МУ Неопределенный интеграл Головко

Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïî òåìå "Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë"Ãîëîâêî À.Þ.Ââåäåíèå íàñòîÿùåì ïîñîáèè â êîìïàêòíîé ôîðìå èçëîæåíû îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ñáîðíèê ñîñòîèò èç ïÿòè ïàðàãðàôîâ. ïåðâîì ïàðàãðàôå ââåäåíû îñíîâíûå ñâîéñòâà è ñïèñîê òàáëè÷íûõ èíòåãðàëîâ, òàêæå ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ: ìåòîä àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ïðèâåäåíèÿ ê òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì, ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ, ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïðèâåäåíû çàäà÷è, êîòîðûåðåøàþòñÿ êîìáèíèðîâàííûìè ìåòîäàìè è ìåòîäîì ñâåäåíèÿ ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî èíòåãðàëà.Âòîðîé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé.

 íåìðàññìîòðåí ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ è ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî.Ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò ñâåñòè èíòåãðàëû îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ê òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì. òðåòüåì ïàðàãðàôå ðàññìîòðåíû èíòåãðàëû îò òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé: ñ ïîìîùüþ çàìåí ìû áóäåì ñâîäèòü ýòè èíòåãðàëû êèíòåãðàëàì îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé (èëè òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì).×åòâåðòûé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí èíòåãðàëàì îò èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèéîïðåäåëåííûõ âèäîâ, ñâîäÿùèìñÿ ê èíòåãðàëàì îò ðàöèîíàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (èëè òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì). ïÿòîì ïàðàãðàôå ïðèâåäåíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ, ê êîòîðûì äàíû îòâåòû, â òîì ÷èñëå çàäà÷è ñ ïèñüìåííûõ ýêçàìåíàöèîííûõ ðàáîòïî êóðñó "Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç". Áîëüøîå êîëè÷åñòâî àíàëîãè÷íûõ çàäà÷ ìîæíî òàêæå íàéòè, íàïðèìåð, â [1].Äàííîå ïîñîáèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà ÌÔÒÈ ïî òåìå "Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë".

Áîëüøèíñòâîðàçîáðàííûõ çàäà÷ âçÿòû èç ñáîðíèêà çàäà÷ [1]. Àâòîð áëàãîäàðèò Èâàíîâó Ñ.Â. çà îáñóæäåíèå äàííîãî ïîñîáèÿ è ðÿä ïîëåçíûõ çàìå÷àíèé.Âñå çàìå÷åííûå îøèáêè è íåòî÷íîñòè ïðîñüáà ïðèñûëàòü ïî ýë. àäðåñóandrewgolovko@yandex.ru.1Ÿ1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë: îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà èìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿÂâåäåì âíà÷àëå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ: ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Èõ ìîæíî íàéòè â [2] [6].Ïóñòü −∞ 6 a < b 6 +∞ è íà ha; bi1 çàäàíû ôóíêöèè fè F . Òîãäà ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f , åñëè ïðè âñåõx ∈ ha; bi F 0 (x) = f (x). Ïðè ýòîì â ñëó÷àå a ∈ ha; bi, b ∈ ha; bi ïðîèçâîäíûåF 0 (a), F 0 (b) ïîíèìàþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîñòîðîííèå.Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõôóíêöèè f íàçûâàþò íåîïðåRäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f è îáîçíà÷àþò f (x)dx.2Ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ïåðâîîáðàçíûõ îïèñûâàåò ñëåäñòâèå òåîðåìû Ëàãðàíæà.Ïóñòü F1 è F2 äâå ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f . Òîãäà F2(x)−F1 (x) = C , ãäå C êîíñòàíòà.Òàêèì îáðàçîì, íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ ôóíêöèè, îòëè÷àþùèõñÿ íà êîíñòàíòó îò ôèêñèðîâàííîé ïåðâîîáðàçíîé (åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ñóùåñòâóåò).Îòìåòèì ñâîéñòâîíåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.Åñëè ôóíêöèè f Rè g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà ha; bi, α, β ∈ R,α2 + β 2 6= 0, òî íà ha; bi ñóùåñòâóåò (αf (x) + βg(x)) dx è âåðíî ðàâåíñòâîÎïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.Óòâåðæäåíèå.ëèíåéíîñòèÓòâåðæäåíèå.ZZ(αf (x) + βg(x)) dx = αZf (x)dx + βg(x)dx.Ñîñòàâèì òàáëèöó íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðóþ ëåãêî ïîëó÷èòü èçòàáëèöû ïðîèçâîäíûõ.R1.

