Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
ਠí⮬ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® x+ at > 0 ¤«ï ¢á¥© ¯¥à¢®©ç¥â¢¥àâ¨, £¤¥ ¤® ©â¨ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨, ¯®â®¬ã f (x ++ at) ®¯à¥¤¥«¨«®áì ¢® ¢á¥© § ¤ ®© ®¡« áâ¨. áâ «®á쮯।¥«¨âì g(x − at) ¤«ï x − at 6 0, t > 0, x > 0.3) ¥è ¥¬ ªà ¥¢ãî § ¤ çã.â® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ ®¡« áâ¨− at 6 0, x > 0, t > 0.D2 : x + at > 0, x −4) ¥è¥¨ï ¢ ®¡« áâïå ¨ § ¯¨áë¢ îâáï à §ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨| ®áâ «®áì ýáè¨âìþ ¨å. á ¬®¬ ¤¥«¥, ýá訢 âìþ ¤®â®«ìª®g(x − at),â. ª.f (x + at)| ®¤®.2.1. ª ©â¨ ç á⮥ à¥è¥¨¥?¯¥à â®à2¤ = ∂ 2 −a2 ∆ §ë¢ ¥âáï ¢®«®¢ë¬ ®¯¥à â®à®¬,∂t¨«¨ ®¯¥à â®à®¬ « ¬¡¥à .1.
᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨¤f (x, t) =utt = a2 ∆u + f (x, t)¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥∂ 2 f (x, t)− a2 ∆f (x, t) = bf (x, t),∂t2b 6= 0,â. ¥. ᢮¡®¤ë© ç«¥ ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¢®«®¢®£® ®¯¥à â®à , â® ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥uç áâ = cf (x, t).◮¥©á⢨⥫ì®,¤cf (x, t) = cbf (x, t) = f (x, t) ⇐⇒ c = 1b ,b 6= 0, â. ¥. ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â, ¥á«¨f (x, t) ¥ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥-¥á«¨¨ï. à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ᫨ ¦¥b = 0,â.
¥.f (x, t)ï¢-«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï, â® ¤®á¬®âà¥âì ®â¤¥«ì® | á¬. ¯à¨¬¥à 2.2. ᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨◭utt = a2 ∆u + g(x, t)᢮¡®¤ë© ç«¥ ¨¬¥¥â¢¨¤g(x, t) = ϕ0 (t)ψ0 (x),£¤¥∆ψ0 (x) = λψ0 (x),â. ¥.ψ0 (x)| ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï®¯¥à â®à ¯« á (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ®¤®¬¥à®£®), â® ç áâ-9®¥ à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥uç áâ = f (t)ψ0 (x), £¤¥ f (t)| ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï.◮¥©á⢨⥫ì®, ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ᮪à é¥-¨ï ψ0 (x)¯®«ã稬f ′′ (t) = a2 λf (t) + ϕ0 (t).ਬ¥à 1.◮◭¥è¨â¥ § ¤ çã utt = 9uxx + 90 cos(2x + 9t), x > 0, t > 0,u|t=0 = 8 cos 3x − 5 cos 2x, ut |t=0 = 0, x > 0,ux |x=0 = 18t − 2 sin 9t, t > 0. ª ª ª¤ cos(2x + 9t) = −45 cos(2x + 9t),â®uç áâ = c cos(2x+9t) ⇒ −c·45 cos(2x+9t) = 90 cos(2x+9t) ⇐⇒⇐⇒ c = −2 ⇒ uç áâ = −2 cos(2x + 9t) ⇒⇒ u(x, t) = f (x + 3t) + g(x − 3t) − 2 cos(2x + 9t).¥à¢ë© ᯮᮡ(¡¥§ ¯¥à¥å®¤ ª ®¤®à®¤®¬ã ãà ¢¥¨î¨ ¡¥§ ¯à¨¬¥¥¨ï ä®à¬ã«ë « ¬¡¥à )I.½¥è¨¬ § ¤ çã ®è¨.f (x) + g(x) − 2 cos 2x = 8 cos 3x − 5 cos 2x, x > 0,⇐⇒f ′ (x) − g ′ (x) + 6 sin 2x = 0, x > 0½f (x) + g(x) + 3 cos 2x = 8 cos 3x,⇐⇒⇐⇒f (x) − g(x) − 3 cos 2x = C(f (x) = 4 cos 3x + C2 , x > 0,⇐⇒g(x) = 4 cos 3x − 3 cos 2x − C2 , x > 0.¨¤¨¬, çâ® äãªæ¨¨ ©¤¥ë ⮫쪮 ¤«ï ¥®âà¨æ ⥫ìëå§ ç¥¨© à£ã¬¥â , ®âáî¤ ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â, çâ®äãªæ¨¨ f (x+3t),g(x−3t) ⮦¥ ©¤¥ë ¤«ï ¥®âà¨æ ⥫ìëå§ ç¥¨© à£ã¬¥â , â.
