Cобственные числа оператора

Найдите все собственные числа λk и соответствующие собственные функции ωkоператора Λ xx (или же представьте их вид и докажите, что они – собственные числа ифункции оператора Λ xx )Λ xxωk = λk ωk , Λ xxu = h −2 (un −1 − 2un + un +1 ), n = 0,1,..., N , u0 = u N = 1, Nh = 1.Представьте решение разностного уравнения Λ xx u = f , u0 = u N = 1 в виде конечного рядаФурье.Определите параметр обусловленности СЛАУ.Пользуясь линейностью, представим решение задачиΛ xx u = f , u0 = u N = 1(1)в виде u = 1 + v , где v решение задачиΛ xx v = f , v0 = vN = 0 .(2)Запишем условия задачи вспомогательной задачи для ω в виде⎧ ωn−1 − 2ωn + ωn +1= λωn , n = 0,1,..., N ,⎪(3)h2⎨⎪ω = ω = 0, Nh = 1.N⎩ 0Или⎧⎪ωn +1 − 2 + λ h 2 ωn + ωn −1 = 0, n = 0,1,..., N ,(4)⎨⎪⎩ω0 = ω N = 0, Nh = 1.Соответствующее характеристическое уравнение (решение ищем в виде ωn = q n )()()q 2 − 2 + λ h2 q + 1 = 0 .(5)Его решение2⎛ λ h2 ⎞λ h2λ 2 h42.± ⎜⎜1 +± λh +q1, 2 = 1 +⎟ −1 = 1 +22 ⎟⎠24⎝Общее решение (4) имеет видωn = C1q1n + C2 q2 n ,λ h2(6)(7)где C1 и C2 - произвольные постоянные.Из граничных условий ω0 = ω N = 0 получаем⎪⎧C1 + C2 = 0,⎨NN⎪⎩C1q1 + C2 q2 = 0.(8)Система (8) имеет нетривиальные решения, если 0 =1q1N1q2N= q2 N − q1N , т.е.

q2 N = q1N .По теореме Виета из (5) имеем q1 ⋅ q2 = 1 .Тогда 1 = q1 ⋅ q2 =NNq12 N, и q1 = ei2π k2N= cosπkN+ i sinπkN, т.е. q1 = 1 и, следовательно,q2 = 1 и q2 = q1 .Из Re q1 = cosπkN= 1+λ h22находим, что2 ⎛πk ⎞4πkcos− 1⎟ = − 2 sin 22⎜2NNh ⎝h⎠собственные числа.λ = λk =(9)Имеем ωn = c1 cosπ knNπ kn+ c2 sinN, где c1 и c2 - произвольные постоянные.Из граничных условий ω0 = ω N = 0 получаем c1 = 0 , и ωn = ωnk = c2 sinc2 = 1 1 находим собственные функцииπ knωnk = sin.Nπ knN, или, полагая(10)Решение задачи (2) можно искать в видеvn =N −1∑ akωnk , n = 1, 2,…, N − 1 2,(11)k =1где ak неизвестные пока коэффициенты.Разложим теперь правую часть уравнения (2) в сумму Фурье, т.е. представим ее в видеfn =N −1∑k =1( f ,ω ) = 12=f ω h=∑∑fωh .Nh(ω , ω ) (ω , ω )kbk ωnk, где bkkN −1kkkn =1N −1kn nn =13kn n(12)Подставляя разложения (11), (12) в уравнение задачи (2), получаемfn =N −1N −1N −1k =1k =1k =1∑ bkωnk = Λ xxvn = Λ xx ∑ akωnk =∑ ak Λ xxωnk =N −1∑ ak λkωnk .k =1Учитывая линейную независимость функций ω , приходим к уравнениямak λk = bk .Откуда находим значения коэффициентов Фурье функции vn :k1(13)Собственные функции определяются с точностью до произвольного постоянного (не зависящего от n) неравного нулю множителя.23v0 = vN = 0(ωkN −1) ∑ (ω ),ωk =k =1kn2N −1h =∑ sin 2k =1π knNh=Nπ knk =1N∑ sin 2Nh=∑1 − cosk =1hh2π kn Nhhπk2π kn= ∑ − ∑ cos=−∑=2sincosπkNNN2 k =1 4sink =1 2 k =1 2NN⎡ 2π k ( n + 1/ 2 )2π k ( n − 1/ 2 ) ⎤Nhh=−∑sin− sin⎢⎥ =2 k =1 4sin π k ⎣NN⎦N⎡ 2π k ( N + 1/ 2 )2π k (1 − 1/ 2 ) ⎤Nhh=−sin− sin⎢⎥ =2 4sin π k ⎣NN⎦NNhh⎡ ⎛πk ⎞πk ⎤sin ⎜ 2π k +=−− sin⎟⎢N ⎠N ⎥⎦2 4sin π k ⎣ ⎝NNNN22π knN h=ak =bkλk−h 2=2Nhλk=2 N sin2πkN −1π knn =1N∑ f n sinN −1∑n =1f nωnk h2=N −1π knn =1N∑ f n sin2 πk ⎞⎛ 4Nh ⎜ − 2 sin⎟2N ⎠⎝ hh=h.2NТаким образомN −1un = 1 + ∑k =1ak ωnkN −1−h2k =12 N sin 2= 1+ ∑Из (9) находим, что λk <πk2NN −1π kll =1N∑ fl sinh sinπ knN.4= λmax .h22Оценка снизу дает λminТак как f ( x ) =λminπ⎛sin2⎜4≥π ⎜π⎜⎝ 4πh ⎞⎛sin⎜hππ442 ⎟ .= λ1 = 2 sin 2= 2 sin 2=π2⎜π h ⎟⎟2N h2h⎜⎝ 2 ⎠sin x⎡ π⎤монотонно убывает4 при, не ограничивая общности, x ∈ ⎢0, ⎥ , тоx⎣ 4⎦2⎞2⎟⎛ π⎞⎟ = 4 ⎜ sin ⎟ = 2 .4⎠⎝⎟⎠И число обусловленности μ = A A−1 =λmax 4 / h 2 2== 2.2λminh⎛ x2⎞ ⎛⎞x3x ⎜1 − + o x3 ⎟ − ⎜ x − + o x3 ⎟26cos x sin x x cos x − sin x⎝⎠ ⎝⎠ = − x +o x <0− 2 =f ′( x) ==( )22x3xxx( )4( ).