diplomdvi (Лекция (1))

ВВЕДЕНИЕДанная работа посвящена одному из центральных результатов финансовой математики о существовании самофинансируемого портфеля, воспроизводящего цену опциона. Это результат Блека–Шоултса–Мертона, обычно доказываемый внепрерывном времени.В работе представлено новое доказательство этого результата путём предельного перехода при стремлении к нулю шагадискретного хеджирования.

При доказательстве используетсяклассический для теории вероятностей метод дифференциальных уравнений. С помощью равенства Чепмена–Колмогоровавыводится фундаментальное уравнение, которому при определённых предположениях удовлетворяет рациональная стоимость опциона Европейского типа.

Далее в явном виде находится дисбаланс и с помощью неравенства Чебышёва доказывается, что по вероятности этот дисбаланс стремится кнулю.1Итак, представим себе биржевого брокера, торгующего акциями только одной компании и имеющего счёт в банке.Обозначим цену акций, выраженную в каких–нибудь денежных единицах, например, в долларах, через St .t может принимать значения 0, h, 2h, . . . , T −h, T , это дискретные моменты времени, в которых могут происходить сделки. T –конечный момент времени, при наступлении которого происходит исполнение обязательств.Счёт представляет собой некоторое количество бон (единицкапитала).

Обозначим цену боны, выраженную в тех же денежных единицах, что и цена акций, через Bt .Таким образом, в каждый момент времени t у брокера имеются определённые количества акций – γt и бон – βt .Последовательность (γt , βt )Tt=0 задаёт стратегию или портфель брокера, который обозначается Xt . Часто портфель записывают в его стоимостном выражении:Xt = γt St + βt Bt .Цена акций меняется случайным образом и в общем случаепо неизвестному закону. Будем считать, что поведение ценырассматриваемых нами акций подчинено закону геометрического броуновского движения, т.е.St = S0 eat+σwt ,где wt – стандартный винеровский процесс, S0 – цена акции вначальный момент времени, a – коэффициент сноса, σ – коэффициент диффузии.Какой будет цена акций в будущем неизвестно, она можеткак подняться, так и опуститься, вследствие чего стоимостьпортфеля может уменьшиться, что обычно нежелательно.

Поэтому акции принято называть рисковым активом в составе портфеля биржевого брокера.Счёт в банке составляет безрисковый актив. По общему правилу цена боны задаётся следующим образом:Bt = B0 ert ,где r – процентная ставка, B0 – цена боны в начальный моментвремени, обычно B0 = 1.2Большой интерес представляет класс самофинансируемыхпортфелей.Самофинансируемый портфель — это портфель, в которомизменение капитала за счёт изменения состава банковского счётаможет осуществляться лишь за счёт изменения в составе “пакета” акций, и наоборот.

Формально самофинансируемость портфеля Xt можно записать в виде равенства:∆βt Bt+h = −∆γt St+h ,где ∆βt = βt+h − βt , ∆γt = γt+h − γt .Поведение цен акций столь непредсказуемо, что спекуляцияна них связана с очень большими рисками. В связи с этимпоявилось множество финансовых инструментов, призваныхкаким–либо образом обезопасить участников биржевых сделок.Одним из таких финансовых инструментов является опцион.Опцион европейского типа — это производная ценная бумага, дающая право её обладателю купить (или продать) акцию(или “пакет” акций) в определённый момент времени в будущем, называемый сроком исполнения опциона (у нас это моментT ), по заранее оговоренной цене.Имеется функция выплат — это деньги, которые эмитентопциона обязуется выплатить в момент исполнения опциона.

Будем считать, что она явным образом зависит только от ценыакций в конечный момент времени, обозначим её f (ST ).Кроме того, будем считать, что выполняется следующее соотноошение:σ2a=r− .2При этом условии дисконтированные цены акций – BStt образуютмартингал.Возникает цена опциона как условное математическое ожидание по этой мартингальной мере:C(t, St ) = E(e−r(T −t) f (ST )|St ).Рассмотрим ещё один портфель — Xt∗ . Говорят, что этотпортфель воспроизводит цену опциона, если ∀tXt∗ = C(t, St ).3Известно, что количество акций в портфеле Xt∗ задаётся формулой:∂C(t, St ).γt∗ =∂StПонятно, что в этом случаеβt∗ =C(t, St ) − γt∗ St.BtПроцесс хеджирования заключается в том, чтобы поддерживать в портфеле Xt такое же количество акций, как и в портфелеXt∗ , т.е.γt = γt∗ ,и такое количество бон на счёте, чтобы портфель Xt был самофинансируемым, т.е.∆βt = −∆γt∗ St+h.Bt+hОбозначим ∆Dt := ∆βt − ∆βt∗ ,D(h) :=TX−h∆Dt − дисбаланс.t=0Итак, портфели Xt и Xt∗ содержат одинаковые пакеты акцийи некоторые количества бон.