¥.f (x + 3t) = 4 cos 3(x + 3t) +C,2x + 3t > 0,g(x − 3t) = 4 cos 3(x − 3t) − 3 cos 2(x − 3t) −10C,2x − 3t > 0.â ª, ©¤¥ëf (x + 3t), g(x − 3t)AOB .¤«ï| íâ® ¢ãâਠ㣫 x+tt3t >0Ox − 3t > 0, x + 3t > 0x−3t 60 BD2D1xAxO¨á. 1¨á. 2® ¬ë ¨é¥¬ à¥è¥¨ï ¤«ït > 0, x > 0.祢¨¤®, çâ®f (x + 3t) ®¯à¥¤¥«¨«®áì ¢® ¢á¥© ¨â¥à¥áãî饩 á ®¡« áâ¨, g(x − 3t) ⮫쪮 ¢ãâਠ㣫 D1 .
¥è¥¨¥, ¥áâ¥á⢥®, ®¯à¥¤¥«¨«®áì ⮦¥ ⮫쪮 ¢ãâਠ㣫 D1 | ®® ®¯à¥¤¥«¨«®áì⮫쪮 ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨ ®è¨:u(x, t)D1 == 4 cos 3(x − 3t) − 3 cos 2(x − 3t) + 4 cos 3(x + 3t) − 2 cos(2x + 9t),x − 3t > 0,II.x + 3t > 0,x > 0,t > 0.¥¯¥àì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬ux |x=0 = 18t − 2 sin 9t,t > 0.®¤áâ ¢¨¬ ãá«®¢¨¥ ¢ ä®à¬ã«ã à¥è¥¨ïu(x, t) = f (x + 3t) + g(x − 3t) − 2 cos(2x + 9t) :ux |x=0 = 18t−2 sin 9t ⇐⇒ 18t−2 sin 9t = f ′ (3t)+g ′ (−3t)+4 sin 9t.¨¤®, çâ® à£ã¬¥â ãff¥®âà¨æ ⥫¥, äãªæ¨¨¨g¤«ï ¥®âà¨æ ⥫ìëå § 票© à£ã¬¥â ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ ãá«®¢¨© ®è¨.à£ã¬¥â 㢥áâ , ®¡®§ 稬 ¥ñg1 .g¥¯®«®¦¨â¥«¥ | äãªæ¨ï ¥ ¨§-®¤áâ ¢¨¬ ¨§¢¥áâãî äãªæ¨îf:18t − 2 sin 9t = −12 sin 9t + g1′ (−3t) + 4 sin 9t ⇐⇒⇐⇒ g1′ (−3t) = 18t + 6 sin 9t ⇐⇒⇐⇒ g1′ (ξ) = −6ξ − 6 sin 3ξ,−3t = ξ,2ξ 6 0 ⇐⇒⇐⇒ g1 (ξ) = −3ξ + 2 cos 3ξ + B,ξ 6 0.11¥è¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤u(x, t)D2 =C,2t > 0.= 4 cos 3(x+3t)−3(x−3t)2 +2 cos 3(x−3t)−2 cos(2x+9t)+B+x − 3t 6 0,x + 3t > 0,x = 3tg(x − 3t)¥¯¥àì ýá®èìñ¬þ à¥è¥¨ï ¯® å à ªâ¥à¨á⨪¥III.f (x + 3t) ®¤ ¨ â ¦¥, â® ýáè¨âìþ ¤®g1 (x − 3t) ¯à¨ x = 3t, â.
