Вопросы к экзамену для студентов 4 курса по квантовой механике (Вопросы к экзамену для студентов 4 курса по квантовой механике.pdf)

Вопросы к экзамену по курсу “Квантоваямеханика”для студентов IV курса ФАКТ, ФИВТКВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 1Постулаты1. Как связаны между собой вектор кет |ψi и вектор бра hψ|?2. Задано скалярное произведение двух векторов состояния C = hϕ|ψi. Чему равно hψ|ϕi?3. Пусть hψ1 |ψ2 i = 0. Какой смысл имеют коэффициенты c1 и c2 в суперпозиции |ψi = c1 |ψ1 i +c2 |ψ2 i?4. Задан вектор состояния в виде суперпозиции двух состояний |ψi = c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i. Какопределяется вектор бра hψ|?5.

Задан оператор физической величины fˆ. Как определяется наблюдаемая (физическая величина) квантовой системы, находящейся в состоянии |ψi?Уравнение Шредингера1. Записать уравнение, которому подчиняется вектор состояния квантовой системы.2. Записать стационарное уравнение Шредингера. Какой вид имеет оператор Гамильтона вобщем случае?3. Записать волновую функцию свободной нерелятивистской частицы.4. Как с помощью оператора эволюции записать решение уравнения Шредингера в произвольный момент времени, если задано начальное условие Ψ(r, t)|t=0 = ψ0 (r)?5.

Какой вид имеет оператор эволюции консервативной системы?6. Записать определение производной оператора по времени.7. Как определяется коммутатор двух операторов?8. Какому условию удовлетворяют операторы физических величин–интегралов движения вквантовой механике?9. Какие физические величины могут быть включены в полный набор физических величин,определяющих состояние квантовой системы?hibB,b Cb ?10. Как можно представить коммутатор A11. Определить полный набор физических величин свободной бесспиновой частицы.Операторы и теория представлений1.

Чему равен (“табличный”) коммутатор [x̂α , p̂β ]?2. Зная табличный коммутатор операторов координаты и импульса, определить оператор скорости нерелятивистской частицы.3. Как можно записать оператор, соответствующий физической величине pr?4. Что определяет выражение hr|Ψi = ?5. Для оператора координаты r̂|r0 i =?6. Для оператора импульса p̂|p0 i =?P7. Пусть совокупность векторов |ni -составляет базис. Чему равен оператор n |nihn| =?8.

Для некоторого (не обязательно эрмитова) оператора fˆ|fn i = fn |fn i, чему равно hfn |fˆ =?P9. Пусть fˆ+ = fˆ, а fˆ|fn i = fn |fn i, чему равен оператор n |fn ihfn | =?10. hr0 |r̂|ri =?11. hr|pi =?12. hp|ri =?13. Записать волновую функцию свободной нерелятивистской частицы.14. hr0 |ri =?15. hp0 |pi =?16. Записать уравнение Шредингера для частицы с массой m в координатном представлении.17. Записать стационарное уравнение Шредингера для частицы с массой m в импульсномпредставлении.Основные коммутационные соотношения1.2.3.4.5.6.7.8.ЧемуЧемуЧемуЧемуЧемуЧемуЧемуЧемуравенравенравенравенравенравенравенравенкоммутаторкоммутаторкоммутаторкоммутаторкоммутаторкоммутаторкоммутаторкоммутатор[p̂x , x̂] ?[p̂α , x̂β ] ?[p̂, U (r)] ?[ˆlx , ˆly ] ?[ˆlα , ˆlβ ] ?[ˆlα , l̂2 ] ?[ˆlz , ˆl+ ] ?[ˆlz , ˆl− ] ?Граничные условия1.

Как формулируются граничные условия для нахождения связанных состояний?2. Как формулируются граничные условия для задач непрерывного спектра?Осциллятор1. Записать гамильтониан линейного гармонического осциллятора.2. Как определяются осцилляторные единицы энергии, длины, импульса?3. Записать определение операторов a и a+ через операторы координаты и импульса.4. Выразить операторы координаты и импульса через операторы a и a+ .5. Чему равен коммутатор [a, a+ ] =?6. Записать выражение гамильтониана осциллятора через a и a+ .7.

Как определяется спектр осциллятора?8. Записать полный набор квантовых чисел, определяющих состояния одномерного гармонического осциллятора. Какие значения могут принимать квантовые числа?9. Чему равен результат действия оператора a|ni =?10. Чему равно a+ |ni =?11.

Чему равно a|0i =?12. Выразить произвольное состояние осциллятора |ni через основное состояние |0i.13. Какой вид имеет волновая функция основного состояния осциллятора ψ(q) = (в безразмерных единицах)?Момент1.2.3.4.5.6.Выразить l̂2 через ˆlz и ˆl± .l̂2 |l, mi =?ˆlz |l, mi =?ˆl+ |l, li =?ˆl− |l, −li =?ˆl± |l, mi =?Центральное поле1. Как определяется полный набор физических величин бесспиновой частицы в центральномполе?2. Как разделяются переменные в волновой функции, описывающей состояние частицы в центральном поле Ψ(r) =?3. Асимптотическое поведение радиальной функции связанного состояния Rnl (r)|r→0 ∼?5. Асимптотическое поведение радиальной функции связанного состояния Rnl (r) |r→∞ ∼?6. Записать гамильтониан атома водорода.7.