Ниже будет доказано, что этипортфели сближаются при стремлении к нулю шага дискретногохеджирования.Отметим некоторые свойства предложенной модели.Случайные величиныδt := ln St+h − ln St == ln SSt+h= ah + σN (0, h), t = 0, h, . . . , T − h — независимы.tEδt = ah,Eδt2 = σ 2 h + a2 h2 ,Eδt3 = 3σ 2 ah2 + a3 h3 ,Eδt4 = 3σ 4 h2 + 6σ 2 a2 h3 + a4 h4 .4Eδtk = O(h3 ), при k ≥ 5.Оценим абсолютные моменты случайной величины δt с помощьюнеравенства Минковского для интегралов:f (x), g(x) – положительные функции на (−∞, +∞), тогда½ZZ½Z¾1pf (x)g(x) dx ≤f (x) dxp¾1qq·g (x) dx, где1 1+ = 1.p qВозьмём p = q = 2.ZZE|δt | =sZ≤q|x|p(x) dx =sZx2 p(x) dx ·sZp(x) dx =ZZ3|x| p(x) dx =sZ|x| p(x) · xsZx2 p(x) dx≤√x2 p(x) dx · 1 = O( h)q3E|δt | =q|x| p(x) p(x) dx ≤2qp(x) dx ≤√x4 p(x) dx = O(h h)·kАналогичным образом легко показать, что E|δt |k = O(h 2 ).³´∆St = St+h − St = eln St eδt − 1³´E(∆St |St ) = St E eδt − 1 = St (1 + Eδt +Ã= St!=⇒Eδt2+ ō(h) − 1) =2σ2h + ō(h) = St rh + ō(h).a+2³´ÃE(∆St2 |St ) = St2 E e2δt − 2eδt + 1 = St2 1 + 2Eδt +Ã!!4Eδt2+ ō(h)−2Eδt2−2 1 + Eδt ++ ō(h) + 1 = St2 (Eδt2 +ō(h)) = St2 σ 2 h+ō(h).25Теорема Построенный самофинансируемый портфель воспроизводит цену опциона в том смысле, что дисбаланс повероятности стремится к нулю при уменьшении шага дискретного хеджирования, т.е.pD(h) −→ 0 приh −→ 0.Лемма 1 Пусть f (ST ) – ограниченная и гладкая функция, ипусть все её производные ограничены, тогда цена опционаC(t, St ) – функция, гладкая по t и St , т.е.

C(t, St ) имеет производные любого порядка при t ∈ [0, T ] и St ∈ [0, +∞).Доказательство.Заметим, что ST = St exp{ln ST − ln St },Обозначим x := ln ST − ln St = ln SSTt == ln{ea(T −t)+σ(wT −wt ) } = a(T − t) + σN (0, T − t),где N (0, T − t) — стандартное нормальное распределение сосредним 0 и дисперсией T − t.Тогда для цены опциона справедливо следующее представление:+∞RC(t, St ) = E(f (ST )e−r(T −t) |St ) =f (St ex )e−r(T −t) p(x, t) dx,−∞(x−a(T −t))2−2σ 2 (T −t)где p(x, t) = √2πσ1√T −t e– плотность распределения случайной величины x.Для дифференцируемости C(t, St ) достаточно, чтобы быладифференцируема подинтегральная функция, и интегралы отсоответствующих производных подинтегральной функции сходились.

