Построение кривых

Построение кривых 1В данном параграфе мы рассматриваем параметрически заданные кривые вида x = x(t ), y = y (t ) .1.План исследования и построения кривых1. Исследование функций x = x(t ) и y = y (t ) .2. Исследование асимптот кривой.3. Анализ полученных результатов и построение эскиза кривой.4. Исследование кривой с помощью первой производной, нахождение точек экстремума и точек возврата.5.

Исследование кривой с помощью второй производной, нахождение точек перегиба.6. Построение кривой.Основные требования к результатам исследования и построению кривой в целом такие же, как к исследованию и построениюграфиков функций.2. Основные понятия и этапы исследования кривой1. Исследование функций x = x(t ) и y = y (t )Для построения кривой определяются промежутки измененияпараметра t , на которых функции x = x(t ) и y = y (t ) монотонны.На промежутке монотонности функции x = x(t )( y = y(t )) криy = y ( x ) ( x = x( y )) , со-вую можно анализировать как функциюответственно. Поэтому для построения кривой важно исследовать:— участки возрастания (убывания) функций x = x(t ) и y = y (t ) ;— вертикальные асимптоты;Наклонные асимптоты графиков функций x = x(t ) и y = y (t ) исследуются, только если используются их эскизы.

Исследование1В данной теме мы приводим сведения, необходимые для практического исследования ипостроения кривых. Полнота теоретического материала не предполагается.44функций x = x(t ) и y = y (t ) с помощью второй производнойпроводить не нужно.Результаты исследования функций x = x(t ) и y = y (t ) могутбыть описаны, приведены в виде таблицы или отражены на эскизах графиков этих функций.2. Использование результатов исследования x = x(t )2.1. Вертикальные асимптоты кривойПрямая x = x0 является вертикальной асимптотой кривойx = x(t ) и y = y (t ) , если выполнено хотя бы одно из условий:илиlim y (t ) = ±∞lim y (t ) = ±∞ ,lim y (t ) = ±∞ ,t →t 0 +0t →+∞t →t 0 −0lim y (t ) = ±∞ , но во всех случаях функция x = x(t ) монотонноt →−∞стремится к некоторому конечному значению x0 при соответствующем изменении параметра t .

Направление изменения(убывание или возрастание) функции x = x(t ) определяет, с какой стороны кривая приближается к асимптоте.2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты кривойПрямая y = kx + b является (невертикальной) асимптотойкривой x = x(t ) и y = y (t ) , при t → t0 + 0 , если lim x(t ) = ±∞ иt →t 0 +0lim ( y (t ) − (kx(t ) + b )) = 0 . Аналогично рассматриваются случаиt →t 0 +0асимптоты при t → t0 − 0 , t → +∞ , t → −∞ .Если k ≠ 0 , то асимптота называется наклонной.

Еслиk = 0 , то асимптота y = b называется горизонтальной.Для нахождения асимптот параметрически заданных кривыхосновным является метод вычисления пределов. Из определенияасимптотыприt → t0 + 0следует,чтоlimk = t→t +00y (t ),x(t )( y(t ) − kx(t )) . Вычисляя соответствующие пределы, поb = t→limt +0045лучаем уравнение асимптоты y = kx + b .

Другие случаи рассматриваются аналогично.Взаимное расположение асимптоты и кривой можно проанализировать,во-первых,оцениваязнаквыраженияy (t ) − (kx(t ) + b ) , во-вторых, по направлению выпуклости кривой,аналогично функции (см. п.1). Взаимное расположение асимптоты и кривой можно определить, анализируя промежутки изменения функций x(t ) и y (t ) при приближении к асимптоте.3.

Анализ результатов и построение эскиза графика функцииПолученные на данном этапе результаты исследования позволяют построить эскиз кривой, указывающий основные моменты поведения и приблизительно предположить взаимное расположение особых точек кривой. Такой анализ необходим для проверки дальнейших результатов исследования кривой с помощьюпроизводной.Построение эскиза и самой кривой начинается с изображения на координатной плоскости вертикальных и наклонных (горизонтальных) асимптот кривой. Если известны точки пересечения кривой с осями, полезно отметить их на координатной плоскости для уточнения ее поведения.Соотношение участков возрастания и убывания функцийx = x(t ) и y = y (t ) используем при построении эскиза кривой идля определения значений параметра t , при которых возможностремление к асимптоте.4.

Участки возрастания и убывания кривой. Точки минимума и максимума функций x = x( y ) и y = y ( x ) , точки возвратакривойУчастки возрастания и убывания кривой исследуются на интервалах параметра t , на которых определена функция y = y ( x )по знаку производной y′x аналогично исследованию функций.Приведем в таблице зависимость монотонности кривой отмонотонности функций x = x(t ) и y = y (t ) на интервале (t1;t2 ) изнаков производной y′x .46x(t )y (t )y′x1случай2случай3случай4случай↑↑↓↓↑↓↑↓+−−+кри↑↓↓↑ваяТочка ( x(t0 ); y (t0 )) называется точкой минимума (максимума) кривой, если в окрестности точки t0 определена функцияy = y ( x ) и точка x(t0 ) является ее точкой минимума (максиму-ма). Исследование точек минимума (максимума) осуществляетсяаналогично исследованию функций.

Производная y′x или соответствующие односторонние производные, вычисляются по формуле дифференцирования функции, заданной параметрически.Точка ( x(t0 ); y (t0 )) называется точкой минимума (максимума) функции x = x( y ) , если в окрестности точки t0 определенафункция x = x( y ) и точка y (t0 ) является ее точкой минимума(максимума). Исследование точек минимума (максимума) функции x = x( y ) осуществляется, как правило, исходя из определения при исследовании функций x(t ) и y (t ) . При этом y (t ) явля-ется монотонной функций, а функция x(t ) имеет минимум (максимум).Точка ( x(t0 ); y (t0 )) называется точкой возврата кривой, еслив окрестности точки t0 определены функции x = x(t ) и y = y (t ) ,точка t0 является точкой экстремума обеих функций и совпадаютодносторонние касательные к кривой приt → t0 − 0иt → t0 + 0 . Так как функция y = y (t ) имеет экстремум в этойточке, то y′x (t0 − 0 ) = y′x (t0 + 0 ) .475.

Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегибаНаправление выпуклости кривой определяется на участкахсуществования функции y = y ( x ) аналогично случаю исследования функций по знаку второй производной, вычисляемой поформуле дифференцирования функции, заданной параметрически: y′xx′ (t ) =y′xt′.xt′Точки перегиба кривой определяются на участках параметраt , где существует функция y = y ( x ) и исследуется аналогичнослучаю функции.48.