2016 Задачи (Задачи)
Описание файла
Файл "2016 Задачи" внутри архива находится в папке "Задачи". PDF-файл из архива "Задачи", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "случайные процессы" из 11 семестр (3 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Çàäà÷è ê çà÷åòó ïî êóðñó"Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ"1. Äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè è îäíîðîäíûìè ïî âðåìåíè ïðèðàùåíèÿìè âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è êîððåëÿöèîííóþôóíêöèþ.2. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) = A cos(ωt+ϕ), ãäå ω - íåñëó÷àéíàÿ êîíñòàíòà, A ϕíåçàâèñèìû, M(A) = m, D(A) = σ 2 , ϕ-ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îïðåçêå [0, π].Âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþäëÿ ξ(t). Äîêàçàòü, ÷òî ýòî ñòàöèîíàðíûé â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.3.
Ïóñòü W (t)-ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Äîêàçàòü, ÷òî îí íåïðåðûâåí â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì, íî íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì â ñðåäíåìêâàäðàòè÷åñêîì.4. ξ(t)-ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, η(t) = 0t ξ(s)ds. Âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå, äèñïåðñèþ è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ äëÿ η(t).R5. Ïóñòü W (t)-ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. ξ1 = 0π cos(t)dW (t),Rξ2 = 0π sin(t)dW (t). Íàéòè: M (ξ1 ), M (ξ2 ), D(ξ1 ), D(ξ2 ), Cov(ξ1 , ξ2 ).R6. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ðàâíà R(τ ) = exp(−τ 2 ).Íàéòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü f (λ).
Îáðàòíî, äàíà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüf (λ) = exp(−|λ|), íàéòè K(τ ).7. Ïóñòü W (t)-ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, h(τ ) = exp(−τ ),Rtτ > 0, ξ(t) = −∞h(t − s)W (s)ds. Âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ äëÿ òàêîãî ïðîöåññà. Òî æå ñàìîå äëÿ ïðîöåññàRtη(t) = −∞h(t − s)dW (s).8. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) óäîâëåòâîðÿåò ñòîõàñòè÷åñêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþdξ(t) = −ξ(t)dt + dη(t), t ≥ 0.Íàéòè îáùèé âèä ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ.9. Ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) èìååò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü f (λ) =exp(−|λ|). Äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì â ñðåäíåìêâàäðàòè÷åñêîì è íàéòè êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ äëÿ ïðîèçâîäíîé.10.
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) èìååò ñðåäíåå 0 è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþcos(t − s). Íàéòè kîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ äëÿ ïðîöåññà η(t) = ξ(t) + ξ 0 (t).111. W (t), t ≥ 0 ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Îáðàçóåì ñëó÷àéíóþïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïî ïðàâèëó: ξn = W (n) − W (n − 1), n ≥ 1. Äîêàçàòü, ÷òî ýòîñòàöèîíàðíàÿ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.12. Ñòàöèîíàðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ(n) èìååò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòüf (λ) = 10 + 6 cos λ = |3 + e−iλ |2 .
Ïî íàáëþäåíèÿì ξ(n), n ≤ 0, íàéòè îïòèìàëüíûéëèíåéíûé ïðîãíîç íà îäèí øàã âïåðåä.13. Íàéòè íàèëó÷øóþ ëèíåéíóþ îöåíêó äëÿ ñ.â. η â ïðîñòðàíñòâå L = {a+bξ},ãäå M (ξ) = M (η) = 0, D(ξ) = 1, cov(ξ, η) = 1.14. Äëÿ t ∈ [0, ln 2] íàáëþäàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñî ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëîì dξ(t) = (α1 et + α2 e2t )dt + dη0 (t). Âûïèñàòü âèä îïòèìàëüíûõ îöåíîêäëÿ α1 è α2 .15. Ïðè äâèæåíèè ïî íåêîòîðîìó ëàáèðèíòó Âû â ïåðâûé ðàç ðàâíîâåðîÿòíîñâîðà÷èâàåòå ëèáî íàëåâî, ëèáî íàïðàâî. Äàëåå íà êàæäîé ðàçâèëêå Âû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.7 ñâîðà÷èâàåòå òóäà æå, ÷òî è â ïðåäûäóùèé ðàç, à ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.3â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âû ñâåðíåòå íàëåâî:à) íà òðåòüåé ðàçâèëêå,á) íà 1000-îé ðàçâèëêå?16. Ïóñòü öåïü Ìàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì èìååò äâà ñîñòîÿíèÿ è ñëåäóþùóþ ìàòðèöó èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäà-121-2!Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà, íàéòè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Pij (t), t ≥ 0.2.
