Построение графиков функций

Построение графиков функций1. План исследования функции при построении графика1. Найти область определения функции. Часто полезно учестьмножество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойствасимметрии.2. Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные,наклонные. Проанализировать взаимное расположение графикафункции и его наклонных (горизонтальных) асимптот.3.

Построить эскиз графика.4. Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определенияфункции (если односторонние производные существуют).5. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.2. Основные понятия и этапы исследования функции1. Область определения функции D f и множество значений функции E f . Специальные свойства функцииУказать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указатьабсциссы этих точек.

Нахождение области определения функцииприводить не обязательно.Множество значений функции находить не обязательно.Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используютсядля построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика.5График четной функции симметричен относительно оси ординат (Oy ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции исследуют наположительной половине области определения.Периодическую функцию исследуют на одном периоде, аграфик приводят на 2-3-х периодах.2. Исследование асимптот2.1. Вертикальные асимптотыОпределение 1. Прямая x = x0 называется вертикальнойасимптотой графика функции y = f ( x ) , если выполнено хотябы одно из условий:lim f ( x ) = ±∞ 1 или lim f ( x ) = ±∞ .x → x 0 −0x → x 0 −02.2. Наклонные (горизонтальные) асимптотыОпределение 2. Прямая y = kx + b называется (невертикаль-ной) асимптотой графика функции y = f ( x ) при x → +∞ , еслиlimx→+∞( f (x ) − (kx + b )) = 0 .Из определения асимптоты приx → +∞ следует, чтоf (x ), b = lim ( f ( x ) − kx ) .

Вычисляя соответствующиеx → +∞xпределы, получаем уравнение асимптоты y = kx + b .k = limx → +∞Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когдаx → −∞ .Если k ≠ 0 , то асимптота называется наклонной. Еслиk = 0 , то асимптота y = b называется горизонтальной.Аналогично вводятся понятия наклонной и горизонтальнойасимптоты графика функции y = f ( x ) при x → −∞ .2.3. Методы исследования невертикальных асимптотИсследование асимптот при x → +∞ и при x → −∞ какправило проводят отдельно.Символ ± ∞ мы будем использовать, подразумевая выполнение одного случая, либо+ ∞ , либо − ∞ .16В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x → +∞ и при x → −∞ , например, для1) рациональных функций;2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.Метод выделения главной части.

Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при x → +∞ . Аналогичнопри x → −∞ .Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби:Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции2 x 2 + 3x − 2.x −133► f (x ) = 2 x + 5 +. Так как= o(1) при x → ∞ , то пряx −1x −1мая y = 2 x + 5 является искомой асимптотой.

◄f (x ) =Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при x → ∞ .Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функцииf (x ) =x 4 + 3x − 1при x → +∞ .x−4►Так как−1 4  1 3 1  4f ( x ) = x 1 + 3 − 4 ⋅ 1 −  = x1 + + o   = x + 4 + o(1)x x  x x  x при x → +∞ , то прямая y = x + 4 является искомой асимптотой.◄Главнуючастьиррациональныхфункцийвидаf ( x ) = ax 2 + bx + c и f ( x ) = 3 ax 3 + bx 2 + cx + d удобно находить соответственно методом выделения полного квадрата илиполного куба подкоренного выражения.7Пример 3.

Найти наклонные асимптоты графика функцииf ( x ) = x 2 − 6 x + 14 при x → +∞ и x → −∞ .►В подкоренном выражении выделим полный квадратf (x ) =(x − 3)2 + 5 . Так как график функции f (x )относительно прямой x = 3 и f ( x ) − x − 3 =симметричен5(x − 3)2+5 + x −3,то f ( x ) ~ x − 3 при x → ∞ .

Значит, прямая y = x − 3 являетсяасимптотой при x → +∞ , а прямая y = 3 − x — асимптотой приx → −∞ . ◄Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части.Пример4.Найтиасимптотыграфикафункцииf (x ) = 4 x 2 − x + 2 .►Так как1111 1 + 2 = 2 x 1 − + 2 + o   , то функция4x 2x x  8x 4 x1имеет асимптоту y = 2 x −при x → +∞ и асимптоту41y = −2 x + при x → −∞ .◄4f (x ) = 2 x 1 −Для трансцендентных функций приемлемы оба метода исследования асимптот при решении практических примеров.Замечание 1.

При исследовании асимптот иррациональных,трансцендентных функций, а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: x → +∞ и x → −∞ . Совместное исследованиеасимптот при x → +∞ и при x → −∞ может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при x → −∞ необходимо выполнить замену переменнойx = −t .8тоты2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимпа) Если функция y = f ( x ) имеет асимптоту при x → +∞ ,дифференцируема и строго выпукла вниз на луче x ≥ x0 , то график функции лежит выше асимптоты (рис.

1.1).б) Если функция y = f ( x ) имеет асимптоту при x → +∞ ,дифференцируема и строго выпукла вверх на луче x ≥ x0 , тографик функции лежит ниже асимптоты (рис. 1.2).в) Могут быть другие случаи поведения графика функциипри стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, графикфункции бесконечное число раз пересекает асимптоту (рис. 1.3 и1.4).Аналогичное утверждение справедливо и при x → −∞ .До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можноопределить по знаку o(1) в методе выделения главной части.Пример 5. Определить взаимное расположение графика2 x 2 + 3x − 2и его асимптот.x −133► f (x ) = 2 x + 5 +. Так как> 0 при x → +∞ , то граx −1x −1фик функции лежит выше асимптоты y = 2 x + 5 .