Проверим это непосредственно.Обозначим g(t, St , x) := f (St ex )e−r(T −t) p(x, t).Дифференцируемость по St :(n)(n)gStn (t, St , x) = enx−r(T −t) fStn (St ex )p(x, t),(n)(n)fStn (St ex ) ограничена =⇒ gStn (t, St , x) интегрируема по x.Дифференцируемость по t:Известно, что p(x, t) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:−∂p∂p 1 2 ∂ 2 p=a+ σ,∂t∂x 2 ∂x26t ≤ T.−t)∂p= − x−a(Tp(x, t)∂xσ(T −t)³´2(x−a(T −t))2∂ p1=−+p(x, t)222∂xσ(T −t)σ (T −t)Ã=⇒gt0 (t, St , x) = re−r(T −t) f (St ex )p(x, t) + f (St ex )e−r(T −t) ×Ãa(x − a(T − t)) 1 21(x − a(T − t))2×+ σ−σ(T − t)2σ(T − t)σ 2 (T − t)2Ã!!p(x, t) =!a(x − a(T − t))σ(x − a(T − t))2= r++−g(t, St , x) =σ(T − t)2(T − t)2(T − t)2= (Ax2 + Bx + C)g(t, St , x).Понятно, что gt0 (t, St , x) интегрируема по x.Существование смешанных производных и производных более высокого порядка доказывается аналогично.ч.т.д.Лемма 2 (ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ)В сделанных предположениях цена опциона, как функция двухпеременных t и St , удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:∂C(t, St )∂C(t, St ) 1 2 2 ∂ 2 C(t, St )− rC(t, St ) = 0.+ rSt+ σ St∂t∂St2∂St2Доказательство.Обозначим PtT (y, Y ) — переходная вероятность, тогда ценаопциона может быть записана следующим образом:+∞ZC(t, St ) = E(f (ST )e−r(T −t)f (ST )e−r(T −t) PtT (St , dST ).|St ) =−∞Воспользуемся равенством Колмогорова–Чепмена:ZPtT (y, Y ) =Pts (y, du)PsT (u, Y ),t < s < T.=⇒+∞ZT(y, dST ) =f (ST )e−r(T −(t−h)) Pt−hC(t − h, y) =−∞7+∞Z+∞ZtPt−h(y, du)PtT (u, dST ) =−r(T −t) −rh=f (ST )ee−∞−∞+∞Zt(y, du).C(t, u)e−rh Pt−h=−∞+∞ZtC(t, u)e−rh Pt−h(y, du) − C(t, y) =C(t − h, y) − C(t, y) =−∞+∞Z³=−∞−rhC(t, u)e´tC(t, u)e−rh − C(t, y) Pt−h(y, du).Ã!r 2 h2− C(t, y) = 1 − rh ++ ō(h2 ) C(t, u) − C(t, y) =2= C(t, u) − C(t, y) − rhC(t, u) +r 2 h2C(t, u) + ō(h2 ) =21= (u − y)CS0 t (t, y) + (u − y)2 CS00t2 (t, y)+2hi1+ (u − y)2 CS00t2 (t, y + θ(u − y)) − CS00t2 (t, y) −2r 2 h2−rhC(t, u) +C(t, u) + ō(h2 ).2+∞Zt(u − y)Pt−h(y, du) = yrh + ō(h),−∞+∞Zt(u − y)2 Pt−h(y, du) = y 2 σ 2 h + ō(h).−∞Таким образом, имеем1C(t−h, y)−C(t, y) = ryCS0 t (t, y)h+ σ 2 y 2 CS00t2 (t, y)h−rC(t, y)h+ō(h).2Разделим обе части равенства на h и устремим h к нулю, вместоy подставим St :−∂C(t, St )∂C(t, St ) 1 2 2 ∂ 2 C(t, St )= rSt+ σ St− rC(t, St ).∂t∂St2∂St28Будем предполагать, что функция C(t, St ) и все её произвоные ограничены.Кроме того естественно полагать, что существуют конечныемоменты EStk , k ≥ 1.Лемма 3 Для приращения количества бон в самофинансируемом портфеле справедливо представление:St∆βt = −Bt(µ¶3 2∂ 2 C(t, St )∂ 2 C(t, St )Sδ+δ+h+ttt∂St22∂St ∂t)1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2|A(h, δt )| p+St δt + A(h, δt ), где−→ 0 при h −→ 0.32 ∂SthДоказательство.∆βt = −Ã∆γt∗ St+h=Bt+hδ2 δ3∆γ ∗ St1 + δt + t + t eθ1 δt=− tBt26∗∆γt∗ = γt+h− γt∗ =!