¥. g(0) ¨ g1 (0)):(â. ª.¨x > 0,⮫쪮CC+ 2 = 1 ⇔ B = − − 1.22u(x, t) = −2 cos(2x + 9t) + 4 cos 3(x + 3t) +"⢥â.4 cos 3(x − 3t) − 3 cos 2(x − 3t), x − 3t > 0, x > 0, t > 0;u(x, t)D1 |x=3t = u(x, t)D2 |x=3t ⇔ B ++2 cos 3(x − 3t) − 3(x − 3t)2 − 1, x − 3t < 0,x > 0, t > 0. à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥.
®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¤¢ ¦¤ë ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬® ¢ãâà¨D1à뢮 ¯® ¯®áâ஥¨î ¢® ¢á¥© ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨.¨D2 ,¥¯à¥-áâ «áï ¢®-¯à®á | ï¥âáï «¨ ®® ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¬ ¢®¢á¥©ç¥â¢¥àâ¨? ®ïâ®, çâ® ¤® ¯à®¢¥à¨âì à ¢¥á⢮ ¯¥à-¢ëå ¨ ¢â®àëå ¯à®¨§¢®¤ëå½g ′ (ξ)g1′ (ξ)g(ξ)¨g1 (ξ)¢ 0:g ′′ (ξ)= −12 sin 3ξ + 6 sin 2ξ,= −36 cos 3ξ + 12 cos 2ξ,′′= −6ξ − 6 sin 3ξ, g1 (ξ) = −6 − 18 cos 3ξ.¨¤®, çâ® ¯¥à¢ë¥ ¨ ¢â®àë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®¤¨ ª®¢ë ¢0|à¥è¥¨¥ ª« áá¨ç¥áª®¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, å à ªâ¥à¨á⨪¨ | íâ® «¨¨¨ â ª §ë¢ ¥¬®£® á« ¡®£® à §àë¢ , â. ¥.ýࢠâìáïþ ¯à®¨§¢®¤ë¥.¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ¨å ¬®£ãâ®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¥ ¢á¥£¤ ¤®áâ -â®ç® £« ¤ª®¥ ¢® ¢á¥© ¯¥à¢®© ç¥â¢¥à⨠| ¬®¦¥¬ ¯®«ãç¨âì ¢â®¬ ¨«¨ ¨®¬ á¬ëá«¥ ®¡®¡éñ®¥ à¥è¥¨¥.â®à®© ᯮᮡ(á ¯¥à¥å®¤®¬ ª ®¤®à®¤®¬ã ãà ¢¥¨î ¨¯à¨¬¥¥¨¥¬ ä®à¬ã«ë « ¬¡¥à )®¥ç®, ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ä®à¬ã«ã « ¬¡¥à áà §ã ª¨á室®© § ¤ ç¥, ® ¨ªâ® í⮣® ¥ ¤¥« ¥â, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨¤ñâáï ¢ëç¨á«ïâì ¤¢®©®© ¨â¥£à «.121) ®í⮬㠡®«ìè¨á⢮ 室¨â ç á⮥ à¥è¥¨¥, ¤¥« ¥âýᤢ¨£þ, § ⥬ ¯à¨¬¥ï¥â ä®à¬ã«ã « ¬¡¥à 㦥 ª ®¤®à®¤®¬ã ãà ¢¥¨î.
