гиперболическая система

Дана гиперболическая система уравнений∂v ∂w⎧ ∂u ∂u⎪ ∂t + ∂x − 3 ∂x + ∂x = f (t , x )⎪∂u ∂v ∂w⎪ ∂v+−= g (t , x )⎨ −3∂x ∂x ∂x⎪ ∂t∂w⎪ ∂w ∂u ∂v⎪⎩ ∂t + ∂x − ∂x + 5 ∂x = h(t , x )с начальными условиями u (0, x) = ϕ1 ( x), v(0, x) = ϕ 2 ( x), w(0, x) = ϕ3 ( x) .А) 6 Определить корректные постановки краевых условий для этой задачи из предложенных вариантов(если условия некорректны, указать, почему):1) u (t ,0) + v (t , 0) = ψ 1 (t ),u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).2) u (t ,1) + v(t ,1) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).3) u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u (t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ),u(t ,1) − v (t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).4) u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,1) − v(t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).Б) 4 Предложить устойчивую разностную схему для решения данной системы уравнений на указанномшаблоне;В) 4 Показать порядок и способ вычисления неизвестных функций u, v, w на верхнем слое, включаяграничные точки.rrr∂U∂UА) c Запишем исходную систему в матричном виде:+A=F,∂t∂x⎛u⎞⎛ 1 −3 1 ⎞⎛ f (t , x )⎞⎜⎟ r ⎜⎟r ⎜ ⎟где U = ⎜ v ⎟ , A = ⎜ − 3 1 − 1⎟ , F = ⎜ g (t , x ) ⎟⎜ w⎟⎜ 1 −1 5 ⎟⎜ h(t , x ) ⎟⎝ ⎠⎝⎝⎠⎠d Найдем собственные значения матрицы A :Характеристическое уравнение: A − λE = 01− λ−30 = −31− λ1−111− λ −1− 3 −1− 3 1− λ=+3+1− 1 = (1 − λ )−1 5 − λ1 5−λ1−15−λ= (1 − λ )[(1 − λ )(5 − λ ) − 1] + 3[3λ − 15 + 1] + [3 − 1 + λ ] =[][]= (1 − λ ) 5 − 6λ + λ2 − 1 + 3[3λ − 14] + [2 + λ ] = (1 − λ ) 4 − 6λ + λ2 + 9λ − 42 + 2 + λ == 4 − 6λ + λ2 − 4λ + 6λ2 − λ3 + 10λ − 40 = − λ3 + 7λ2 − 36«Угадываем» корень λ = −2λ3 − 7λ2 + 36 = (λ + 2)(λ2 + aλ + 18) = λ3 + (2 + a )λ2 + (18 + 2a )λ + 36 откуда a = −9 иλ3 − 7λ2 + 36 = (λ + 2)(λ2 − 9λ + 18) = (λ + 2)(λ − 3)(λ − 6) .

Таким образомспектр матрицы λ1 = −2 , λ 2 = 3 , λ3 = 6Уже сейчас можем сказать, что на левой границе должно быть задано 2 граничных условия12, а на правой– 13. Поэтому условие 3)4 не подходит.e Найдем левые собственные векторы5 матрицы A 6: g i A = λi g iTT⎛ g 1i ⎞⎜ ⎟или A g i = λi g i , где g i = ⎜ g 2i ⎟ .⎜g ⎟⎝ 3i ⎠T                                                            1  λ2 = 3 > 0 ,λ3 = 6 > 0- на левой границе 2 входящие характеристики2Число ГУ соответствует числу входящих характеристик3λ1 = −2 < 04u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,1) − v (t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).5Левые собственные векторы – векторы-строки, удовлетворяющие равенству g6- на правой границе 1 входящая характеристикаTA = λg T⎛u⎞⎛ R1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ Цель – диагонализовать матрицу A , т.е.