xadx = xa+1 + C , a 6= −1, x > 0.RR2. axdx = lna a + C , a > 0, a 6= 1, â ÷àñòíîñòè exdx = ex + C .RR 13. x1 dx = ln |x| + C ; x 6= 0, x+adx = ln |x + a| + C , x 6= −a.RRR4. Rsin xdx = − cos x + C ; cos xdx = sin x + C ; cosdx x = tg x + C , x 6= π2 + πk,k ∈ Z; sindx x = −ctg x + C , x 6= πk , k ∈ Z.RRRR5. sh xdx = ch x+C ; ch xdx = sh x+C ; chdxx = th x+C ; shdxx = −cth x+C ,x 6= 0.R6.

√adx−x = arcsin |a|x + C = − arccos |a|x + C , |x| < |a|.a+1x2222227.R√ dxx2 +a8.Rdxx2 +a2= ln |x +√x2 + a| + C , x2 > −a.= a1 arctg xa + C = − a1 arcctg xa + C , a 6= 0.1 ha; bi ïðîìåæóòîê, ò. å. ëèáî îòðåçîê [a; b], ëèáî ïîëóèíòåðâàë [a; b), ëèáî ïîëóèíòåðâàë (a; b], ëèáîèíòåðâàë(a; b).2 Èíîãäà íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë îïðåäåëÿþò êàê îäíó ôèêñèðîâàííóþ ïåðâîîáðàçíóþ (ñì. Ÿ9.1, [2]).2x−a 9.

x dx−a = 2a1 ln x+a+ C , x 6= ±a, a 6= 0.Èíòåãðàëû 1-5 ñðàçó íàõîäÿòñÿ èç òàáëèöû ïðîèçâîäíûõ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà èíòåãðàëîâ 6-8 òîìó, ÷òî íàïèñàíî â ïðàâûõ ÷àñòÿõ, äîñòàòî÷íîâû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå ïðàâûõ ÷àñòåé. Èíòåãðàë 9 ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèìîáðàçîì:R 1 1R dxR dxR dx1111R22=x2 −a2 2a1 x−a +ln2ax+a−dx =− 2a=2a(ln |x − a| − ln |x + a|) ++x21/2C.Âèíòåãðàëå6 îäíîé è òîé æå ïåðâîîáðàçíîé, çàïèñàííîé â âèäåxxxarcsin |a| + C è − arccos |a| + C , ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå êîíñòàíòû (arcsin |a|=πx− arccos |a| + 2 ). Òîæå ñàìîå êàñàåòñÿ è èíòåãðàëà 8.Ïðîëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðàõ îáùèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ (êîòîðûå ñâîäÿò èíòåãðàëû ê òàáëè÷íûì): ìåòîä àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ïðèâåäåíèÿ ê òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì (â òîì ÷èñëå èñïîëüçîâàíèå ëèíåéíîñòè, ïîíèæåíèå ñòåïåíè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé), ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ, ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ñâåäåíèå ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî èíòåãðàëà (çàäà÷à 1.11).1.

Ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèé äëÿRïðèâåäåíèÿê òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì.√Íàéòè èíòåãðàë x −x+1dx.xC=x−ax+a2ax−ax+aÇàìå÷àíèå.2Çàäà÷à 1.1Ðåøåíèå.Rx2 −x+1√dxx=R3x 2 dx −R1x 2 dx +R1x− 2 dx =5x25/23−x23/2153+ C = 2 x52 − 2 x32 +12x 2 + C. ïîñëåäíåé çàäà÷å ìû èñïîëüçîâàëè ëèíåéíîñòü íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.RÍàéòè èíòåãðàë sin2 xdx.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äàííîãî èíòåãðàëà öåëåñîîáðàçíî ïîíèçèòü ñòåïåíü ñèíóñà,äëÿ÷åãîìîæíîâîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëîéêîñèíóñàäâîéíîãîóãëà:sin2 x =1−cos 2xR2 , 2RRsin xdx = 12 dx − 21 cos 2xdx = x2 − sin42x + C . ïîñëåäíåé çàäà÷å ìû ïîíèçèëè ñòåïåíü òðèãîíîìåòðè÷åñêîéôóíêöèè (àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ôóíêöèè cos2 x, sin3 xè ò.

