30 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-30Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора::СкачКо второй строке прибавим первую умноженную наКо второй строке прибавим третью умноженную на:tigtu.ruanИскомое разложение:аносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-30Условие задачиКоллинеарны ли векторыРешениеи, построенные по векторамиСкачВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:Получаем:Значит векторыи- не коллинеарны.?.

Т.е. векторыУсловие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус угла.anНайдемtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-30Т.е. косинус угла:ачи следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-30Условие задачиСкВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:Вычисляеми, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:anВычисляем площадь:Т.е.

площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-30аносУсловие задачиКомпланарны ли векторыРешение,и?Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкачплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,ине компланарны.было равноУсловие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-30Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.Решениепроведем векторы:anИз вершиныи его высоту, опущенную изаносВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:ачВычислим смешанное произведение:СкПолучаем:Так какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anПолучаем:tigtu.ruВычислим векторное произведение:Тогда:аносОбъем тетраэдра:Высота:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-30Условие задачидо плоскости, проходящей через три точкиачНайти расстояние от точки.РешениеСкНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиПроведем преобразования::tigtu.ruот точкидо плоскости:anРасстояниеНаходим:аносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-30У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см.

ниже.Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешение:СкНайдем векторТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-30(2)У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см.

выше.Условие задачиРешениеНайдем вектор:перпендикулярно вектору.anНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуаносТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-30Условие задачиачНайти угол между плоскостями:РешениеСкДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Нормальныевекторы заданных плоскостей:Уголмежду плоскостями определяется формулой:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-30Условие задачи, равноудаленной от точекРешениеи:Так как по условию задачи, то.ачТаким образом.аносНайдем расстояниеиanНайти координаты точкиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-30Условие задачиСкПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?tigtu.ruРешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиПодставим координаты точки, то точка:не принадлежит образу плоскости.anТак какв уравнение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-30Условие задачиРешениеаносНаписать канонические уравнения прямой.Канонические уравнения прямой:,Скачгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей:Найдем направляющий вектор:tigtu.ru. Пусть, тогдааносanНайдем какую-либо точку прямойСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-30Условие задачиСкНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:аносПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-30Условие задачиНайти точкуотносительно плоскости.ачРешениесимметричную точкеСкНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можновзять вектор нормали плоскости:Тогда уравнение искомой прямой:Найдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Так каканосПолучаем:является серединой отрезкаСкачПолучаем:, то.