МУ Относительно относительности

Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈÍÀ ÏÅÂÎÌ ÊÓÑÅÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåÌóäðåö Ýéíøòåéí èãðàòü íà ñêðèïêå ìîã.Íî ñëàâó ïðèíåñëî åìó äðóãîå:Òåîðèè åãî ìîãëè ïîíÿòü ëèøü äâîå Îí ñàì, äà âðåìåíàìè Áîã.Ä.Ê. îññåòòåðÅñòåñòâåííûå ñëîæíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè çíàêîìñòâå ñ îñíîâàìè òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè íà ïåðâîì êóðñå, óñóãóáëÿþòñÿ çàòðóäíåíèÿìè ñ ïîäáîðîì ïîäõîäÿùåé ëèòåðàòóðû.  êóðñå Ñèâóõèíà [1℄ ñîîòâåòñòâóþùèéìàòåðèàë îòíåñ¼í â IV òîì (Îïòèêà); èçëîæåíèå Ôåéíìàíà [2℄ íå ñëèøêîì õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðîãðàììîé êóðñà; ó Êèòòåëÿ [3℄ âåëèê îáú¼ìðàçäåëà, ïîñâÿùåííîãî ðåëÿòèâèñòñêèì âîïðîñàì. íàñòîÿùåì ïîñîáèè ñäåëàíà ïîïûòêà äîñòàòî÷íî êîìïàêòíî èçëîæèòü ýëåìåíòàðíûå âîïðîñû ×àñòíîé èëè Ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ), èçó÷àåìûå â êóðñå îáùåé èçèêè Ìîñêîâñêîãî èçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà (â ðàçäåëå Ìåõàíèêà, ò.å.

â ïåðâîì ñåìåñòðå). òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè àâòîð â îïðåäåë¼ííîé ìåðå ñëåäîâàë ëîãèêå Êèòòåëåâà èçëîæåíèÿ; â ïîäáîðå çàäà÷ èñïîëüçîâàíû ðàçðàáîòêè êàåäðû.Íåêîòîðûå âîïðîñû, íå ÿâëÿþùèåñÿ îáÿçàòåëüíûìè, íî íåðåäêî âûçûâàþùèå èíòåðåñ ó àêòèâíûõ ñòóäåíòîâ (â òîì ÷èñëå ïðåäûñòîðèÿ ÑÒÎ),âûíåñåíû â Ïðèëîæåíèÿ.3Ìåõàíèêà àëèëåÿÍüþòîíà òåîðèÿ äâèæåíèÿ òåë ñî ñêîðîñòÿìè,ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Ýòî åñòåñòâåííî, òàê êàê ýòàìåõàíèêà è âîçíèêëà èç îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ íàáëþäåíèé è ýêñïåðèìåíòîâ. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè îïèñûâàåòäâèæåíèÿ ñî âñåâîçìîæíûìè ñêîðîñòÿìè. Îíà êàê áû ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåõàíèêè Íüþòîíà, èëè êîíêðåòíåå ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè àëèëåÿ, è å¼ îñíîâíîé èíñòðóìåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà îáîáùåíèåïðåîáðàçîâàíèé àëèëåÿ.  ýòîì ñìûñëå ÑÒÎ ìîæíî ñ÷èòàòü ¾ìåõàíè÷åñêîé¿ òåîðèåé, ò.å.

òåîðèåé, îòíîñÿùåéñÿ ê ìåõàíèêå.Èñòîðè÷åñêè, îäíàêî, ÑÒÎ âîçíèêëà èç ïîòðåáíîñòåé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé. Íå ñëó÷àéíî îñíîâîïîëàãàþùàÿ ñòàòüÿ Ýéíøòåéíà(1905) íàçûâàëàñü ¾Ê ýëåêòðîäèíàìèêå äâèæóùèõñÿ òåë¿.Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ýëåêòðîäèíàìèêè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà íåóäàâàëîñü ñîãëàñîâàòü ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè àëèëåÿ.Ïîïûòêè èçìåíèòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà òàê, ÷òîáû îíè íå âõîäèëèâ ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè àëèëåÿ, îêàçàëèñü áåñïëîäíûìè. Ïîòðåáîâàëîñü èçìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèé.Ýòèì, îäíàêî, äåëî íå îãðàíè÷èëîñü.

