Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова, страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
¥. à¥è¥¨¥u(x, t)u(x, t)|x=0 ᫨ ¦¥ «®£¨ç®| ⮦¥¥çñâ ïäãªæ¨ï, ¢®-¢â®àëå,u0 (at) + u0 (−at)1=+22aZatu1 (ξ) dξ = 0.−atu0 (x) = u0 (−x), u1 (x) = u1 (−x) | çñâë¥, ⮯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® u(x, t) | çñâ ï äãªæ¨ï ¨ux (x, t)|x=0 =1u′0 (at) + u′0 (−at)+(u1 (at) − u1 (−at)) = 0.22aâ¨ ä ªâë ¤ î⠮ᮢ ¨¥ § ¯¨á âì à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ª®«¥¡ ¨¨¯®«ã¡¥áª®¥ç®©áâàãë á § ªà¥¯«ñë¬ ¨«¨ ᢮¡®¤-ë¬ ª®æ®¬ ä®à¬ã«®© « ¬¡¥à .ãáâì § ¤ ᬥè ï § ¤ ç ¯®«ã®á¨. ¤ ç 2.16 utt = a2 uxx , x > 0, t > 0,u|= u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), t=0u|x=0 = 0, t > 0.x > 0,த®«¦¨¬ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï¥çñâ묮¡à §®¬ ®â-à¨æ ⥫ìãî ¯®«ã®áì, â.
¥. ¯®«®¦¨¬v0 (x) =½u0 (x), x > 0,−u0 (−x), x 6 0v1 (x) =¨½u1 (x), x > 0,−u1 (−x), x 6 0. ¯¨è¥¬ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨:½utt = a2 uxx , t > 0, x ∈ R,u|t=0 = v0 (x), ut |t=0 = v1 (x), x ∈ R,ä®à¬ã«®© « ¬¡¥à u(x, t) =v0 (x + at) + v0 (x − at)1+22aZx+atv1 (ξ) dξ.x−at®£¤ , ¢ ᨫ㠯ਢ¥¤ñëå ¢ëè¥ à áá㦤¥¨©, íâ® à¥è¥¨¥ï¢«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¬¥è ®© § ¤ ç¨ 2 (á¬. ¯à¨¬¥àë 4, 9).2.3. ª® ®âà ¦¥¨ï ®â § ªà¥¯«ñ®£® (᢮¡®¤®£®)ª®æ f (x + 3t), g(x − 3t)x − 3t > 0, x + 3t > 0®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ç «ìëå ãá«®¢¨© ®è¨, g(x − 3t) ¤«ï x −− 3t 6 0 ¨§ ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï ¨ ãá«®¢¨© ®è¨.ãªæ¨¨¤«ï ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ª®¥æ § ªà¥¯«ñ, â. ¥.u|x=0 = 0,¬ë ¯®«ãç ¥¬t > 0,⮧ ª® ®âà ¦¥¨ïf (at) + g(−at) = 0,®â § ªà¥¯«ñ®£® ª®æ g(x − at) = −f (−x + at),x − at 6 0.᢮¡®¤¥, â® § ª® ®âà ¦¥¨ï′+ g (−at) = 0 ⇐⇒ f (at) − g(−at) = C , â.
¥. ᫨ ª®¥æg(x − at) = f (at − x) + C,¤à㣮©:f ′ (at) +x − at 6 0,ਬ¥à 4. utt = a2 uxx , x > 0, t > 0,u|= x2 , ut |t=0 = x sin x, t=0u|x=0 = 0, t > 0.x > 0,17த®«¦¨¬ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¥çñâë¬ ®¡à §®¬, ¯®« -◮£ ïv0 = x|x|, v1 = x| sin x|.®£¤ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¤ ñâáï ä®à-¬ã«®© (ãç¨âë¢ ï, çâ® ¢® ¢á¥© ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨(x + at)2 + (x − at)|x − at|1u(x, t) =+22aZx + at > 0):x+atξ| sin ξ| dξ.x−at à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ᮦ «¥¨î, ¤ «¥ª® ¥ ¢á¥£¤ ¬®¦® â ª ¯à®áâ® § ¯¨á âì ¥çñ⮥ ¯à®¤®«¦¥¨¥. ®í⮬ã,å®âì ¢ ¯à¨æ¨¯¥ â ª®¥ ¢®§¬®¦®, ç áâ® ¯à®é¥ à¥è¨âì § ¤ çãý¢ «®¡þ à áᬮâà¥ë¬¨ ¯¥à¢ë¬ ¨«¨ ¢â®àë¬ á¯®á®¡ ¬¨.§ 3. ¤ ç ®è¨ ¢◭R2 , R3ਢ®¤ïâáï ¯à¨¬¥àë ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®£® ¨ ¥®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï, ¨«¨ ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ¡¥§ ¯à¨¬¥¥¨ï ä®à¬ã« ã áá® ¨«¨ ¨àå£®ä ¢á«ãç ïå, ª®£¤ ᢮¡®¤ë© ç«¥ ¨«¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥ª®â®àë¬ á¯¥æ¨ «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬.R3 , ª®£¤ + z 2 .
