Несобственные интегралы

Несобственные интегралы.В пособии использованы задачи из сборника задач [1] и методических разработок кафедрывысшей математики МФТИ.Для студентов первого курса университетов и технических вузов с расширеннойпрограммой по математике.Составитель Иванова С.В.Основные обозначение:E ⊂ R - промежуток числовой прямой.B(E) - множество функций, ограниченных на множестве E.C(E) - множество функций, непрерывных на множестве E.C 1 (E) - множество функций, непрерывно-дифференцируемых на множестве E.R(E) - множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке E.Определения.Определение 1.1.

Пусть функция f (x) определена на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6+∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Рассмотрим функцию, определенную, как интегралZ βРимана с переменным верхним пределом: F (β) =f (x)dx. Если b = +∞ или функция fa— неограничена в любой левойZ bокрестности точки b, то будем называть точку b — особой.f (x)dx называется сходящимся, если существует конечныйНесобственный интегралaZ bZ βпредел слева функции F (β) в точке b. Тогда,f (x)dx = lim F (β) = limf (x)dx.β→b−0β→b−0 aa ZbВ противном случае несобственный интегралf (x)dx называется расходящимся.aЗамечание.

Представление несобственного интеграла, как предела числовой функции,удобно при припоминании некоторых теорем, например, теорем связанных с предельнымпереходом в неравенствах и критерия Коши.Принцип локализации. Определение сходимости и расходимости несобственногоинтеграла с одной особой точкой опирается на понятие конечного предела непрерывнойфункции — интеграла с переменным верхним пределом от интегрируемой по Римануфункции. Учитывая свойство аддитивности интеграла Римана относительно отрезкаинтегрирования, сходимость и расходимость несобственного интеграла зависит только отповедения подынтегральной функции в любой фиксированной окрестности особой точки(докажите самостоятельно).

Это позволяет формулировать различные теоремы, связанныес исследованием на сходимость несобственного интеграла в произвольной фиксированнойокрестности особой точки. Это свойство будем называть принципом локализации.Замечание. Аналогично, как предел справа интеграла Римана с переменным нижнимпределом, определяется несобственный интеграл с одной особой точкий в левом концепромежутка интегрирования.Определение 1.2.

Несобственный интеграл с двумя особыми точками. Пусть функцияf определена на промежутке (a, b), где точки a, b ∈ R — особые, функция f интегрируема поРиману на любом отрезке [α, β] ⊂ (a, b).Тогда для произвольной точки c ∈ (a, b) функцияf удовлетворяет условиям определения 1.1 на промежутках (a, c] и [c, b). НесобственнымZ bZ cZ bинтегралом с двумя особыми точками a и b назовается символf dx =f dx +f dx.aacZ bZ cZ bИнтегралf dx — сходится, если интегралыf dx иf dx — оба сходятся.aacZbcZf dx — расходится, если хотя бы один из интеграловИнтегралaрасходится.Замечание.ТребуетсядоказательствокорректностиZZf dx илиabf dxcопределения1.2:bf dx и его значение в случае сходимости несходимость/расходимость интегралаaзависит от выбора точки c.

(Доказать самостоятельно).Замечание. Аналогично, как сумму несобственных интералов с одной особой точкой наконце промежутка интегрирования, можно определить несобственые интегралы с любымконечным числом особых точек.Исследованиефункций.насходимостьинтеграловотзнакопостоянныхОсновные теоретические сведения.Формулировки и доказательства приводятся для несобственного интеграла с одной особойточкой в правом конце промежутка интегрирования. Для несобственного интеграла с однойособой точкой в левом конце промежутка интегрирования формулировки и доказательствааналогичны с точностью до соответствующих обозначений.Заметим, что, если подынтегральная функция f (x) — неотрицательна, то функция F (x),определенная как интеграл с переменным верхним пределом, является неотрицательнойи неубывающей.

Для доказательства существования конечного предела в определениинесобственного интеграла, то есть сходимости несобственного интеграла, достаточнодоказать ограниченность функции F .Теорема 1.1 (признак сравнения). Пусть функция f и g определены на промежутке[a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Пусть для любого x ∈ [a; b)выполнено: 0 6 f 6 g. ТогдаZZbbg(x) dx влечет сходимость интеграла1) Сходимость интегралаaZ2) Расходимости интегралаf (x) dx.Z bbf (x) dx влечет расходимость интегралаg(x) dx.aaaЗадание 1.1.

Доказать признак сравнения.Замечание. В сооответствии с принципм локализации в принципе локализациинеравенство 0 6 f 6 g достаточно проверять в некоторой окрестности особой точки b.Следствие 1.1. Признак замены на эквивалентную. Пусть функция f и gопределены на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b)f ∈ R[a; β]. Пусть f (x) > 0 и g(x) > 0 в некоторой левой окрестности особой точки b, атакже f ∼ g, x →Zb − 0.Zbbg(x) dx — сходятся или расходятся одновременно.f (x) dx иТогда интегралыaaСледствие 1.2. Пусть функция f и g определены на промежутке [a; b), где −∞ < a <b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β].

