Геометрия окрестностей особых точек полей Нийенхейса размерности 3, страница 2

К сожалению, нет классификации таких операторов,как в случае размерности 2.В теории дифференциальных уравнений есть результат, который говорит отом, что окрестности сингулярного множества операторных полей устроены такимже образом, как и окрестности сингулярного множества векторных полей, в случае,если коразмерность сингулярного множества ≥ 2. Сингулярным множеством здесьмы называем множество особых точек.74Трехмерные алгебры из работы Д.БурдэВ работе Д.Бурдэ [7] в Предложении 3.51 приведены структурные константыдвух лево-симметрических алгебр размерности 3 A1,α :e1 · e1 = (α + 1)e1 ;e1 · e1 = αe3 ;e1 · e2 = e2 ;и A2 :3e1 · e1 = e1 ;2e1 · e1 = e2 ;e3 · e2 = e1 ;e2 · e3 = e1 ;1e1 · e3 = e3 ;2e2 · e3 = e1 ;e3 · e2 = e1 ;e3 · e3 = −e2 ;По структурным константам восстановим операторы правого действия этихалгебр. Получим следующий результат:НазваниеA1,αA2Оператор правого действия(α + 1)x z yy0 0αz0 03x z yy 0 0 0 0 −z2Рассмотрим сингулярные множества этих операторов.Случай A1,α Посчитаем собственные значения оператора:λ1 = 0;p1λ2 = (x(α + 1) − x2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1));2p1λ3 = (x(α + 1) + x2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1));2Здесь α - вещественный параметр, а λi - собственные значения оператора, тоесть корни характеристического многочлена.

Сингулярные множества оператораможно изучать, рассматривая уравнения вида λi = λj , при i 6= j.Случай λ1 = λ2 :x(α + 1) −px2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1) = 0(7)8Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение с условиями:yx(α + 1) = 0,x(α + 1) ≥ 0, 2x (α + 1)2 + 4yz(α + 1) ≥ 0.Построим множество точек,следующую картинку:удовлетворяющее нашим условиям,получимСделаем аналогичные вычисления для других пар собственных значений.При построении конкретно этой картинки, взяли параметр λ = 1.Случай λ1 = λ3 :x(α + 1) +px2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1) = 0(8)Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение с условиями:yx(α + 1) = 0,x(α + 1) ≤ 0, 2x (α + 1)2 + 4yz(α + 1) ≥ 0.Построим множество точек,следующую картинку:удовлетворяющее нашим условиям,получим9Случай λ2 = λ3 :x(α + 1) +ppx2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1) = x(α + 1) − x2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1)(9)Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение :x2 (α + 1)2 + 4yz(α + 1) = 0Построим множествоследующую картинку:точек,удовлетворяющееуравнению,получим10Видно, что коразмерность сингулярного множества оказалась равна 1, аименно в первых двух случаях получили 2 пересекающиеся полуплоскости, втретьем - конус.

Значит такая алгебра нам не подходит. Проделаем те жевычисления для алгебры A2 .Случай A2 Посчитаем собственные значения оператора:λ1 = −z;p1λ2 = (3x − 9x2 + 16yz);4p1λ3 = (3x + 9x2 + 16yz);4Случай λ1 = λ2 :p1(3x − 9x2 + 16yz) = −z4(10)11Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение с условиями:z(3x − 2y + 2z) = 0,3x + 4z ≥ 0, 29x + 16yz ≥ 0.Построим множество точек,следующую картинку:удовлетворяющее нашим условиям,получимСлучай λ1 = λ3 :p1(3x + 9x2 + 16yz) = −z(11)4Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение с условиями:z(3x − 2y + 2z) = 0,3x + 4z ≤ 0, 29x + 16yz ≥ 0.Построим множество точек,следующую картинку:удовлетворяющее нашим условиям,получим12Случай λ1 = λ2 :pp11(3x − 9x2 + 16yz) = (3x + 9x2 + 16yz)44Упростим и приведем подобные слагаемые, получим уравнение:(12)9x2 + 16yz = 0.Построим множествоследующую картинку:точек,удовлетворяющееуравнению,получим13Снова видно, что коразмерность сингулярного множества оказалась равна 1,а именно в первых двух случаях получили 2 пересекающиеся полуплоскости, втретьем - конус.