¤ ç à¥-ਢ¥¤ñ ¯à¨¬¥à à¥è¥¨ï § ¤ ç¨p ®è¨ ¢ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®âx2+y2è ¥âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å, á ¯®¬®éìî § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå § ¤ ç ®è¨ á¢¥« áì ªá¬¥è ®©§ ¤ ç¥ ¤«ï ¯®«ã-¡¥áª®¥ç®© áâàãë á § ªà¥¯«ñë¬ ª®æ®¬.㤥¬ à áᬠâਢ âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ®è¨: ¤«ï ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ïutt = a2 ∆u + f (x, t), t > 0, x ∈ Rm ,u|t=0 = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), x ∈ Rm ,£¤¥ m = 2 ¨«¨ m = 3, ¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®á⨽ut = a2 ∆u + f (x, t), t > 0, x ∈ Rm ,£¤¥ m ∈ ¤ ç 4.u|t=0 = u0 (x), x ∈ Rm ,∈ N. ç « à áᬮâਬ ¬¥â®¤ë, ª®â®àë¥ ¯®¤å®¤ïâ ¤«ï ®¡¥¨å§ ¤ ç. ®£¤ ®áâ ¥âáï «¨èì ®¤¨ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ®è¨ ¤«ï ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ª®â®àë© ¥ ¤ ç 3.½£®¤¨âáï ¤«ï ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï.183.1.
¥áª®«ìª® ᯮᮡ®¢ 宦¤¥¨ï ç á⮣®à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ïutt = a2 ∆u + f (x, t) ) ᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨2¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥∂ f (x, t)−a2 ∆f (x, t) = bf (x, t), â. ¥. ᢮¡®¤ë© ç«¥f (x, t) =∂t2ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¢®«®¢®£® ®¯¥à â®à (¨«¨®¯¥à â®à ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨∂f (x, t)− a2 f (x, t) = bf (x, t)),∂tâ® ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥uç áâ = cf (x, t), ᫨ ¦¥f (x, t) ï¥âáïc 6= 0.à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£®ãà ¢¥¨ï, â® ¤® ᬮâà¥âì ®â¤¥«ì® (á¬. ¯à¨¬¥à 2).utt = a2 u + f (x, t)b) ᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨á¢®¡®¤ë© ç«¥ ¨¬¥¥â¢¨¤f (x, t) = ϕ0 (t)ψ(x),â. ¥.ψ(x)£¤¥∆ψ(x) = λψ(x),| ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï ®¯¥à â®à ¯« á , â®ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥uç áâ = ϕ(t)ψ(x) (á¬.á.
9).c) ᫨ ¢ § ¤ ç å 1 ¨«¨ 2∃ n ∈ N,â®â ª®¥, çâ®∆n g = 0,à¥è¥¨¥ § ¤ çf (x, t) ≡ g(x),∆n u0 = 0,â. ¥. ¥ § ¢¨á¨â ®ât¨∆n u1 = 0,㤮¡® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ ¬®£®ç«¥ , à ᯮ-«®¦¥®£® ¯® ¥®âà¨æ ⥫ìë¬ á⥯¥ï¬ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, § ¢¨áï騬 ®âx,tá ¥¨§¢¥áâ묨¨ 㤮¢«¥â¢®àïî饣® -ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬, â. ¥. ¢ ¢¨¤¥u(x, t) = u0 (x)+tu1 (x)+£¤¥mt3tmt2ϕ1 (x)+ ϕ2 (x)+ .
. .+ϕm−1 (x),2!3!m!¬ë ¥ ª®ªà¥â¨§¨à㥬, â. ª. ®® ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ®¯à¥-¤¥«¨âáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï § ¤ ç¨.áâ «®áì 㤮¢«¥â¢®-à¨âì ãà ¢¥¨î. ®¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ã ¢ ãà ¢¥¨¥t3tmt2ϕ1 (x)+ ϕ2 (x)+ . . .+ϕm−1 (x),2!3!m!t2t3tm−2tϕm−1 (x) =ϕ1 (x)+ ϕ2 (x)+ ϕ3 (x)+ ϕ4 (x)+ . . .+1!2!3!(m − 2)!u(x, t) = u0 (x)+tu1 (x)+19µt3t2= a ∆u0 (x) + t∆u1 (x) + ∆ϕ1 (x) + ∆ϕ2 (x) + . . .+2!3!¶tm+∆ϕm−1 (x) + g(x) ⇐⇒ ϕ1 (x) = a2 ∆u0 (x) + g(x),m!2ϕ2 (x) = a2 ∆u1 (x),ϕ3 (x) = a2 ∆ϕ1 (x) = a2 ∆(a2 ∆u0 (x) + g(x)) == a4 ∆2 u0 (x) + a2 ∆g(x),ϕ4 (x) = a2 ∆ϕ2 (x) = a4 ∆2 u1 (x),......ϕi ¡ã¤ãâ à ¢ë 0.u0 (x), u1 (x) ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ í⮣® ¯ãªâ , â® ç á⮥ à¥è¥¨¥ 㤮¡®t2 ϕ (x) + t3 ϕ (x) + . .