Êîãäà ìåñòî ïðåîáðàçîâàíèé àëèëåÿ îêîí÷àòåëüíî çàíÿëè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (ñì. Ïðèëîæåíèå 1),âûÿñíèëîñü, ÷òî íåîáõîäèì êîðåííîé ïåðåñìîòð ïðåäñòàâëåíèé î ñâîéñòâàõïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ îò Íüþòîíîâûõ ïðåäñòàâëåíèé î ñóùåñòâîâàíèè àáñîëþòíîãî âðåìåíè è àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà,çàïîëíåííîãî, êàê ñ÷èòàëà èçèêà XIX âåêà, íåïîäâèæíûì îòíîñèòåëüíîýòîãî àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà ñâåòîíîñíûì ýèðîì ñðåäîé, â êîòîðîéðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, â òîì ÷èñëå ñâåò.* * *Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà íà÷èíàåòñÿ ñ ïðîâîçãëàøåíèÿ äâóõ ïîñòóëàòîâ.Ïîñòóëàò I. Íèêàêèìè îïûòàìè íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü, êàêàÿ èç èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìíåïîäâèæíà.åò.àëèëåé óòâåðæäàë òî æå ñàìîå, íî òîëüêî â ñâÿçè ñ ìåõàíè÷åñêèìè îïûòàìè.

Åñëè æå ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ îïûòîâ, ïîíÿòèå íåïîäâèæíîéñèñòåìû ïîëíîñòüþ òåðÿåò ñìûñë. Íüþòîíîâî íåïîäâèæíîå, àáñîëþòíîå ïðîñòðàíñòâî ïîïðîñòó èñ÷åçàÇàîäíî èñ÷åçàåò çàïîëíÿþùàÿ ýòî ïðîñòðàíñòâî ñðåäà, ñëóæàùàÿ ïåðåäàò÷èêîì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí:¾Ýéíøòåéí èçãíàë ýèð!¿4Ïî Ýéíøòåéíó ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû (â ÷àñòíîñòè, ñâåò) ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ïóñòîòå.

