В.В. Рыжиков - Программа экзамена курсу ЕНС - Прикладные вопросы ТФФА (Эргодическая теория)

Программа экзамена курсу ЕНС«Прикладные вопросы ТФФА» («Эргодическая теория»)Лектор — В. В. РыжиковIX семестр, 2006 г.Программа курса1. Примеры автоморфизмов пространства Лебега. Лемма Рохлина – Халмоша для эргодических автоморфизмов. Общие конструкции косые произведения, индуцированные (и интегральные) автоморфизмы.2. Свойства автоморфизмов, эквивалентных эргодичности. Теорема Биркгофа.3.

Эргодические теоремы: слабая, фон Неймана, Крыгина – Аткинсона.4. Спектральная теорема для унитарных операторов с циклическим вектором.5. Изоморфизм эргодических преобразований с одинаковым дискретным спектром.6. Слабое перемешивание и эквивалентные ему свойства.7. Автоморфизм с тривиальным централизатором и тривиальной структурой факторов. Аппоксимация самоприсоединений автоморфизма ранга 1.

Минимальные самоприсоединения перемешивающих автоморфизмов ранга 1.8. Пример T 6≡ T −1 .9. Кратные перемешивания, самоприсоединения с парной независимостью (у которых проекции на двумерныеграни стандартны) и свойства T Sn . Теорема T S4 ⇒ T Sn .10. Некоммутативные действия, не обладающие свойством T S4 , но обладающие свойством T S3 (если кто придумает коммутативное действие, сразу всем зачёт).11. Автоморфизмы, обладающие свойством T Sn (было два примера).12. Тривиальность сплетений унитарных операторов U и U ⊗ U при условии U ni → 12 (U + I), U mi → 0.Задачи (продолжение списка)8.

Доказать строгую эргодичность поворотов окружности на иррациональный угол.Указание. Пустькто-то инвариантен относительно поворотов. Возьмём эту меру ν и усредним по всейRокружности. νβ dβ. Получится мера Лебега. А теперь усредним её на интервале [0, ε]. А поскольку всеповороты коммутируют, то получается, что ν абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.9. Доказать строгую эргодичность косого сдвига на T2 .Указание.

Та же идея. Но сдвиги на торе коммутируют с Rα (x, y) = (x, y + α). Тогда по задаче 8 проекцияэтой меры будет совпадать с Лебегом. Если их все размазать, то опять получится мера Лебега. Ну и потомможно усреднить на интервал, получится как в задаче 8.10. а) Индуцированный автоморфизм эргодического преобразования является эргодическим. б) существуетперекладывание трёх отрезков, не являющееся перекладыванием двух (надо просто взять поворот окружности и тройное перекладывание).в)** То же, что в б), но придумать перекладывание четырёх, не являющееся перекладыванием трёх.11.

а) Эргодические теоремы для действий Z2 .f ∈ L1 ,N −11 Xf (T1i T2j x) → . . .N 2 i,j=0(попытка перенести это утверждение с одномерного случая не принесет успеха).′б)∗ Лемма Рохлина – Халмоша для Z2 -действий. (для почти всех x имеем если T1i T2j x = T1i T2j x, то i = i′ ,j = j′.′1Для всех ε > 0 для всех N > 1 существует E такое чтоe⊔X=ENG−1i,j=0e < ε.T1i T2j E, где µ(E)в) Есть свободная группа F2 с образующими a, b, a−1 и b−1 Заданы преобразования Ta и Tb — сдвиги наэлементы. Вообще крестами можно замостить всю группу, но вот что известно относительно леммы РХ —очень мало.12.

Аналог теоремы фон Неймана для Zn -действий.13. Каждый унитарный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию.14. H ⊕ H не является циклическим пространством для U ⊕ U .Комментарий. Это задачка про ТФФА. ПочемуR оператор умножения на x2 не имеет циклического вектора? Допустим, что он есть. Тогда заметим, что xx2n h(x)h(−x)dx = 0. Тогда вылазит ортогональность,а откуда ж ей быть?w15. Есть поток {Tt }, t ∈ R. Имеем Tt −→ I при t → 0.

Пусть T1 ∈ WMix. Тогда для всех t > 0 верно то жесамое, то есть WMix.16. Пусть T ∈ rk(1). Пусть T ∈ α-Mix, и пусть α > 21 , тогда централизатор тривиален. Определение α-Mixтаково:∀ A, B lim µ(A ∩ T n B) > αµ(A)µ(B).n17.18.19.20.Найти пример эргодического T , такого что T 6≡ T 2 .Пусть {Tt }, T1 кратно перемешивает. Тогда для всех t > 0 Tt кратно перемешивает.Если T ∈ T Sn то для любого m 6= 0 имеем T m ∈ T Sn .К вопросу 12. Пусть T ni 12 I + 12 T + 14 T 2 + .

. . . T mi → 0, тогда T и T ⊗ T не имеют нетривиальныхсплетений.2.