции (определяемые начальными и граничными условиями).Параметр cст в выражениях (4) и (5) имеет смысл скорости распространения волны. В рассматриваемом нами случае R / λ → 0 скорость распространения упругой продольной волны стремится к величинеE.(6)ρВ данной работе исследуются именно такие волны.Отметим, что в высокочастотном (т. е. коротковолновом) пределеR скорость акустических волн в стержне стремится к скоростипри λпродольных волн в неограниченной среде ( μ — коэффициент Пуассона):cст ≈ci =E (1 − μ).ρ(1 + μ)(1 − 2μ)2(7)Собственные колебания стержня В случае гармонического возбуждения колебаний с частотой f продольная волна в тонком стержне может быть представлена в виде суперпозиции двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн:ξ(x , t ) = A1 sin(ωt − kx + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + kx + ϕ2 ) ,(8)где ω = 2π f — циклическая частота, коэффициент k = 2π / λ называютволновым числом или пространственной частотой. Здесь первое слагаемоеописывает волну, бегущую в положительном направлении по оси x , второе — в отрицательном.

Скорость их распространения равнаcст = ω / k .Соотношения между амплитудами A1,2 и начальными фазами ϕ1,2 , а такжевозможные частоты колебаний ω определяются граничными условиями наконцах стержня.Предположим, во-первых, что при отражении волны от каждого из концов не происходит потери энергии — в таком случае будут одинаковы амплитуды «падающей» и «отражённой» волн на каждом из концов:A1 ≈ A2 .(9)Далее, если концы стержня не закреплены, то напряжение (1) в нихдолжно быть равно нулю. Положив координаты концов стержня равнымиx = 0 и x = L , запишем эти условия как∂ξ∂x=x =0∂ξ∂x= 0.(10)x =LСоотношения (10) должны выполняться в произвольный момент времени.Взяв производную по x от (8) в точке x = 0 , получим, что для справедливости (10) необходимоϕ2 = ϕ1 .(11)Таким образом, при отражении синусоидальной волны от свободного конца стержня, её фаза не изменяется (если же концы закреплены, нетруднополучить, что фазы волн должны отличаться на π ).Теперь перепишем (8), используя условия (9) и (11) и формулу суммысинусов:ξ(x , t ) = 2A cos(kx ) sin(ωt + ϕ) .(12)Колебания вида (12) называют гармонической стоячей волной.Подстановка второго условия (10) в (12) даёт уравнение sin(kL) = 0 ,которое определяет набор допустимых значений волновых чисел:kn L = πn , n = 1, 2, 3, …(13)или, выражая (13) через длину волны, получим3L =nλn.(13’)2Таким образом, на длине стержня должно укладываться целое число полуволн.

Допустимые значения частотπcc(14)ωn = kncст = n ст , или fn = n ст2LLназывают собственными частотами колебаний стержня длиной L . Зависимость амплитуды смещения ξ от координаты x для собственных колебаний стержня с незакреплёнными концами при n = 1, 2, 3 представлена нарис.

2.Рис. 2. Собственные продольные колебания стержня с незакреплёнными концамиЗаметим, что в реальной системе стоячая волна не может быть реализована в чистом виде: всегда существуют потери энергии, связанные, в томчисле, с отражением волн на краях стержня ( A1 ≠ A2 ).

Поэтому для поддержания колебаний необходимо наличие некоторого стороннего возбудителя.Измерение скорости распространения  продольных волн в стержне Зная плотность материала и величину скорости cст можно по формуле (6) вычислить модуль Юнга материала E . Для определения скорости cст в данной работе используется метод акустического резонанса. Этоявление состоит в том, что при частотах гармонического возбуждения, совпадающих с собственными частотами колебаний стержня f ≈ fn , резкоувеличивается амплитуда колебаний, при этом в стержне образуется стоячая волна1.Заметим, что в идеальном случае резонанс достигался бы при строгом совпадении частот, а амплитуда в резонансе стремилась бы к бесконечности.

В реальности возбуждениестоячей волны возможно при малом отклонении частоты от резонансной — тогда амплитудаA ( f − fn ) конечна и имеет максимум при f = fn . Как показывается в теории колебаний (см.Лабораторный практикум по общей физике Т. 1. Механика, раздел IV), обратная относительная ширина этого максимума пропорциональна добротности системы: f / Δf ∼ Q .14В данной работе возбуждение колебаний происходит посредством воздействия на торец стержня периодической силой, направленной вдоль егооси. Зная номер гармоники n и частоту fn , на которой наблюдается резонансное усиление амплитуды колебаний, вызванных периодическим воздействием на торец стержня, можно рассчитать скорость распространенияпродольных волн в стержне:2Lfn.(15)cст = fn λn =nТаким образом, для того, чтобы измерить скорость cст , нужно измеритьчастоты резонансных гармоник для различных n , и зная геометрическиеразмеры стержня, рассчитать скорость по формуле (15).

Далее, поформуле (6) можно рассчитать и модуль Юнга материала, из которогоизготовлен стержень. Этот метод определения модуля Юнга материалаявляется одним из самых точных.Описание экспериментальной установки Схема экспериментальной установки приведена на рис. 3. Исследуемыйстержень 5 размещается на стойке 10. Возбуждение и прием колебаний встержне осуществляются электромагнитными преобразователями 4 и 6,расположенными рядом с торцами стержня.

Крепления 9, 11электромагнитов дают возможность регулировать их расположение повысоте, а также перемещать вправо-влево по столу 12.Электромагнит 4 служит для возбуждения упругих механическихпродольных колебаний в стержне. На него с генератора звуковой частоты 1подается сигнал синусоидальной формы. Сигнал с опорного выхода (выходсинхронизации) генератора поступает на частотомер 2 и вход каналаCH 1(X) осциллографа 3.Протекающий по катушке возбуждающего преобразователя 4переменный ток I ∼ создает магнитное поле B∼ , пропорциональное I ∼ , вкотором находится один конец стержня. На этот конец стержня будетдействовать переменная сила F∼ , величина которой пропорциональна B 2(в случае немагнитных стержней на их концы наклеиваются тонкие дискииз магнитной стали).

Для получения линейной связи между возбуждающейсилой F∼ и током I ∼ в преобразователе имеется постоянный магнит, полекоторого B0 значительно больше B∼ . В этом случае действующая настержень переменная сила пропорциональна5F∼ ∝ (B0 + B∼ )2 ≈ B02 + 2B0B∼ ∝ const + B0I ∼ ,B∼2 . Линейная связь между током и действующей силойтак как 2B0B∼позволяет определить частоту переменной силы по измерению частотысигнала генератора.3X12Y765489101112Рис.

3. Схема установки: 1 — генератор звуковой частоты, 2 — частотомер,3 — осциллограф, 4 — электромагнит-возбудитель, 5 — образец, 6 — электромагнит-приемник, 7 — усилитель звуковой частоты, 8 — блок питанияусилителя, 9, 11 — стойки крепления электромагнитов, 10 — стойка крепления образца, 12 — направляющая.Рядом с другим торцом стержня находится аналогичныйэлектромагнитный датчик 6, который служит для преобразованиямеханических колебаний в электрические.При колебаниях стержня магнитное поле, в котором находится торецстержня, изменяется и вызывает ЭДС в электромагните 6. Амплитуда этойЭДС пропорциональна амплитуде колебаний стержня, а частота совпадает счастотой генератора.