ï.).RÍàéòè èíòåãðàë 2xdx+7 .Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñâåñòè äàííûé èíòåãðàë ê òàáëè÷íîìó, âûíåñåì èç çíàìåíàòåëÿäâîéêó:R√RÇàìå÷àíèå.Çàäà÷à 1.2.Ðåøåíèå.Çàìå÷àíèå.Çàäà÷à 1.3.2Ðåøåíèå.dx2x2 +7=12dx√2x2 +7/2=√1 arctg √2x147+ C.2. Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ.Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ha; bi, ôóíêöèÿϕ:Rhα; βi → ha; bi äèôôåðåíöèðóåìà íà hα; βi. Òîãäà íà hα; βi ñóùåñòâóåò f (ϕ(t))ϕ0 (t)dtè âåðíî ðàâåíñòâîÒåîðåìà.ZZ0f (ϕ(t))ϕ (t)dt =3f (x)dx.x=ϕ(t)Ïîñëå çàìåíû â íåîïðåäåëåííîì èíòåãðàëå ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ìû áóäåì äåëàòü çàìåíó "â îáðàòíóþñòîðîíó"(ïðè ïåðåõîäå îò ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ t ê ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ x èñïîëüçîâàòü çàìåíó tR= ψ(x)√ ).2Íàéòè èíòåãðàë x x3 + 1dx.Òàê êàê x2 ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîéïîäêîðåííîãîâûðàæåíèÿ,èñïîëüçóåì çàìåíó t = x3 + 1.

Òîãäà dt = 3x2dx èR√R √Çàìå÷àíèå.Çàìå÷àíèå.Çàäà÷à 1.4.Ðåøåíèå.13x2 x3 + 1dx =tdt =1333t2· 3/2+ C = 29 (x3 + 1) 2 + C.RdxÍàéòè èíòåãðàë 2x −5x+7 .Âûäåëèìâ çíàìåíàòåëåïîëíûé1 Rêâàäðàò:RRdxdx1dxÇàäà÷à 1.5.2Ðåøåíèå.I=2x2 −5x+7=2x2 − 52 x+ 72=2(x− 54 )2+ 3116.Ñ ïîìîùüþ çàìåíû x − 54 = t (ïðè ýòîì dx = dt) ñâîäèì èíòåãðàë ê òàáëè÷íîìó: 1 R dt√I=2+ C.= √231 arctg √4t31 + C = √231 arctg 4x−5√31t +( 31/4)R x−1Íàéòè èíòåãðàë x −x+1 dx.Ïðåäñòàâèì ÷èñëèòåëü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíèöèè ïðîèçâîäíîé çíàìåíàòåëÿ è êîíñòàíòû:x − 1 = α(2x − 1) + C = 12 (2x − 1) + C = 12 (2x − 1) − 21 ,ò.å. ìû ïîäáèðàåì α, óðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè x, à ïîòîì íàõîäèì C ,óðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè x0 (êîíñòàíòû).ÒàêèìR x−1 îáðàçîì,R 2x−1R dxRdx111122Çàäà÷à 1.6.2Ðåøåíèå.x2 −x+112dx =ln |x2 − x + 1| −2x2 −x+1dx −√1 arctg 2x−1√332+ C.x2 −x+1=2ln |x2 − x + 1| −2Ýòîò ñïîñîá ïðèìåíèì äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà2ïðè D = p − 4q < 0, ÷òî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ⠟2.RÍàéòè èíòåãðàë √ecos x−1 dx.Çàìå÷àíèå.Çàäà÷à 1.7.2(x− 12 )R+ 34=Bx+Cdxx2 +px+qsin xÐåøåíèå.Âíà÷àëå èñïîëüçóåì çàìåíó sin x = t (ïðè ýòîì cos xdx = dt), ÷òî ïîçâîëèò:R cos xR dt√√I=dx =.e −1e−1, ñäåëàåì çàìåíó u =√ Äëÿ òîãî, ÷òîáûtet − 1.RÏðè ýòîì Re = u2 + 1, eRt dt = 2udu è èñõîäíûé èíòåãðàë √dt2ududuóáðàòü èç ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèèsin xtèçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòèI = √et −1 = u(u2 +1) = 2√2 arctg esin x − 1 + C.u2 +1= 2 arctg u + C = 2 arctg et − 1 + C =3.

Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.ÏóñòüR 0íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåRìû è ñóùåñòâóåò u (x)v(x)dx. Òîãäà íà ýòîì ïðîìåæóòêå ñóùåñòâóåò u(x)v0(x)dxè âåðíî ðàâåíñòâîÒåîðåìà.4ZZ0u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −Rà) Èíòåãðàëû âèäà Pn(x)f (x)dx, ãäå Pncos ax, ax , sh ax, èëè ch ax.RÇàäà÷à 1.8. Íàéòè èíòåãðàëx sh xdx.u0 (x)v(x)dx. ìíîãî÷ëåí, à f ðàâíà sin ax,Ðåøåíèå.Èñïîëüçóåì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì: u(x) = x, v(x) = ch x (ôóíêöèè sh x).RRx sh xdx = x ch x − ch xdx = x ch x − sh x + C .Åñëè âìåñòî x â ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ñòîÿë áû ìíîãî÷ëåí ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè n, òî ìû ñìîãëè áû íàéòè èíòåãðàë, èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì íåñêîëüêî ðàç.

Ïðè ýòîì íà êàæäîì øàãå ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíàâ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè óìåíüøàëàñü áû íà îäèí, è ÷åðåç n øàãîâ ìû áûïðèøëè ê òàáëè÷íîìó èíòåãðàëó. Àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì íàéòè èíòåãðàëû îòôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìíîãî÷ëåíà è îäíîé èç ôóíêöèé sin ax,cos ax, ax , sh ax, ch ax. Ðåøèì òàêóþR çàäà÷ó.Íàéòè èíòåãðàë (x2 + x) sin 2xdx.Áóäåì íàõîäèòü èíòåãðàë, äâàæäû èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Äëÿ ýòîãî â êà÷åñòâå ôóíêöèè u áåðåì ìíîãî÷ëåí ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:R 1Rcos 2xcos 2xâûáèðà-åì íàèáîëåå ïðîñòóþ ïåðâîîáðàçíóþÇàäà÷à 1.9.Ðåøåíèå.12(x2 + x) sin 2xdx R= (x2 + x) − 2 + 2 (2x + 1) cos 2xdx = −(x2 + x) 2 +cos 2x1cos 2x12(2x + 1) sin 2x − sin2R 2xdx = −(x + x) 2 + 4 (2x + 1) sin 2x + 4 + C .á) Èíòåãðàëû âèäà Pn(x)f (x)dx, ãäå Pn ìíîãî÷ëåí, à f ôóíêöèÿ, êî-òîðóþ ñëîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, íî ëåãêî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü (íàïðèìåð,îáðàòíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èëè ëîãàðèôì (âîçìîæíî, îò ñëîæíîãîàðãóìåíòà)).RÍàéòè èíòåãðàë x2 arcsin xdx.Ôóíêöèþ àðêñèíóñ ñëîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, íî åå ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé, ïîýòîìó èñïîëüçóåì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ñ u(x) =arcsin x, v 0 (x) = x2 .

Ïóñòü v(x) = x3 . Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî èñõîäíûé èíòåãðàëR xRI = x2 arcsin xdx = x3 arcsin x − 13 √1−xdx. ïîñëåäíåì èíòåãðàëå óäîáíî èñïîëüçîâàòü çàìåíó x2 = t, êîòîðàÿ óïðîñòèòïîäûíòåãðàëüíóþôóíêöèþ.Ïðè ýòîì 2xdx = dt èR xRI1 = √1−xdx = 21 √tdt.1−tÄëÿ òîãî ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè, èñïîëüçóåì çàìåíó √1 − t =u. Ïðè ýòîì 1 − t = u2 , −dt = 2udu, òî åñòü√R√(1−x )−−I1 = − (1 − u2 )du = u3 − u + C = (1−t)1−t+C=1 − x2 + C .33Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíûé èíòåãðàë√)1−xI = arcsin x · x3 − (1−x++ C.

R3R9xxR â) Èíòåãðàëû âèäà a {sin bx; cos bx}dx, a { sh bx; ch bx}dx,{sin ax; cos ax}{ sh bx; ch bx}dx.Çàäà÷à 1.10.Ðåøåíèå.333232323332 22532 2Íàéòè èíòåãðàë ax sin bxdx, ïðè a > 0, a 6= 1, b 6= 0.Èñïîëüçóåì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äâà ðàçà, áåðÿ â êà÷åñòâå ôóíöêèèR v ñòåïåíü, à âaêà÷åñòâåôóíêöèèu òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ:RRsin bxba sin bxba cos bxbRÇàäà÷à 1.11.Ðåøåíèå.ax sin bxdx =xxbxa sin bx− b alncos−2ln aaxln ab2ln2 ax− a ax cos bxdx =R lnax sin bxdx.Rln a− ln axln a+ln aax sin bxdx =Ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ax sinbxdx. Äëÿ òîãî, ÷òîáû åãî ðåR xbøèòü, ïåðåíåñåì â ëåâóþ ÷àñòü ñëàãàåìîå ln a a sin bxdx.