Так как3< 0 при x → −∞ , то график функции лежит ниже асимптоx −1ты y = 2 x + 5 . ◄функции f ( x ) =9Пример 6. Определить взаимное расположение графикаx 4 + 3x − 1и его асимптоты при x → +∞ .x−48 1x2 1+ − 4x x = x + 4 − 1 + o 1  при►Из равенстваf (x ) = xx  xx → +∞ следует, что график функции лежит ниже асимптотыy= x+4.◄функции f ( x ) =Пример 7. Определить взаимное расположение графикафункции f ( x ) =x 2 − 6 x + 14 и его асимптот.5► Так как f ( x ) = x − 3 +(см. пример 3), то(x − 3)2 + 5 + x − 3график функции лежит выше асимптоты y = x − 3 при x → +∞и при x → −∞ . ◄Пример 8.

Определить взаимное расположение графикафункции f ( x ) =3x 3 + 6 x 2 − 2 x + 14 и его асимптот.► Так как x 3 + 6 x 2 − 2 x + 14 = ( x + 2 ) − 14 x + 6 , то применяя3формулу3a −3 b =( a) +23a −b3a3 b +( b)32приa = ( x + 2 ) − 14 x + 6 , b = ( x + 2 ) , получаем f (x ) − (x + 2) =− 14 x + 6. Эта=233233(x + 2) − 14 x + 6 + (x + 2) (x + 2) − 14 x + 6 + (x + 2)33и отрицательна при x > .разность положительна при x <77Поэтому при x → +∞ график функции лежит ниже асимптотыy = x + 2 , а при x → −∞ — выше асимптоты y = x + 2 .◄33()10Метод вычисления пределов для исследования асимптот непозволяет оценить взаимное расположение графика функции иего асимптоты.3. Построение эскиза графика функцииДля построения эскиза графика отмечаются вертикальные инаклонные асимптоты, точки пересечения графика функции сосями.

Учитывая взаимное расположение графика функции иасимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежитвыше (ниже) асимптоты при x → +∞ , то, предполагая, что существует такая точка x0 , что среди точек x > x0 нет точек перегиба,получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте.Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости касимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты приx → −∞ . Однако, как показывает приведенный выше примерфункции y = x +sin 2 x, такие предположения могут быть неxверны.4.

Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимумаОпределение 3. Функция f ( x ) называется возрастающей(убывающей) на интервале (a, b ) , если для любых x1 , x 2 ∈ (a, b ) ,таких чтоx1 < x2 имеет место неравенство( f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) ).Дифференцируемая на интервалеf ( x1 ) ≤ f ( x 2 )(a, b ) функция f (x )воз-растает (убывает) на интервале (a, b ) , тогда и только тогда, когдадля любого x ∈ (a, b ) f ′( x ) ≥ 0 ( f ′( x ) ≤ 0 ).Определение 4. Точка x0 называется точкой строгого ло-кального максимума (минимума) функции f ( x ) , если:1) функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;112) существует окрестность U ( x0 ) ⊂ D f , такая что для любогоx ∈U ( x0 )справедливонеравенствоf ( x ) < f ( x0 )( f ( x ) > f ( x0 ) ).Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции f ( x ) .Необходимое условие экстремума.

Если x0 — точка экстремума функции f ( x ) , то в этой точке либо f ′( x0 ) = 0 , либопроизводная не существует.Достаточные условия экстремума.1. Пусть существует δ > 0 , такое что функция f ( x ) дифференцируема в проколотой δ -окрестности точки x0 и непрерывнав точке x0 . Тогда,а) если ее производная меняет знак минус на плюс при переходе через точку x0 , т.е. f ′( x ) < 0 для любого x ∈ ( x0 − δ , x0 ) ,f ′( x ) > 0 для любого x ∈ ( x0 , x0 + δ ) , то x0 — точка максимумафункции f ( x ) ;б) если ее производная меняет знак плюс на минус при переходе через точку x0 , т.е. f ′( x ) > 0 для любого x ∈ ( x0 − δ , x0 ) ,f ′( x ) < 0 для любого x ∈ ( x0 , x0 + δ ) , то x0 — точка минимумафункции f ( x ) .Модельными примерами могут служить y = x (рис.

2.1) иy = − x (рис.2.2).122. Если функция f ( x ) дважды дифференцируема в точкеx0 , f ′( x0 ) = 0 и f ′′( x0 ) < 0 ( f ′′( x0 ) > 0 ), то точка x0 являетсяточкой максимума (минимума).Для запоминания достаточного условия удобно использо-вать модельные примеры: y = − x 2 (рис. 3.1) и y = x 2 (рис. 3.2)при x0 = 0 имеют максимум и минимум соответственно:3. Пусть существует δ > 0 , такое что функция f ( x ) дифференцируема в проколотой δ -окрестности точки x0 , непрерывнав точке x0 .