¤¥« ¥¬ ¨ ¬ë â ª ¦¥:v = u + 2 cos(2x + 9t).®¢ ï § ¤ ç ¯à¨¬¥â ¢¨¤ vtt = 9vxx , x > 0, t > 0,v|t=0 = 8 cos 3x − 3 cos 2x, vt |t=0 = −18 sin 2x, x > 0,vx |x=0 = 18t − 6 sin 9t, t > 0.2) ¥¯¥àì, çâ®¡ë ¢®á¯®«ì§®-¢ âìáï ä®à¬ã«®© « ¬¡¥à ,¤ 種訢â®çª¥§ ¢¨-á¨â ®â ç «ìëå ãá«®¢¨© ®á®¢ ¨¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® âà¥ã£®«ì¨ª , â.
¥.(á¬.ABà¨á. 3).Ct D ¤® § âì, çâ® à¥è¥¨¥ § -Of, g2f, g1 x, yAB x ®í⮬ã¨á. 3¨§ à¨á. 3 ¢¨¤®, çâ® ä®à¬ã« « ¬¡¥à à ¡®â ¥â ⮫쪮 ¢ãâਠ㣫 BOC ,− 3t > 0, x > 0, t > 0.â. ¥. ¤«ïx−â ª,v(x, t)D1 =´1³= 8 cos 3(x+3t)−3 cos 2(x+3t)+8 cos 3(x−3t)−3 cos 2(x−3t) +23+ (cos 2(x + 3t) − cos 2(x − 3t)) =24 cos 3(x + 3t) + 4 cos 3(x − 3t) − 3 cos 2(x − 3t).¥è¥¨¥ ©¤¥® «¨èì ¢ ç á⨠¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨. ¥¯¥à좮ᯮ«ì§ã¥¬áï ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬.3) ãâਠ㣫 CODá⮨⠤àã£ ï § ¤ ç | § ¤ ç ⨯ ãàá : ¨§¢¥áâë § 票ï¨vxv(x, t) ®¤®© ¨§ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯àאַ©, «¥¦ 饩 ¢ãâਠ㣫 å à ªâ¥à¨á⨪. ¥è¨¬íâã § ¤ çã: v(x, t) = f (x + 3t) + g(x − 3t), t > 0, x > 0,v(x, t)D1 |x−3t=0 = 4 cos 3(6t) + 1,⇒vx |x=0 = 18t − 6 sin 9t, t > 013 f (6t) + g(0) = 4 cos 3(6t) + 1, t > 0 ⇒⇒ f (0) + g(0) ≡ v(0, 0) = 5,⇐⇒⇒ ′′f (3t) + g (−3t) = 18t − 6 sin 9t, t > 0½f (ξ) = 1 + 4 cos 3ξ − g(0), ξ > 0,⇐⇒⇐⇒g ′ (−ξ) = 6ξ − 6 sin 3ξ + 12 sin 3ξ, ξ > 0½f (ξ) = 1 + 4 cos 3(ξ) − g(0), ξ > 0,⇒⇐⇒g (ξ) = −3ξ 2 + 2 cos 3ξ + B, ξ 6 0⇒ v(x, t)D2 == 1 + 4 cos 3(x + 3t) − g(0) − 3(x − 3t)2 + 2 cos 3(x − 3t) + B,x + 3t > 0,x − 3t 6 0.v(0, 0)D2 = 1 + 4 − g(0) + 2 + B = 5 ⇐⇒ − g(0) + B = −2.®«ã稬, çâ®u(x, t)D2 == −2 cos(2x + 9t) + 4 cos 3(x + 3t) + 2 cos 3(x − 3t) − 3(x − 3t)2 − 1,x − 3t > 0,tx + 3t > 0,x > 0,t > 0.ý訢 âìþ à¥è¥¨ï ¯® å à ª-f, g2â¥à¨á⨪¥ ¥ ¤®! à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ®¡« áâ¨x, y f, g1A B xO¨á.
