Методы решений дифференциальных уравнений - Ипатова

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)В. М. Ипатова, О. А. Пыркова, В. Н. СедовДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯМЕТОДЫ РЕШЕНИЙвторое издание, исправленное и дополненноеРекомендованоУчебно-методическим объединениемвысших учебных заведений Российской Федерациипо образованию в области прикладных математики и физикив качестве учебного пособия для студентов вузовпо направлению «Прикладные математика и физика»МОСКВАМ Ф ТИ2012УДК 517.9(075)ББК 22.161я73И76Рецензенты:Кафедра математического анализаМосковского государственного областного университета(зав. кафедрой доктор технических наук, профессор А.

В. ЛатышевДоктор физико-математических наук, профессор В. П. ШутяевИпатова, В. М., Пыркова, О. А., Седов, В. Н.И76Дифференциальные уравнения. Методы решений: учеб. пособие /В. М. Ипатова, О. А. Пыркова, В. Н. Седов. – 2-е изд., испр. и доп. –М.: МФТИ, 2012. – 140 с.ISBN 978-5-7417-0467-7Излагаются методы решения основных классов обыкновенныхдифференциальных уравнений, которые предлагаются на письменном экзамене по курсу дифференциальных уравнений в Московскомфизико-техническом институте (государственном университете). После краткого изложения теории приводятся примеры решения задач.В конце каждого параграфа содержится подборка задач из письменных контрольных работ с 2000 по 2006 гг.

с ответами. Также в настоящем издании добавлены тесты, предлагавшиеся на переэкзаменовке по дифференциальным уравнениям в 2008/2009 уч. г. и задачииз письменного государственного квалификационного экзамена(ГКЭ) по математике за 2009/2010 и 2010/2011 уч. гг., соответствующие теме «Дифференциальные уравнения».Предназначено студентам второго курса всех факультетов МФТИ(ГУ) и вузов с углубленным изучением математикиУДК 517.9(075)ББК 22.161я73ISBN 978- 5-7417-0467-72© Ипатова В.

М., Пыркова О. А., Седов В. Н., 2012© Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2012ВВЕДЕНИЕДанное учебное пособие предназначено для подготовки студентов к письменному экзамену по дифференциальным уравнениям.Оно составлено в соответствии с требованиями и на основе материалов письменного экзамена по дифференциальным уравнениям,проводящемся в Московском физико-техническом институте (государственном университете) в весеннем семестре второго курса,который вместе с последующим устным экзаменом завершает годовой курс дифференциальных уравнений.

В конце осеннего семестра на втором курсе по дифференциальным уравнениям предусмотрен зачет.Письменная контрольная работа состоит из восьми или девятизадач. Каждой из тем этих задач посвящен отдельный параграф. Онначинается с изложения метода решения рассматриваемых задачили сведений из теории (без доказательств), которые приводят крешению. Далее на примерах из письменных экзаменационных работ демонстрируются рассматриваемые методы.

Затем приводитсяподборка задач, которые давались на экзаменах по этой теме в2000–2006 годах, а затем ответы к ним. Каждая задача снабженаиндентификатором формата (x–yz), где цифра x – порядковый номер задачи в контрольной работе данного года, y – последняя цифра этого года, z – номер варианта. На каждой из контрольных работдавалось по четыре варианта.В настоящее издание также вошли тесты, предлагавшиеся напереэкзаменовке по дифференциальным уравнениям в 2008/2009уч. г., и задачи письменного государственного квалификационногоэкзамена (ГКЭ) по математике за 20009/2010 и 2010/2011 уч.

гг.Хотя пособие составлено на основе письменных экзаменов вМФТИ, его можно использовать и студентам других институтов сповышенной математической подготовкой.Искренняя благодарность всем преподавателям кафедры высшей математики МФТИ, принимавшим активное участие в составлении задач для письменного экзамена.3§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ1.1. Основные понятияНеоднородным линейным дифференциальным уравнением nго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение видаa 0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = f (x ) ,(1.1)где x ∈ R – независимая переменная; y (x ) – искомая функция;a 0 , a1 , … , a n – заданные числа, причем a 0 ≠ 0 ; f (x ) – известнаяфункция, не равная тождественно нулю. Уравнениеa0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = 0(1.2)называется однородным.Общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2) и любого частного решения неоднородного уравнения (1.1):(1.3)y (x ) = y o (x ) + y ч (x ) .1.2.

Общее решение однородного уравненияФундаментальной системой решений однородного уравнения(1.2) называется совокупность n линейно независимых решенийy1 (x ), y 2 ( x ), … , y n (x ) этого уравнения.Общее решение однородного уравнения (1.2) представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений, входящих в фундаментальную систему решений,(1.4)y o = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 ( x ) + … + C n y n ( x ) .Далее мы будем рассматривать уравнения с действительнымикоэффициентами, их решения будем искать в действительной форме.Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (1.2), называется алгебраическое уравнениеa0 λn + a1λn −1 +...+ a n −1λ + a n = 0 .(1.5)4Обозначим через λ1 , λ 2 , ...