найти невырожденную замену ⎜ v ⎟ = S ⎜ R2 ⎟ , где S - матрица перехода,⎜ w⎟⎜R ⎟⎝ ⎠⎝ 2⎠⎛ λ1⎜~−1при которой A = SAS = ⎜ 0⎜0⎝λ2⎛ h11⎜Ah i = λi h i , то S = ⎜ h21⎜h⎝ 31h13 ⎞⎟h23 ⎟ и нам предстоит находить S −1 /.h33 ⎟⎠h12h22h32000⎞⎛ h1i ⎞⎜ ⎟⎟0 ⎟ . Если h i = ⎜ h2i ⎟ , i = 1 ÷ 3 собственные векторы матрицы A , т.е.⎜h ⎟λ3 ⎟⎠⎝ 3i ⎠⎛ g 1i ⎞⎜ ⎟TTTС другой стороны, g i = ⎜ g 2i ⎟  ‐ собственные векторы  A : A g i = λi g i . Т.к. спектры матриц  A и A совпадают⎜g ⎟⎝ 3i ⎠(определяются из одного и того же характеристического уравнения), то B = DA DT⎛ g11⎜D = ⎜ g 21⎜g⎝ 31Т.о.,g12g 22g 32g13 ⎞⎟g 23 ⎟ .g 33 ⎟⎠TT~SAS −1 = A = B = B T = (DA T D −1 ) = (D −1 ) AD T ,т.е.

можем положитьS−1⎛ g 11⎜= D = ⎜ g12⎜g⎝ 13Tg 21g 22g 23g 31 ⎞⎟g 32 ⎟ .g 33 ⎟⎠−1⎛ λ1⎜=⎜ 0⎜0⎝0λ200⎞⎟0 ⎟ , гдеλ3 ⎟⎠⎛ R1 ⎞⎛u⎞⎛ g11⎜ ⎟⎜ ⎟⎜Тогда ⎜ R2 ⎟ = G ⎜ v ⎟ , где G = ⎜ g12⎜R ⎟⎜ w⎟⎜g⎝ 2⎠⎝ ⎠⎝ 13g 21g 22g 23g 31 ⎞⎟g 32 ⎟ .g 33 ⎟⎠1 ⎞⎛ g 11 ⎞ ⎛ 3 − 3 1 ⎞⎛ g11 ⎞⎛1 + 2 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ1 = −2 : A − λ1 E g 1 = ⎜ − 3 1 + 2 − 1 ⎟⎜ g 21 ⎟ = ⎜ − 3 3 − 1⎟⎜ g 21 ⎟⎜ 1− 1 5 + 2 ⎟⎠⎜⎝ g 31 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 7 ⎟⎠⎜⎝ g 31 ⎟⎠⎝()T( 3)⎛ 3 −3 1 ⎞( 2)⎜⎟(1) + ( 2 )⎜ − 3 3 − 1⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 1 −1 7 ⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 7 ⎞ ( 2 ) +3(1) ⎛ 1 − 1 7 ⎞ ⎛ 1 − 1 7 ⎞⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟1) − 7 ( 2 )( 3)⎯→ ⎜ 0 0 20 ⎟ → ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎯(⎯⎯⎯→⎜ − 3 3 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 0⎟⎜⎟⎜⎟00⎠⎝⎝0 0 0 ⎠ ⎝0 0 0⎠⎛1⎞⎛ 1 − 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 − 1⎞ ⎛ g11 ⎞⎛1⎞⎜ ⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟ и ⎜ g 31 ⎟ = C ⎜ 0 ⎟ .

Т.о. g 1 = ⎜ 1 ⎟ и R1 = u + v .⎜ 0⎟⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ g ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ 21 ⎠⎝ ⎠Т.к. условие для R1 ставится на правой границе, то уже сейчас можно сказать, что условия 1)7 и 4)8 неподходят.1 ⎞⎛ g12 ⎞ ⎛ − 2 − 3 1 ⎞⎛ g12 ⎞⎛1 − 3 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ2 = 3 : A − λ2 E g 2 = ⎜ − 3 1 − 3 − 1 ⎟⎜ g 22 ⎟ = ⎜ − 3 − 2 − 1⎟⎜ g 22 ⎟⎜ 1− 1 5 − 3 ⎟⎠⎜⎝ g 32 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 2 ⎟⎠⎜⎝ g 32 ⎟⎠⎝(T)( 3)⎛− 2 − 3 1 ⎞(1) + 2 (3 )⎜⎟( 2 ) + 3 ( 3)⎯→⎜ − 3 − 2 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 1 −1 2 ⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 2 ⎞ −( 2 ) / 5 ⎛ 1 − 1 2 ⎞⎜⎟ ( 3) + ( 2 ) ⎜⎟ (1) +( 2)⎜ 0 − 5 5 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎯⎯⎯→⎜0 − 5 5⎟⎜0 00 ⎟⎠⎝⎝⎠⎛1 0 1 ⎞⎜⎟⎜ 0 1 − 1⎟ и⎜0 0 0 ⎟⎝⎠⎛1⎞⎛ g12 ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ g 32 ⎟ = C ⎜ 1 ⎟ .