4+D1à¥è¥¨¥¬ ï-¥âáï á㬬 ý¯àאַ©þ ¨ ý®¡à ⮩þ ¢®«, ¢ ®¡« áâ¨D2á㬬 ý®¡à ⮩þ ¨ ®âà ¦ñ®© ®â ª®æ (á¬. à¨á. 4)."⢥â. u(x, y) = −2 cos(2x + 9t) + 4 cos 3(x + 3t) +4 cos 3(x − 3t) − 3 cos 2(x − 3t), x − 3t > 0, x > 0, t > 0;2 cos 3(x − 3t) − 3(x − 3t)2 − 1, x − 3t 6 0, x > 0, t > 0.ਬ¥à 2.|◭ ©¤¨â¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ïutt = a2 uxx + ex−at .◮¢ ¢¨¤¥ uç áâ+ ex−at ⇐⇒ ∅.14¤ex−at = 0. ᫨ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥= cf (x, t), â® ¯®«ã稬 ca2 ex−at = ca2 ex−at + ¬¥â¨¬, çâ®®í⮬㠢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¢â®àë¬ á¯®á®¡®¬:uç áâ = f (t)ex ⇒ f ′′ (t)ex = a2 f (t)ex + ex e−at ⇐⇒⇐⇒ f ′′ (t) = a2 f (t) + e−at . ª ¬ë ¢¨¤¨¬, ¤«ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨f (t)¨¬¥¥â ¬¥á⮠१®- á:fç áâ = bte−at ⇒ −2abe−at + a2 bte−at = a2 bte−at + e−at ⇐⇒µ¶11 −at xat−at⇐⇒ b = −⇒ uç áâ = C1 e + C2 e−tee .2a2a ª ç¥á⢥ ç á⮣® ¬®¦® ¢§ïâì, ¯à¨¬¥à, uç áâ =1 tex−at .= − 2a1 tex−at .uç áâ = − 2a⢥â.◭ਬ¥à 3.
©¤¨â¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï9utt = uxx + t sin◮tx+ x sin .33 ª ª ª¶∂2∂21xx9 2 − 2 t sin = t sin ,∂t∂x393µ¶22∂∂tt9 2 − 2 x sin = −x sin ,∂t∂x33µâ®xt+ bx sin ⇒33xtxt1⇒ at sin − bx sin = t sin + x sin ⇐⇒ a = 9, b = −1 ⇒93333tx⇒ uç áâ (x, t) = 9t sin − x sin . ◭33uç áâ = at sin2.2.
®«ã¡¥áª®¥ç ï áâàã á § ªà¥¯«ñ묨«¨ ᢮¡®¤ë¬ ª®æ®¬¥è¥¨¥§ ¤ 種᢮¡®¤ë媮«¥¡ ¨ï塥᪮¥ç®©áâàãë, â. ¥. à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨:½utt = a2 uxx , t > 0, x ∈ R,u|t=0 = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x),x ∈ R,15¤ ñâáï ä®à¬ã«®© « ¬¡¥à :u0 (x + at) + u0 (x − at)1u(x, t) =+22aZx+atu1 (ξ) dξ.x−at ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ äãªæ¨¨, § ¤ î騥 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï,ïîâáï¥çñâ묨, â. ¥. u0 (x) = −u0 (−x), u1 (x) = −u1 (−x),â®, ¢®-¯¥à¢ëå,u(x, t) =1u0 (x + at) + u0 (x − at)+22aZx+atu1 (ξ) dξ,x−atZ −x+atu0 (−x + at) + u0 (−x − at)1u1 (ξ) dξ =+22a −x−atZ −x+at−u0 (x − at) − u0 (x + at)1u1 (−ξ) dξ =−=22a −x−atZ x+at1u0 (x − at) + u0 (x + at)u1 (ξ) dξ = −u(x, t),−=−22a x−atu(−x, t) =â.