È îíè òîæå íå äàþò âîçìîæíîñòè îòëè÷èòü ¾àáñîëþòíóþ ñèñòåìó îòñ÷¼òà¿.Ïîñòóëàò II. Ñêîðîñòü ñâåòà â ïóñòîòå îäíà è òà æå âî âñåõèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷¼òà: c = inv.Åñëè ïåðâûé ïîñòóëàò òîëüêî ðàñøèðÿåò ñåðó äåéñòâèÿ ïðèíöèïàîòíîñèòåëüíîñòè àëèëåÿ, òî âòîðîé ÿâíî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäñòàâëåíèÿìêëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè î ïðîñòîì âåêòîðíîì ñëîæåíèè ñêîðîñòåé.Âòîðîé ïîñòóëàò äà¼ò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü îñíîâíîé èíñòðóìåíò Ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà.àññìîòðèì äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò: K , êîòîðóþ èíîãäà áóäåì íàçûâàòü íåïîäâèæíîé èëè ëàáîðàòîðíîé, è K ′ , äâèæóùóþñÿ îòíîñèòåëüíî Kñî ñêîðîñòüþ V .Äëÿ óäîáñòâà íàïðàâèì îñè x è x′ ïî âåêòîðó V . Ïóñòü â íåêîòîðûéìîìåíò âðåìåíè îñè y è y ′ , à òàêæå îñè z è z ′ ñîâïàäàþò.  ýòîò ìîìåíòïðîèñõîäèò âñïûøêà â îáùåì äëÿ îáåèõ ñèñòåì íà÷àëå êîîðäèíàò, è èçýòîé òî÷êè íà÷èíàåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñâåòîâàÿ âîëíà. Ïðèìåì ìîìåíòâñïûøêè çà íà÷àëî îòñ÷¼òà âðåìåíè â îáåèõ ñèñòåìàõ.Èòàê, âñïûøêà ïðîèçîøëà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x = y = z = 0, à òàêæå â ìîìåíò âðåìåíè t′ = 0 â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x′ = y ′ = z ′ = 0.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè ïîëîæåíèåñåðè÷åñêîé âîëíû (ýòî îäèí è òîò æå èçè÷åñêèé îáúåêò) îïèñûâàåòñÿâ äâóõ ñèñòåìàõ óðàâíåíèÿìèx2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ;(x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2 = c2 (t′ )2 .(1)Åñëè ñïðàâåäëèâû ïðåîáðàçîâàíèÿ àëèëåÿ x = x′ + V t, y = y ′ , z == z ′ , t = t′ , òî îáà ðàâåíñòâà (1) íå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû îäíîâðåìåííî.Ïî-âèäèìîìó, (ïðè íàøåì âûáîðå íàïðàâëåíèÿ îñåé) ðàâåíñòâà y = y ′ èz = z ′ ñîõðàíÿþòñÿ. Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, âû÷òåì îäíî èç äðóãîãîðàâåíñòâà (1). Ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåx2 − c2 t2 = (x′ )2 − c2 (t′ )2 .(2)Î÷åâèäíî, íåëüçÿ îáîéòèñü ïðåîáðàçîâàíèåì x, íàäî ïðåîáðàçîâûâàòüè t. Íîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äâóì êðèòåðèÿì.Âî-ïåðâûõ, òàê êàê âñå ñèñòåìû ðàâíîïðàâíû, ïåðåõîä èç íåêîòîðîéñèñòåìû â ëþáóþ äðóãóþ äîëæåí îïèñûâàòüñÿ îäíèìè è òåìè æå îðìóëàìè (ñî ñâîèì çíà÷åíèåì V ), à äâóêðàòíîå ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèéñ çàìåíîé íà âòîðîì øàãå +V íà −V äîëæíî âîçâðàùàòü íàñ â èñõîäíóþñèñòåìó.

Òàêèì ñâîéñòâîì ìîãóò îáëàäàòü òîëüêî ëèíåéíûå ïî x è t ïðåîáðàçîâàíèÿ.5Âî-âòîðûõ, ïðè V /c → 0 ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ äîëæíû ïåðåõîäèòü â ïðåîáðàçîâàíèÿ àëèëåÿ, ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðûõ äëÿ ìàëûõ ñêîðîñòåé íåìîæåò áûòü ïîäâåðãíóòà ñîìíåíèþ.Ïîïðîáóåì ïðîñòåéøåå: x = x′ + V t′ , t = t′ + Ax′ . Ïîäñòàâèì ýòèâûðàæåíèÿ â ëåâóþ ÷àñòü (2):x2 − c2 t2 = (x′ )2 + 2V x′ t′ + V 2 (t′ )2 − (ct′ )2 − 2Ac2 x′ t′ − c2 A2 (−x′ )2 .Åñëè ïðèíÿòü A = V /c2 , ò.å. t = t′ + (x′ V /c2 ), ïîëó÷èìV2V2x2 − c2 t2 = (x′ )2 1 − 2 − c2 (t′ )2 1 − 2 .ccÒåïåðü íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ, êàê âûãëÿäÿò ¾ïðàâèëüíûå¿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà :x′ + V t′;x= q21 − Vc2y = y′;z = z′;y ′ = y;z ′ = z;è îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿx−Vt;x′ = q21 − Vc2t′ + V2 x′t= q c21 − Vc2t − V2 xt′ = q c.21 − Vc2(3)(4)Ïðåîáðàçîâàíèÿ (3) (4) ÷àñòíûé ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîé ãðóïïûïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, âêëþ÷àþùåé åù¼ ïîâîðîò ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷¼òà. Äîáàâèì ê ýòîé ãðóïïå ïåðåíîñ íà÷àëà êîîðäèíàò è ïîëó÷èì ïîëíûé íàáîð ïðåîáðàçîâàíèé ÑÒÎ ãðóïïó Ïóàíêàðå.

Ìûîãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, îïèñûâàåìûì ñîîòíîøåíèÿìè (3) (4), è â äàëüíåéøåì èìåííî èõ áóäåì íàçûâàòü ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ëîðåíöà (ÏðË).Íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùåå ñëåäñòâèå ÏðË îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè ðàçíåñ¼ííûõ â ïðîñòðàíñòâå ñîáûòèé. Åñëè äâà ñîáûòèÿA è B ïðîèçîøëè îäíîâðåìåííî â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, òî â ëþáîéñèñòåìå êîîðäèíàò tA = tB . Êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ, íàïðèìåð, tA è t′A ìîãóòáûòü ðàçëè÷íûìè, íî â êàæäîé ñèñòåìå îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ðàâåíñòâît′B = t′A . Åñëè æå ïðè tA = tB îêàæåòñÿ, ÷òî xA 6= xB , òî â ëþáîé äðóãîéñèñòåìå, êàê ýòî ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåò èç ÏðË, t′A 6= t′B .Ïî÷åìó ýòî ìàòåìàòè÷åñêè î÷åâèäíîå îáñòîÿòåëüñòâî äî Ýéíøòåéíàîñòàâàëîñü íåçàìå÷åííûì? Äà âñ¼ ïî òîé æå ïðè÷èíå: îäíîâðåìåííû ñîáûòèÿ èëè íåò, ¾ðåøàåòñÿ¿ â àáñîëþòíîì ïðîñòðàíñòâå ïî îòíîøåíèþ ê àáñîëþòíîìó âðåìåíè, à â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå îíè òîëüêî ¾êàæóòñÿ¿ îäíîâðåìåííûìè èëè íåîäíîâðåìåííûìè.

Íî åñëè àáñîëþòíîé ñèñòåìû íåò,íåò è àáñîëþòíîé îäíîâðåìåííîñòè.6Èñ÷åçàåò íå òîëüêî àáñîëþòíîå ïðîñòðàíñòâî, èñ÷åçàåò è àáñîëþòíîåâðåìÿ, êîòîðîå, ïî Íüþòîíó, òå÷¼ò ¾âñåãäà îäèíàêîâî, áåçîòíîñèòåëüíîê ÷åìó-ëèáî âíåøíåìó¿. Âðåìÿ ÑÒÎ çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Çàâèñÿò îò ñèñòåìû îòñ÷¼òà è ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè,è ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè.  ìåõàíèêå àëèëåÿÍüþòîíà êîîðäèíàòû òî÷åê çàâèñÿò îò ñèñòåìû îòñ÷¼òà, íî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A(xA , yA , zA ) è B(xB , yB , zB ):(xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 = l2 = inv îò ñèñòåìû íå çàâèñèò.  ìåõàíèêå ÑÒÎ ýòà âåëè÷èíà ïåðåñòà¼ò áûòü èíâàðèàíòîì. Íåçàâèñèìûì îò ñèñòåìû îòñ÷¼òà ñòàíîâèòñÿ èíòåðâàë ìåæäóñîáûòèÿìè, îïðåäåëÿåìûé äëÿ ñîáûòèé A(xA , yA , zA , tA ) è B(xB , yB , zB , tB )ñîîòíîøåíèåìs2AB = c2 (tA − tB )2 − (xA − xB )2 − (yA − yB )2 − (zA − zB )2 = inv.Âðåìÿ ñòàíîâèòñÿ â îäèí ðÿä ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè èëè, êàê ñêàçàë Ìèíêîâñêèé, ¾ïðîñòðàíñòâî ñàìî ïî ñåáå è âðåìÿñàìî ïî ñåáå ïîãðóæàþòñÿ â ðåêó çàáâåíèÿ, àîñòà¼òñÿ æèòü ëèøü ñâîåîáðàçíûé èõ ñîþç¿.Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ îñîáåííî íàãëÿäíî, åñëè,ñëåäóÿ Ìèíêîâñêîìó (1908), â êà÷åñòâå ÷åòâ¼ðòîé êîîðäèíàòû âûáðàòü íå t, êàê òàêîâîå,à ict.