. + tm ϕ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ u(x, t) =2! 13! 2m! m−1 (x),¨¤®, çâ® ç¨ ï á ¥ª®â®à®£®k¢á¥ ᫨ ¢ § ¤ ç å 3, 4 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ïâ. ¥. 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ã«¥¢ë¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬. ª ª ª ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï¨«¨ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¢ á«ãç ¥x ∈ Rn ,m > 1, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¯®á«¥ 宦¤¥¨ï ç á⮣® à¥è¥¨ï¥®¡å®¤¨¬® ᤥ« âì ᤢ¨£: v(x, t) = u(x, t) − uç áâ (x, t), ç⮡ëãà ¢¥¨¥ áâ «® ®¤®à®¤ë¬.3.2. ¥ª®â®àë¥ á¯®á®¡ë à¥è¥¨ï § ¤ ç ®è¨¤«ï ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï㤥¬ à áᬠâਢ âì § ¤ ç¨ ®è¨ ¤«ï ®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï ¤ ç 5. ¤ ç 6.£¤¥m = 2, 3,¨ ¤ ç 7.1.
᫨utt = a2 ∆u, t > 0, x ∈ Rm ,m½ u|t=0 =2 u0 (x), ut |t=0 = 0,mx ∈ R .utt = a ∆u, t > 0, x ∈ R ,u|t=0 = 0, ut |t=0 = u1 (x), x ∈ Rm ,®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®á⨽ut = a2 ∆u, t > 0, x ∈ Rm ,£¤¥ m ∈ N.u|t=0 = u0 (x), x ∈ Rm ,½∆u0 = λu020¨«¨∆u1 = λu1 ,â® à¥è¥¨ï § ¤ ç 5{7 ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨áª®¬®©f (t) ᮡá⢥ãî äãªæ¨î ®¯¥à â®à ¯« á u1 ᮮ⢥âá⢥®), 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ç «ìë¬äãªæ¨¨(u0 ¨«¨ãá«®¢¨ï¬, â. ¥.f ′ (0) = 0;(5)u(x, t) = f (t)u1 (x), f (0) = 0, f ′ (0) = 1;u(x, t) = f (t)u0 (x), f (0) = 1.(7)u(x, t) = f (t)u0 (x),f (0) = 1,(6)2. ᫨u0 = ϕ(αx + βy + γz)¨«¨u1 = ϕ(αx + βy + γz),â® à¥è¥¨ï § ¤ ç (5) { (7) 室¨¬ ¢ ¢¨¤¥u = f (t, αx + βy + γz).¡®§ 稬ξ = αx + βy + γz .®£¤ § ¤ ç¨ áâ ãâ ®¤®¬¥à-묨 ¨ ¯à¨¬ãâ ¢¨¤ ftt = a2 (α2 + β 2 + γ 2 )fξξ ,f= u0 (ξ), t=0ft |t=0 = 0; ftt = a2 (α2 + β 2 + γ 2 )fξξ ,f= 0, t=0ft |t=0 = u1 (ξ);½ft = a2 (α2 + β 2 + γ 2 )fξξ ,ft=0 = u0 (ξ).(5*)(6*)(7*)¥è¥¨¥ § ¤ ç (5*) { (6*) «¥£ª® § ¯¨á âì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë « ¬¡¥à .
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (7*) ¬®¦® ¯®«ãç¨âì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ã áá® ¨«¨ ª ª-â® ¯®-¤à㣮¬ã, ¥á«¨ í⮢®§¬®¦®.utt = a2 ∆u, t > 0, x ∈ Rm ,¨«¨u|t=0 = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), x ∈ Rm§ ¤ ç¥ (7) ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï â ª®¢ë, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â n ∈ N3. ᫨ ¢ § ¤ 祽⠪®¥, çâ®∆n u0 = 0,∆n u1 = 0,â® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥u(x, t) = u0 (x) +32tm ϕ+ tu1 (x) + t2! ϕ1 (x) + t3! ϕ2 (x) + . . .