Значит такая алгебра нам не подходит.145Алгоритм поиска новых лево-симметрическихалгебрНа этом этапе, мы исчерпали известные нетривиальные лево-симметрическиеалгебры, поэтому остается по определению выписать условие лево-симметричностив трехмерном случае, и поизучать его. Возможно получится найти интересныеслучаи.Выпишем равенство нулю тензора Нийенхейса в координатах:(NR )pij =∂Rjp l ∂Rip l ∂Rjl p ∂Ril pR −R −R +R∂xl i∂xl j∂xi l∂xj l(13)Рассмотрим линейные трехмерные операторы в общем виде:a11 x + b11 y + c11 z a12 x + b12 y + c12 z a13 x + b13 y + c13 zR = a21 x + b21 y + c21 z a22 x + b22 y + c22 z a23 x + b23 y + c23 z a31 x + b31 y + c31 z a32 x + b32 y + c32 z a33 x + b33 y + c33 zВ общем виде равенство нулю тензора Нийенхейса (13) будет выглядеть,как 27 уравнений на параметры akm , bkm и ckm .

Заметим, что (NR )pij = −(NR )pji ,а значит (NR )pii = 0. Соответственно количество интересующих нас комбинаций(p, i, j) сокращается до 9.Выписав все эти уравнения, необходимо потребовать равенство нулю длялюбых значений x, y и z. Сгруппируем получаемые уравнения по переменным,получим систему из 27 квадратичных уравнений:15a11 a12 + a21 b12 + a31 c12 − a11 a12 − a22 b11 − a32 c11 −−a11 a12 − a12 a22 − a13 a32 + a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 2)a12 b11 + b12 b21 + b31 c12 − a11 b12 − b11 b22 − b32 c11 −(p, i, j) = (1, 1, 2)−a12 b11 − a22 b12 − a32 b13 + b211 + b12 b21 + b13 b31 = 0,a12 c11 + b12 c21 + c12 c31 − a11 c12 − b11 c22 − c11 c32 −−a12 c11 − a22 c12 − a32 c13 + b11 c11 + b21 c12 + b31 c13 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 2)a11 a13 + a21 b13 + a31 c13 − a11 a13 − a23 b11 − a33 c11 −−a11 a13 − a12 a23 − a13 a33 + a11 c11 + a12 c21 + a13 c31 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 3)a13 b11 + b13 b21 + b31 c13 − a11 b13 − b11 b23 − b33 c11 −−a13 b11 − a23 b12 − a33 b13 + b11 c11 + b12 c21 + b13 c31 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 3)a13 c11 + b13 c21 + c13 c31 − a11 c13 − b11 c23 − c11 c33 −−a13 c11 − a23 c12 − a33 c13 + c211 + c12 c21 + c13 c31 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 3)a12 a13 + a22 b13 + a32 c13 − a12 a13 − a23 b12 − a33 c12 −−a11 b13 − a12 b23 − a13 b33 + a11 c12 + a12 c22 + a13 c32 = 0,(p, i, j) = (1, 2, 3)a13 b12 + b13 b22 + b32 c13 − a12 b13 − b12 b23 − b33 c12 −−b11 b13 − b12 b23 − b13 b33 + b11 c12 + b12 c22 + b13 c32 = 0,(p, i, j) = (1, 2, 3)a13 c12 + b13 c22 + c13 c32 − a12 c13 − b12 c23 − c12 c33 −−b13 c11 − b23 c12 − b33 c13 + c11 c12 + c12 c22 + c13 c32 = 0,(p, i, j) = (1, 2, 3)a11 a22 + a21 b22 + a31 c22 − a12 a21 − a22 b21 − a32 c21 −−a12 a21 − a222 − a23 a32 + a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 2)a22 b11 + b21 b22 + b31 