, λ n корни характеристического уравнения (1.5), вообще говоря, комплексные.1.1) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (1.5) соответствует частное решение однородного уравнения (1.2), имеющее вид y = e λx .1.2) Каждому действительному корню λ кратности k (k ≥ 2 )соответствует k линейно независимых частных решений однородного уравнения e λx , xe λx , ...

, x k −1 e λx . Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет видy ( x ) = C1 + C 2 x + … + C k x k −1 e λx ,(1.6)где C1 , C 2 , … , C k – произвольные постоянные.1.3) Если λ = α + iβ , где α и β – действительные, β ≠ 0 , а()i 2 = −1 , является корнем характеристического уравнения (1.5), токомплексно-сопряженное число λ = α − iβ также корень этогоуравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами).Напомним, что для комплексного числа z = x + iy , где x, y ∈ R ,его действительной и мнимой частью называются соответственноRe z = x , Im z = y .

Кроме того, имеет место формула Эйлераe (α +iβ )t = e αt (cos β t + i sin βt ) .Паре невещественных корней α ± iβ соответствуют два линейно независимых действительных частных решения однородногоуравнения (1.2) Re e (α +iβ )x = e αx cos β x и Im e (α + iβ )x = eαx sin βx , которые включают в фундаментальную систему решений, вместофункций e (α + iβ )x , e (α −iβ )x . Соответствующая компонента общегорешения однородного уравнения (1.2) представляется в видеy (x ) = (C1 cos β x + C 2 sin β x ) e αx ,(1.7)где C1 , C 2 – произвольные постоянные.1.4) Если среди корней характеристического уравнения (1.5)есть корень λ = α + iβ кратности k (k ≥ 2 ) , то и комплексно сопряженный ему корень λ = α − iβ имеет ту же кратность k .

Этим2k невещественным корням соответствуют 2k линейно независи5мых частных действительных решений однородного уравнения(1.2)e αx cos β x , xeαx cos β x , ... , x k −1e αx cos β x ,eαx sin βx , xeαx sin βx , ... , x k −1e αx sin βx .Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет в этом случае видy (x ) = C1 + C 2 x + … + C k x k −1 e αx cos β x +,(1.8)+ D1 + D2 x + … + Dk x k −1 e αx sin β xгде C1 , C 2 , … , C k , D1 , D 2 , … , D k – произвольные постоянные.Так можно построить совокупность решения, являющуюся общим решением уравнения (1.2).(())1.3.

Частное решение неоднородного уравненияс правой частью специального видаПусть правая часть f (x ) неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами являетсяквазимногочленом, т.е. является суммой функций видаg (x ) = e γx (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) ,здесь Pm (x ) и Q n (x ) – многочлены степени m и n соответственно.В этом случае для поиска частного решения неоднородногодифференциального уравнения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.1.5) Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет видf (x ) = Pm (x ) e γx , где Pm (x ) = b0 + b1 x + … + bm x m – многочлен степени m.Если γ не является корнем характеристического уравнения(1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частноерешение неоднородного уравнения (1.1) ищется в видеy ч = Qm (x )e γx ,где Qm (x ) – многочлен той же степени m.6(1.9)Если γ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, что имеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется ввидеy ч = x s Qm (x )e γx .(1.10)Для определения коэффициентов многочлена Qm (x ) следует(1.9) или (1.10) подставить в (1.1), сократить на e γx и приравнятькоэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения.

Из получившейся системы алгебраических уравнений найдем эти коэффициенты.1.6) Пусть коэффициенты левой части уравнения (1.1) действительны,аегоправаячастьимеетвидγxf (x ) = e (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) .Если γ + iϕ не является корнем характеристического уравнения(1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частноерешение неоднородного уравнения (1.1) ищется в видеy ч = R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx ,(1.11)()где p = max{m, n} – наибольшей из степеней многочленов Pm (x ) иQ n (x ) , R p и T p – многочлены степени не выше p .Если γ + iϕ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, чтоимеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется ввидеy ч = x s R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx .(1.12)()Чтобы найти коэффициенты многочленов R p и T p , надо подставить (1.11) или (1.12) в уравнение (1.1), приравнять коэффициенты при подобных членах и решить полученную систему алгебраических уравнений.Если правая часть уравнения (1.1) представима в виде суммынескольких функций f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) +...+ f l (x ) , то частное решение неоднородного уравнения (1.1) состоит из суммы частныхрешений yi неоднородных уравнений(n )(n −1)′a0 y k + a1 y k+...+ a n−1 y k + a n y k = f k (x ) k = 1, l .(7)1.4.