+ m!m−2 (x).214. ᫨u0¨«¨u1ïîâáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¥ª®â®à®© £ ମ-¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¥ª®â®àãî äãªæ¨î ®â ¤àã£¨å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå, â. ¥.u0 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xk )g(xk+1 , . . . , xn ),u0 (x, y, z) =( ¯à¨¬¥à,¨áª âì ¢ ¢¨¤¥(x2−∆f = 02y 2 )e−z ), â® à¥è¥¨¥ ¬®¦®u(t, x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . .
. , xk )h(t, xk+1 , . . . , xn ),h|t=0 = g(xk+1 , . . . , xn ),¥á«¨ íâ®, ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨. ᫨ í⮧ ¤ ç 5, â®h|t=0 = g(xk+1 , . . . , xn ),◮ht |t=0 = 0.®¤áâ ¢¨¬u(t, x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xk )h(t, xk+1 , . . . , xn ), ¯à¨¬¥à, ¢ ãà ¢¥¨¥ § ¤ ç¨ 7:2½utt = a2 ∆u, t > 0, x ∈ Rn ,u|t=0 = f (x1 , . . . , xk )g(xk+1 , . . . , xn ),a ∆(f (x1 , . . .
, xk )h(t, xk+1 , . . . , xn )) =ut |t=0 = 0.= a2 (h(t, xk+1 , . . . , xn )∆f (x1 , . . . , xn ))++f (x1 , . . . , xk )∆h(t, xk+1 , . . . , xn )) ⇐⇒⇐⇒ htt (t, xk+1 , . . . , xn ) = a2 ∆h(t, xk+1 , . . . , xn ) ⇒ htt (t, xk+1 , . . . , xn ) = a2 ∆h(t, xk+1 , . . . , xn ),⇒ h(t, xk+1 , . . . , xn )|t=0 = g(xk+1 , . . . , xn ),ht (t, xk+1 , . . . , xn )|t=0 = 0.◭5. ®¢®«ì® ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥ ¢¨¤ u0 = x sin(ax + by + cz).∆u0 : ∆u0 = 2a cos(ax + by + cz) − (a2 + b2 ++ by + cz).ëç¨á«¨¬+22c2 )x sin(ax ç¨â, à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ u = g(t) cos(ax + by ++ cz) + f (t)x sin(ax + by + cz), 㤮¢«¥â¢®àïî饬 ç «ìë¬ãá«®¢¨ï¬ f (0) = 0, g(0) = 1, ¥á«¨ íâ®, ¯à¨¬¥à, § ¤ ç 7.◮ ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï:u = f (t)x sin(ax + by + cz) + g(t) cos(ax + by + cz),f (0) = 1,′g(0) = 0,′f (t)x sin(ax + by + cz) + g (t) cos(ax + by + cz) == −g(t)(a2 + b2 + c2 ) cos(ax + by + cz)+¢+f (t) 2a cos(ax+by+cz) − (a2 +b2 +c2 )x sin(ax+by+cz) ⇒½ ′f (t) + f (t)(a2 + b2 + c2 ) = 0, f (0) = 1,⇒g ′ (t) + g(t)(a2 + b2 + c2 ) = 2af (t), g(0) = 0.¡®«ã稫¨ ¤¢¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ¤«ï ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨-◭ «ìëå ãà ¢¥¨©.ਬ¥à 5.◮ utt = ∆u + (x2 + y 2 ) sin t, t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,u|= (2x − y + 2z) sin(2x − y + 2z)2 , t=0ut |t=0 = 0. ©¤ñ¬ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ïª ª(sin t)′′= − sin t,utt = ∆u + x2 sin t. ªâ®uç áâ = f (x) sin t ⇒: −f (x) = f ′′ (x) + x2 ⇐⇒⇐⇒ f ′′ (x) + f (x) = −x2 ⇐⇒ f (x) = C1 sin x + C2 cos x + 2 − x2 .uç áâ = (2−x2 ) sin t.uç áâ = (2 − y 2 ) sin t ª ç¥á⢥ ç á⮣® à¥è¥¨ï ¬®¦® ¢§ïâì «®£¨ç® ¯®«ãç¨âáï ç á⮥ à¥è¥¨¥utt = u + y 2 sin t.22®£¤ v = u − (4 − x − y ) sin t ⇒ vtt = v, t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,⇒ v|t=0 = (2x − y + 2z) sin(2x − y + 2z)2 ,vt |t=0 = x2 + y 2 − 4.¤«ï ãà ¢¥¨ï¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë à¥è¥¨©+ f (x, y, t)v = w(x, y, z, t) +¤¢ãå § ¤ ç:231. wtt = ∆w, t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,w|= (2x − y + 2z) sin(2x − y + 2z)2 , ⇒ w(x, y, z, t) = t=0wt |t=0 = 0= g(2x − y + 2z, t).