Экзаменационная контрольная по Механике 15.01.15

1АФИО2А3А4А5АΣОценкагруппаΣОценкаМаксимум за задачу — 3 очка. Таблица соответствия:0–23-4 5 6–78 9 1011–1213–141512345 678910неудудовлхоротлПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МЕХАНИКЕ15 января 2015 г.Вариант А1А. Люстру, висящую в вагоне поезда, можно считать физическим маятником с периодом малыхколебаний T . Поезд начинает движение из состояния покоя и за время, малое по сравнениюс T , набирает небольшую скорость v (v gT ), после чего продолжает двигаться равномерно ипрямолинейно. Найти угловую амплитуду ϕ0 возникающих при этом малых колебаний люстры.M2А. Вертикальная осесимметричная колонна поддерживает однородную плиту весом M = 25 т.

Высота колонны H = 10 м, плотность её материала ρ = 2,5 г/см3 .Форма колонны подобрана таким образом, что напряжение в каждом сечении Hодинаково σ = const. Найти площадь сечения S1 у основания колонны, если увершины она равна S0 = 1 м2 .S0gS13А. В фантастическом фильме пассажир сбегает вниз по релятивистскому эскалатору, движущемусясо скоростью V = c/2, где c — скорость света.

Скорость пассажира относительно ленты эскалатора u = c/4. На верхней (пешеходной) части ленты эскалатора умещается N0 одинаковыхступенек. Сколько ступенек N насчитает пассажир при спуске с эскалатора?4А. Цилиндрический стержень радиуса r = 5 мм и длины ` = 5 смvδнаходится на оси цилиндрической капсулы чуть большегоuрадиуса r + δ, где δ = 0,05 мм. Капсула заполнена мас2rлом, имеющим вязкость η = 0,3 Па·с. Найти силу F , которую надо прикладывать к стержню, чтобы двигать его от`носительно капсулы с постоянной скоростью u = 1 мм/с.Считать, что в зазоре устанавливается стационарное вязкое ламинарное течение между двумянеподвижными плоскостями. Указание: сила сопротивления может быть обусловлена как вязкимтрением в зазоре, так и разностью давлений на торцах стержня.5А.

Оценить по порядку величины период прецессии земной оси, возникающей из-за воздействия поля тяготения Солнца. Сплюснутостьземного эллипсоида учесть с помощью двух точечных отрицательных масс Δm = − 12 βmЗ , размещённых на полюсах (mЗ — массаЗемли, β = 3,3 · 10−3 — её относительное полярное сжатие).

ОтклоСнение оси вращения от нормали к плоскости орбиты Земли (эклип◦тики) составляет ϕ = 23,5 . Влияние Луны не учитывать. Указание:среднее за один Земли оборот вокруг Солнца значение момента сил,вызывающих прецессию, можно принять равным половине максимального.NΔmϕΔmS1БФИО2Б3Б4Б5БΣОценкагруппаΣОценкаМаксимум за задачу — 3 очка. Таблица соответствия:0–23-4 5 6–78 9 1011–1213–141512345 678910неудудовлхоротлПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МЕХАНИКЕ15 января 2015 г.Вариант Б1Б.

Люстру, висящую в вагоне поезда, можно считать математическим маятником с приведённой√длиной `. Вагон, движущийся по прямым путям с небольшой постоянной скоростью v (v g`),в некоторый момент проезжает небольшое закругление, меняя своё направление движения наугол α. Найти угловую амплитуду ϕ0 возникающих при этом малых колебаний люстры, есливремя проезда вагона по закруглению мало по сравнению с периодом её колебаний.M2Б. На вертикальной осесимметричной колонне лежит массивная однородная плита. Диаметр верхнего торца колонны a0 = 1 м, высота колонны H = 10 м,плотность материала ρ = 2,5 г/см3 .

Известно, что напряжения в колонне однородны по её объёму σ = const, а диаметр колонны в нижнем основании вβ = 1,1 раз больше, чем в верхнем. Найти массу плиты M .Hg3Б. В фантастическом фильме бесконечная колонна грузовиков движется по шоссе со скоростьюV = c/2, где c — скорость света. Легковой автомобиль, пытаясь обогнать колонну, движется соскоростью u = c/2 относительно неё. Пройдя отрезок пути от пункта A до пункта B, водительобогнал N грузовиков. Сколько грузовиков N0 умещается на участке AB в лабораторной системеотсчёта? Все грузовики имеют одинаковую длину и соблюдают одинаковую дистанцию.4Б. Цилиндрическая втулка радиуса r = 5 мм и длиныu` = 5 см находится внутри цилиндрической капсулы таv2r 2δкого же радиуса. На оси втулки имеется узкий каналрадиуса δ = 0,1 мм (см.

рис.). Капсула заполнена маслом, имеющим вязкость η = 0,3 Па·с. Найти силу F ,`которую надо прикладывать к втулке, чтобы двигать её относительно капсулы с постояннойскоростью u = 0,1 мм/с. Считать, что в канале устанавливается стационарное вязкое ламинарноетечение. Трение между стенками втулки и капсулы не учитывать. Указание: сила сопротивленияможет быть обусловлена как вязким трением в канале, так и разностью давлений на торцахвтулки.N5Б.

Оценить по порядку величины период прецессии земной оси, возникающей из-за воздействия поля тяготения Луны. Сплюснутость земΔmного эллипсоида учесть с помощью двух точечных отрицательныхϕмасс Δm = − 12 βmЗ , размещённых на полюсах (mЗ — масса Земли,β = 3,3·10−3 — её относительное полярное сжатие).

Для оценки счи- Лтать, что орбита Луны является круговой радиуса RЛ ≈ 3,8 · 108 м(много большего радиуса Земли), расположенной под угломΔmϕ = 23,5◦ к экватору Земли, а её центр совпадает с центром Земли.SВлияние Солнца не учитывать. Произведение гравитационной постоянной на массу ЛуныGmЛ = 4,9·1012 Н·м2 /кг.

Указание: среднее за один оборот Луны вокруг Земли значение моментасил, вызывающих прецессию, можно принять равным половине максимального..