c22 − a21 b12 − b21 b22 − b32 c21 −−a12 b21 − a22 b22 − a32 b23 + b11 b21 + b21 b22 + b23 b31 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 2)a22 c11 + b22 c21 + c22 c31 − a21 c12 − b21 c22 − c21 c32 −−a12 c21 − a22 c22 − a32 c23 + b11 c21 + b21 c22 + b31 c23 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 2)a11 a23 + a21 b23 + a31 c23 − a13 a21 − a23 b21 − a33 c21 −−a13 a21 − a22 a23 − a23 a33 + a21 c11 + a22 c21 + a23 c31 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 3)a23 b11 + b21 b23 + b31 c23 − a21 b13 − b21 b23 − b33 c21 −−a13 b21 − a23 b22 − a33 b23 + b21 c11 + b22 c21 + b23 c31 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 3)a23 c11 + b23 c21 + c23 c31 − a21 c13 − b21 c23 − c21 c33 −−a13 c21 − a23 c22 − a33 c23 + c1121 + c21 c22 + c23 c31 = 0,(p, i, j) = (2, 1, 3)a12 a23 + a22 b23 + a32 c23 − a13 a22 − a23 b22 − a33 c22 −−a21 b13 − a22 b23 − a23 b33 + a21 c12 + a22 c22 + a23 c32 = 0,(p, i, j) = (2, 2, 3)a23 b12 + b22 b23 + b32 c23 − a22 b13 − b22 b23 − b33 c22 −−b13 b21 − b22 b23 − b23 b33 + b21 c12 + b22 c22 + b23 c32 = 0,(p, i, j) = (2, 2, 3)a23 c12 + b23 c22 + c23 c32 − a22 c13 − b22 c23 − c22 c33 −−b13 c21 − b23 c22 − b33 c23 + c12 c21 + c222 + c23 c32 = 0,(p, i, j) = (2, 2, 3)16a11 a32 + a21 b32 + a31 c32 − a12 a31 − a22 b31 − a32 c31 −−a12 a31 − a22 a32 − a32 a33 + a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 = 0,(p, i, j) = (3, 1, 2)a32 b11 + b21 b32 + b31 c32 − a31 b12 − b22 b31 − b32 c31 −(p, i, j) = (3, 1, 2)−a12 b31 − a22 b32 − a32 b33 + bb11 31 + b21 b32 + b13 b33 = 0,a32 c11 + b32 c21 + c31 c32 − a31 c12 − b31 c22 − c31 c32 −−a12 c31 − a22 c32 − a32 c33 + b11 c31 + b21 c32 + b31 c33 = 0,(p, i, j) = (3, 1, 2)a11 a33 + a21 b33 + a31 c33 − a13 a31 − a23 b31 − a33 c31 −(p, i, j) = (3, 1, 3)−a13 a31 − a23 a32 − a233 + a31 c11 + a32 c21 + a33 c31 = 0,a b + b b + b c − a b − b b − b c −33 1121 3331 3331 1323 3133 31−a13 b31 − a23 b32 − a33 b33 + b31 c11 + b32 c21 + b33 c31 = 0,(p, i, j) = (3, 1, 3)a33 c11 + b33 c21 + c31 c33 − a31 c13 − b31 c23 − c31 c33 −−a13 c31 − a23 c32 − a33 c33 + c11 c31 + c21 c32 + c31 c33 = 0,(p, i, j) = (1, 1, 3)a12 a33 + a22 b33 + a32 c33 − a13 a32 − a23 b32 − a33 c32 −−a31 b13 − a32 b23 − a33 b33 + a31 c12 + a32 c22 + a33 c32 = 0,(p, i, j) = (3, 2, 3)a33 b12 + b22 b33 + b32 c33 − a32 b13 − b23 b32 − b33 c32 −−b13 b31 − b23 b32 − b233 + b31 c12 + b32 c22 + b33 c32 = 0,(p, i, j) = (3, 2, 3)a33 c12 + b33 c22 + c32 c33 − a32 c13 − b32 c23 − c32 c33 −−b13 c31 − b23 c32 − b33 c33 + c12 c31 + c22 c32 + c32 c33 = 0,(p, i, j) = (3, 2, 3)27 уравнений, объединенные в 2 системы - это одна система уравнений,которая равнозначна равенству нулю тензора Нийенхейса для линейныхоператоров размерности 3.