Ã!r2 h2 θ2 rh1 − rh +e.2∂C(t + h, St+h ) ∂C(t, St )−=∂St∂StÃ!∂C(t, St ) ∂ 2 C(t, St )δt2 δt3 θ1 δt∂ 2 C(t, St )S=+δ++e+h+tt∂St∂St226∂St ∂tÃδt2 δt3 θ1 δt1 ∂ 3 C(t, St ) 2Sδ+++ ett2 ∂St326Ã∂ 2 C(t, St )δt2=Sδ+tt∂St22!+!2+ A1 (h, δt ) −∂C(t, St )=∂St∂ 2 C(t, St )1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2h+St δ t +∂St ∂t2 ∂St3+A1 (h, δt ) + A2 (h, δt ), гдеÃ!δt2 δt3 θ1 δt1 ∂ 3 C(t, St ) 2∂ 3 C(t, St )Sδ++eh+h+A1 (h, δt ) =tt∂St2 ∂t262 ∂St ∂t2Ã!3δt2 δt3 θ1 δt∂ 4 C(t2 , s2 ) 21  ∂ 4 C(t, s1 ) 3+3+ St δ t ++ eSt ×6∂St426∂St3 ∂t9Ãδ2 δ3× δt + t + t eθ1 δt26!2)∂ 4 C(t1 , St ) 3h ,+∂St ∂t3Ã!∂ 4 C(t3 , s3 )δt2 δt3 θ1 δt 2h+3Sδ++ eh+tt∂St2 ∂t226t1 , t2 , t3 ∈ [t, t+h],δ2s1 , s2 , s3 между St и St+h .|δ 3 |Обозначим ϕ(δt ) := |δt | + 2t + 6t eθ1 δt , тогда в силу того, чтофункция C(t, St ) и все её произвоные ограничены некоторой константой K, справедлива оценка:1|A1 (h, δt )| ≤ KSt hϕ(δt ) + Kh2 +2´1³KSt3 ϕ3 (δt ) + 3KSt2 hϕ2 (δt ) + 3KSt h2 ϕ(δt ) + Kh3 =6(Ã!)h1 2 21 3 3h2 h3= K St h 1 +ϕ(δt ) + St hϕ (δt ) + St ϕ (δt ) +.+22626+A2 (h, δt ) =Ã3+∂ 2 C(t, St ) δt3 θ1 δtSt e +∂St26δt2δt3 θ1 δt1 ∂ C(t, St ) 2Stδ ++ e t2 ∂St326!2− δt2 .¯¯|δt |3 θ1 δt 11e + KSt2 ¯¯ϕ2 (δt ) − δt2 ¯¯ = KSt |δt |3 ψ(St , δt ),622()¶µ21 1 θ1 δtδt θ1 δt |δt3 | 2θ1 δt1 θ1 δt+ St 1 ++ e|δt | + e+eψ(St , δt ) = e34 3636|A2 (h, δt )| ≤ KStSt∆βt = −Bt(Ã!∂ 2 C(t, St )δt2∂ 2 C(t, St )Sδ++h+tt∂St22∂St ∂t)1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2+St δt + A1 (h, δt ) + A2 (h, δt ) ×2 ∂St3Ã!δ2× 1 + δt + t − rh + A3 (h, δt ) ,2!ÃÃδ3r2 h2 θ2 rhe− rhA3 (h, δt ) = t eθ1 δt +6210!δ2 δ3r2 h2 θ2 rhδt + t + t eθ1 δt +e ,262¯¯¯|δt |3 θ1 δt ¯¯ r2 h2r 2 h2|A3 (h, δt )| ≤e +¯M − rh¯¯ ϕ(δt )+M, где M = eθ2 rT .¯ 2¯62Таким образом,(St∆βt = −Bt!Ã∂ 2 C(t, St )∂ 2 C(t, St )3δt2+h+St δt +∂St22∂St ∂t)1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2+St δt + A(h, δt ), где2 ∂St3StA(h, δt ) = −Bt(Ã!δ21 + δt + t − rh + A3 (h, δt ) (A1 (h, δt ) + A2 (h, δt ))+2Ã∂ 2 C(t, St )1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2St δ t+h+∂St ∂t2 ∂St3Ã∂ 2 C(t, St )δt2+Sδ+tt∂St22St|A(h, δt )| ≤B0"Ã!Ã!Ã!δ2δt + t − rh + A3 (h, δt ) +2!)δt2− rh + A3 (h, δt )2¯¯!¯¯ r 2 h2r 2 h2¯¯M − rh¯ ϕ(δt ) +M ×1 + ϕ(δt ) + rh + ¯¯¯ 22!!(ÃÃ× K St h 1 +h11h2 h3ϕ(δt ) + St2 hϕ2 (δt ) + St3 ϕ3 (δt ) +++22626¸µ11+ KSt |δt |3 ψ(St , δt ) +K h + St2 δt222!"¯¯¯ r 2 h2¯¯ϕ(δt ) + rh + ¯M − rh¯¯ ׯ 2¯!ÃöÃ|δt3 | δt4δ2r 2 h2M +KSt++ |δt | + t×ϕ(δt ) +2242rh +¯¯!#)¯ r 2 h2¯r2 h2¯¯+¯.M − rh¯ ϕ(δt ) +M¯ 2¯2eθ1 δt = 1 + θ1 δt +³´.θ12 δt22|δt |3 θ1 δte +6+ ...,E eθ1 δt = 1 + θ1 ah +θ12(σ 2 h2+ a2 h2 ) + O(h2 ).³´St и δt независимы =⇒ E Stk |δt |l = EStk E|δt |l .После раскрытия всех скобок получится некоторое выражение, в которое |δt | входит√с коэффициентом порядка h, а δt2 — скоэффициентом порядка h.11√E|δt | = O( h),√E|δt |3 = O(h h), .