Как определяется атомная система единиц?8. Записать полный набор и значения, которые могут принимать квантовые числа, определяющие состояние атома водорода.9. Записать спектр атома водорода и определить кратность вырождения уровней энергии.10. Какой вид имеет волновая функция основного состояния атома водорода ψ0 (r) =?КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 2Квазиклассика1.

Представление волновой функции частицы через квантовое действие.2. Уравнение для квантового действия (консервативной системы)3. Разложение квантового действия по степеням ~.4. Уравнение для квантового действия в одномерном случае.5. Уравнение для определения нулевого приближения квантового действия. Выражение дляквазиклассического импульса.6. Критерий применимости квазиклассического приближения.7. Общий вид волновой функции квазиклассического приближения в классически разрешеннойобласти.8. Возможные постановки задачи в квазиклассическом приближении.9.

Точки поворота (определение).10. Правило квантования Бора-Зоммерфельда для определения энергетического спектра связанных состояний.11. Определение квазиклассического периода.12. Нормировка волновой функции связанного состояния в квазиклассическом приближении.13. Плотность энергетического спектра связанных состояний в квазиклассическом приближении.14. Постановка задачи о проникновении частицы через потенциальный барьер.15. Вероятность проникновения через потенциальный барьер.Стационарная теория возмущений1. Формулировка задачи стационарной теории возмущений.2.

Критерий применимости теории возмущений.3. Поправка первого порядка к уровням энергии для невырожденного спектра.4. Поправки к состояниям невырожденного спектра в первом порядке теории возмущений.5. Поправка второго порядка к уровням энергии для невырожденного спектра.6. Как изменится энергия основного невырожденного уровня системы, при помещении ее вовнешнее поле?7. Постановка стационарной теории возмущений в случае вырожденного энергетического спектра.8. Правильные функции нулевого приближения и секулярное уравнение в теории возмущений.9.

Уравнение для определения функции Грина стационарного уравнения Шредингера.10. Определение функции Грина стационарного уравнения Шредингера как представлениеоператора.11. Ряд теории возмущений для функции Грина стационарного уравнения Шредингера.12. Что определяют полюса функции Грина стационарного уравнения Шредингера?13. Функция Грина в энергетическом представлении.14.

Выражение для поправок к состояниям в теории возмущений с помощью функции Грина.15. Выражение для поправок к уровням энергии в теории возмущений с помощью функцииГрина.16. Функция Грина стационарного уравнения Шредингера в координатном представлении длядискретного спектра.17. Функция Грина стационарного уравнения Шредингера в случае непрерывного спектра.18. Функция Грина свободной частицы.19. Основное интегральное уравнение для определения волновой функции в случае непрерывного спектра.20.

Асимптотический вид волновой функции в задаче о рассеянии.21. Определение дифференциального сечения рассеяния и его связь с амплитудой рассеяния.22. Борновское приближение в теории рассеяния.23. Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц.24. Критерий применимости борновского приближения для рассеяния быстрых частиц.25. Как зависит от углов дифференциальное сечение рассеяния медленных частиц в борновскомприближении?26.

Особенности угловой зависимости дифференциального сечения рассеяния быстрых частицв борновском приближении.Нестационарная теория возмущений1. Как зависит от времени вектор состояния квантовой системы в представлении Гайзенберга?2. Как зависит от времени оператор в представлении Гайзенберга?3.

Как определяется вектор состояния квантовой системы в представлении взаимодействия?4. Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия.5. Итерационный ряд для определения состояния в нестационарной теории возмущений, T −exp.6. Общее выражение вероятности перехода в нестационарной теории возмущений.7. Выражение вероятности перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений.8. Критерий применимости нестационарной теории возмущений.9. Соотношение неопределенностей для энергии и времени.10.

Определение вероятности перехода в непрерывном спектре.11. Вероятность перехода в единицу времени, “золотое правило” Ферми.12. Понятие квазистационарного состояния, ширина уровня.13. Поправка второго порядка к уровню энергии в непрерывном спектре и ее связь с ширинойуровня квазистационарного состояния.14. Связь ширины уровня квазистационарного состояния и вероятности перехода в единицувремени в непрерывном спектре.КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 3Многочастичная теория1.

Как можно записать вектор состояния системы, состоящей из двух невзаимодействующихподсистем, находящихся в состояниях |ψ1 i и |ψ2 i?2. Замкнутая система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, обладающих моментами l1 и l2 соответственно. Сколько линейно независимых векторов определяют состоянияс определенным суммарным моментом?3. Замкнутая система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, обладающих моментами l1 и l2 соответственно. Какими квантовыми числами определяется состояние системыс заданным суммарным моментом L? Записать дираковский вектор состояния.4. Какие значения может принимать суммарный момент L системы, состоящей из двух подсистем, обладающих моментами l1 и l2 соответственно ?b 2 ] = 0.bz , L5.

Пусть L = l1 + l2 . Показать, что коммутатор [L6. Как с помощью коэффициентов Клебша-Гордана определить состояние системы с полныммоментом J, если известны состояния подсистем |j1 , m1 i и |j2 , m2 i?P7. Чему равно выражение m1 ,m2 hj1 j2 ; JM |j1 m1 i|j2 m2 ihj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; J 0 M 0 i?P8. Чему равно выражение J,M hj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; JM ihj1 j2 ; JM |j1 m01 i|j2 m02 i?9.