Пусть f (x) > 0 и g(x) > 0 в некоторой левойокрестности особой точки b, аZ такжеZ bbf (x)= 0 и интегралg(x) dx – сходится, то интегралf (x) dx сходится;1) limx→b−0 g(x)aZaZ bbf (x)2) lim= +∞ и интегралg(x) dx – расходится, то интегралf (x) dx расходится.x→b−0 g(x)aaПрименение признака замены на эквивалентную функцию основано на использованииследующих эталонных интегралов, зависящих от параметров:эталонZ 1dxα0 x1.+∞Z2.1+∞Z3.012Z4.05.2Z6.1расходитсяα<1α > 1;dxxαα>1α 6 1;dxeαxα>0α60 ;α < 1, β ∈ R;илиα = 1, β > 1;α > 1, β ∈ R;илиα = 1, β 6 1;α > 1, β ∈ R;илиα = 1, β > 1;α < 1, β ∈ R;илиα = 1, β 6 1;α > 0, β ∈ R;илиα = 0, β > 1;α < 0, β ∈ R;илиα = 0, β 6 1.dxαx | ln x|β+∞Zсходитсяdxxα lnβ x+∞dxαe xβЗамечания о припоминании условий сходимости эталонных интегралов(не являютсяматематическими утверждениями).Для эталонных интегралов 1 и 2 можно заметить, что при α = 1 оба интеграла расходятся.Делим множество значений параметра точкой 1 на две части и припоминаем, на которой изчастей есть сходимость/расходимость.Первый вариант припоминания.

Для интеграла 1: при α < 0 подынтегральная функцияограничена, интеграл сходится, при всех α < 1, при остальных расходится.Для интеграла 2. При α = 0 интеграл очевидно расходится, при всех α из промежутка(−∞, 1] — расходится.Второй вариант припоминания: промежуток интегрирования содержится в множестве(−∞, 1) или (1, +∞) — соответствующий интеграл сходится, иначе — соответствующийинтеграл расходится.Для эталона 3 приемы припоминания можно построить аналогично, но «точкой деления»множества значений параметра является α = 0, в этом случае интегрируется константа по1> 1 при всех x ∈ [1, +∞) — интегралбесконечному промежутку, а при отрицательных α: eαxзасходится.Для эталонов 4 и 5: при α 6= 1 сходится, если сходится при β = 0, как эталон 1 и 2соответственно.

Расходимость аналогично. Можно сказать, что в этом случае сходимостьопределяется сходимостью основного однопараметрического эталона.При α = 1 оба эталона сходятся при β > 1 и расходятся при остальных β.Для эталона 6 при α 6= 0 аналогично используем эталон 3 при β = 0.При α = 0 эталон также сходятся при β > 1 и расходятся при остальных β.Условия сходимости/расходимости эталонных интегралов следует доказать (см.

примеры1 и 2) и далее использовать без доказательства, в том числе в экзаменационной контрольнойработе.Приведем доказательства условий сходимости двух эталонных интегралов.Z 1dxПример 1.1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.α0 x.1.1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл в зависимости параметра значитнайти все значения параметра, при которых интеграл сходится, а также доказать, что приостальных значениях параметра интеграл расходится.Для доказательства условийсходимости1 вычислим интеграл по определению:−α+1 x , α < 1; 1, α < 1, инт. сх.;−α+11−αtZ 1Z 1dx1−α==limxdx=lim+∞, α = 1, инт.

расx.;lnx|;α=1;tαt→0+ tt→0+ 0 x1−α+1+∞, α = 1, инт. расx./1.1.x,α>1;−α + 1 tZ 12dxПример 1.2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.αβ0 x | ln x| ln x = −t Z 12dx 0 → +∞ =.1.2. При α = 1 выполним замену переменной:=β0 x| ln x| 1 → ln 2 2Z +∞Z +∞dtdx. Полученный интеграл отличается от эталонного интегралапромежуткомβxαln 2 t1интегирования и обозначением. В соответствии с принципом локализации промежутокинтегрирования не влияет на сходимость. Значит интеграл сходится при β > 1 и расходитсяпри β 6 1 (см. таблицу эталонов).Для доказательства сходимости интеграла при α < 1 рассмотрим вспомогательную.функцию g(x) = x1γ , где γ = 1+αZ 1 2Так как γ < 1, интегралg(x)dx — сходится, как эталон (см. таблицу).0f (x)xγxγ−αТак как α < γ, то lim= lim α=lim= 0.x→0+ g(x)x→0+ x | ln x|βx→0+ | ln x|βПо следствию 1.2.

признака сравнения исследуемый интеграл сходится.Для доказательства расходимости интеграла при α > 1 тоже рассмотрим функцию.g(x) = x1γ , где γ = 1+α2 Z1g(x)dx — расходится, как эталон (см. таблицу).Здесь γ > 1, интеграл0f (x)xγxγ−α= lim α=lim= +∞.x→0+ g(x)x→0+ x | ln x|βx→0+ | ln x|βПо следствию 1.2. признака сравнения исследуемый интеграл расходится. /1.2.Задание 1.3. Исследовать на сходимость эталонные интегралы 2, 3, 5 и 6.Кроме того, α > γ и limТиповая задача исследования интеграла от знакопостоянной функциии алгоритм ее решения.В типовых задачах исследования на сходимость интеграла от знакопостоянной функциипредлагается, как правило, исследовать интеграл с двумя особыми точками на концахпромежутка интегрирования в зависимости от параметра. Ключевым методом решениятаких задач является сведение к эталону с помощью признака замены на эквивалентнуюфункцию.Алгоритм0.