Т.о. g 2 = ⎜ − 1⎟ и R2 = u − v − w .⎜ − 1⎟⎜g ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝ 22 ⎠⎝ ⎠1 ⎞⎛ g13 ⎞ ⎛ − 5 − 3 1 ⎞⎛ g13 ⎞⎛1 − 6 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ3 = 6 : A T − λ3 E g 3 = ⎜ − 3 1 − 6 − 1 ⎟⎜ g 23 ⎟ = ⎜ − 3 − 5 − 1⎟⎜ g 23 ⎟⎜ 1− 1 5 − 6 ⎟⎠⎜⎝ g 33 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 − 1⎟⎠⎜⎝ g 33 ⎟⎠⎝()( 3)⎛− 5 − 3 1 ⎞(1) + 5 (3 )⎜⎟( 2 ) + 3 ( 3)⎯→⎜ − 3 − 5 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 1 − 1 − 1⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 − 1 ⎞ −( 2 ) / 8 ⎛ 1 − 1 − 1 ⎞⎜⎟ ( 3) − ( 2 ) ⎜⎟ (1) +( 2)⎜ 0 − 8 − 4 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 / 2 ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 − 8 − 4⎟⎜0 00 ⎟⎠⎝⎝⎠⎛ 1 0 − 1/ 2 ⎞⎜⎟⎜ 0 1 1/ 2 ⎟ и⎜0 00 ⎟⎠⎝⎛1⎞⎛ g13 ⎞⎛ 1/ 2 ⎞⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ g 33 ⎟ = C ⎜ − 1 / 2 ⎟ .

Т.о. g 3 = ⎜ − 1⎟ и R3 = u − v + 2w .⎜2⎟⎜g ⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠⎝ 23 ⎠⎝⎠                                                            7  u (t ,0) + v (t ,0) = ψ 1 (t ),8  u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) ,u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).  u(t ,0) − v(t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ), u(t ,1) − v(t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).  Т.к.

условие для R2 и R3 ставится на левой границе, то условие 2)9 поставлено корректно.Б) В) В новых переменных система распадается на три уравнения для каждого из инвариантов римана, которыебудем решать независимо:∂R3∂R∂R1∂R∂R2∂R−2 1 = f +g ,+3 2 = f − g −h,+ 6 3 = f − g + 2h .∂t∂x∂t∂x∂t∂xДля первого уравнения простейшая схема первого порядка (правый явный уголок)p mn +1 − p mnp mn +1 − p mnn−2= ( f + g )m будет устойчивой и монотонной при выполнении условияhτ2τкуранта10 0 < σ 1 << 1 11.hПо этой схеме рассчитываем значения во внутренних узлах и на левой границе.Для второго и третьего уравнений простейшие схемы первого порядка (левый явный уголок)q mn +1 − q mnq mn − q mn −1r n +1 − rmnrn − rnnn= ( f − g − h )m и m+ 6 m m −1 = ( f − g + 2h )m будут устойчивы иττhh3τ6τмонотонны при выполнении условий куранта 0 < σ 2 <<1 и 0 < σ3 << 1 , соответственно.hh+3По этим схемам рассчитываем значения во внутренних узлах и на правой границе.Для выполнения условий куранта во всех трех случаях на предложенном шаблоне выбираетотношение шаговτh<                                                            91.6  u (t ,1) + v(t ,1) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).

 10 Условие Куранта-Фридрикса-Леви: Пусть область влияния разностной схемы содержит в себе область влияниядифференциального уравнения. Разностная схема является неустойчивой, если это условие не выполнено.11 Характеристики x = at + c уравнения в частных производныхdt dx∂u∂u=+a= f находим из уравнения. 1a∂t∂x.