31 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-31Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачКо второй строке прибавим третью:tigtu.ruИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-31Условие задачиКоллинеарны ли векторыи, построенные по векторамanРешениеи?Векторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.для любыхНетрудно заметить, что, а значит векторыи- коллинеарны.аносТ.е.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-31Условие задачиНайти косинус угла между векторамиРешениеи.:ачНайдемимежду векторамиСкНаходим косинус углаи:. Т.е. векторыи.и следовательно уголtigtu.ruТ.е.

косинус угла:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-31anУсловие задачиРешениеаносВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахПлощадь параллелограмма, построенного на векторахвекторного произведения:., численно равна модулю их, используя его свойства векторного произведения:ачВычисляемииСкВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-31Условие задачиКомпланарны ли векторы,и?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхбыло равноаносanплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,икомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-31Условие задачии его высоту, опущенную изачВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.СкРешениеИз вершиныпроведем векторы:В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:anПолучаем:tigtu.ruВычислим смешанное произведение:аносТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:ачВычислим векторное произведение:СкПолучаем:Тогда:Высота:tigtu.ruОбъем тетраэдра:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-31Условие задачиНайти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через три точкиanРешение:аносНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки.ачПроведем преобразования:от точкиСкРасстояниеНаходим:до плоскости:Условие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-31Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешениеНайдем вектор.an:перпендикулярно векторуперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектораТак как векторнормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:аносУпростим:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-31Условие задачиачНайти угол между плоскостями:РешениеСкДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Уголмежду плоскостями определяется формулой:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-31Условие задачиНайти координаты точки, равноудаленной от точеки:аносНайдем расстояниеТак как по условию задачиТаким образом.anРешениеи, то.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-31- коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, чтопринадлежит образу плоскости ?СкПустьточкаачУсловие задачиРешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость.

Находим образ плоскости:Так как, то точкав уравнение:tigtu.ruПодставим координаты точкине принадлежит образу плоскости.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-31Условие задачиРешениеаносКанонические уравнения прямой:anНаписать канонические уравнения прямой.,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей::СкачНайдем направляющий векторНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruanпринадлежит прямой.Следовательно, точкаПолучаем канонические уравнения прямой:аносилиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-31Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.ачРешениеСкЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:tigtu.ruНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиРешениесимметричную точкеотносительно плоскости.аносНайти точкуanЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-31Найдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.

Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющеговектора можно взять вектор нормали плоскости:ачТогда уравнение искомой прямой:СкНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:tigtu.ruПолучаем:является серединой отрезкаСкачПолучаем:, тоаносТак какanНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:.