Геометрия окрестностей особых точек полей Нийенхейса размерности 3

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКафедра дифференциальной геометрии и приложенийГеометрия окрестностей особых точек полейНийенхейса размерности 3Курсовая работастудента 5 курсаАндреева М.А.Научный руководительакадемик Фоменко А.Т.Кандидат физикоматематических наукКоняев А.Ю.Москва, 2017 г.Содержание1 Введение22 Необходимые понятия33 Мотивация74 Трехмерные алгебры из работы Д.Бурдэ85 Алгоритм поиска новых лево-симметрических алгебр156 Список литературы1811ВведениеОператорные поля на многообразиях с нулевым тензором Нийенхейса (егоеще называют кручением Нийенхейса) возникают в самых разных областяхматематики. Например, для почти комплексной структуры равенство нулютензора Нийенхейса - единственное условие, необходимое для интегрируемостиэтой структуры в комплексную.

В бигамильтоновой геометрии такие операторыпоявляются как операторы рекурсии для построения семейств коммутативныхфункций для пар согласовнных скобок на симплекстическом многообразии.Недавно выяснилось, что такого рода операторные поля естественнымобразом возникают в теории проективной классификации метрик. В последнемслучае они играют ключевую роль при изучении особых точек таких "метрическихпучков" - точек, где в нормальной форме пары метрик появляются одинаковыесобственные значения.Более того, оказалось, что специальная структуравозникающих операторов накладывает крайне сильные условия на топологиюмногообразия. То есть, например, если многообразие компактно, то парыпроективно-эквивалентных метрик существуют только на сфере и торе. Причемна последнем им запрещено иметь особые точки вообще.Как оказалось, общей теории особенностей Нийенхейсовых операторовне существует, равно как основанной на этом теории глобального строенияНийенхейсовых полей.

Строить эту теорию естественно по аналогии с теориейособенностей и нормальных форм векторных полей. Построение этой теории,которое проходят в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений намехмате, начинается с описания окрестностей изолированной особой точкилинейных векторных полей. Именно этому посвящена курсовая.На основе списка, полученного в работе А.Ю.Коняева [1], изучаютсяокрестности изолированных особых точек для линейных тензоров Нийенхейса вдвумерном случае. Эти тензоры оказываются тесно связаны с так называемымилево-симметрическими алгебрами, известными также, как пре-Ли алгебры.Эти объекты впервые возникли в работе Э.Б.Винберга [3] при изучениилевоинвариантных связностей на группах Ли.Для каждой окрестности строится картинка, соответствующая задаваемымтензором Нийенхейса естественным распределениям.

Отметим, что одно этопостроение позволяет сделать ряд важных замечаний. Так, например, для b1,αдля разных значений параметра оказываются принципиально разные структурыокрестности. Вероятно, в дальнейшем, при изучении линеаризации операторногополя, это может сыграть важную роль. Кроме этого картинка в b+5 оказываетсяочень похожей на окрестность параболической системы координат на сфере,возникающей в классификации проективно-эквивалентных метрик.22Необходимые понятияОпределение. Стандартное определение тензора Нийенхейса выглядит так:NR (v, w) = R[Rv, w] + R[v, Rw] − R2 [v, w] − [Rv, Rw],где v, w - любые векторные поля, [, ] - стандартный коммутатор векторныхполей, R - операторное поле, тензор типа (1, 1). Этот тензор хорошо известен ииспользуется во многих работах геометрии.Определение.

Мы называем операторное поле R полем Нийенхейса , еслитензор Нийенхейса зануляется.Рассмотрим характерестический многочлен оператора R, и возьмем егодискриминант:YDR =(λi − λj )2i<jЗдесь λi - корни характеристического многочлена.Определение.Точку будем называть особой, если дискриминантхарактеристического многочлена в этой точке равен нулю DR = 0, то естьточка, в которой хотя бы один корень характерестического многочлена являетсякратным.Замечание. Точки, в которых матрица является жордановой клеткой исобственные значения совпадают - тоже вырожденые, которое можно изучать, этиточки назовем почти особыми.В особой точке P касательное пространство TP M имеет естественнуюструктуру, которая называется лево-симметрической алгеброй.

Предположим,что A - алгебра с операцией ∗.Ассоциатор: hx, y, zi = (x ∗ y) ∗ z − x ∗ (y ∗ z) Это трилинейное отображениеA→A.Алгебра ассоциативна, если ∀x, y, z ∈ A выполнено hx, y, zi = 0.Алгебра называется лево-симметрической, если ассоциатор удовлетворяеттождеству: hx, y, zi = hy, x, zi для любых троек из A. Это симметрия для левойпары аргументов.Определим левое действие на A по формуле Lx y = x ∗ y. В этом случаесвойство "левой симметрии" может быть записано формулой:Lx Ly − Ly Lx = L[x,y](1)3То есть коммутатор на A удовлетворяет тождеству Якоби.Пусть v и u - векторные поля на многообразии M , Lv - оператор производнойЛи по направлению векторного поля v.

Коммутатор операторов Lu и Lv естьдифференциальный оператор первого порядка.поэтому существует такоевекторное поле [v, u] , для которого выполнено (1).Соответственные алгебры Ли назовем ассоциированными алгебрами Ли.Утверждение 1. Рассмотрим аффинное пространство V и операторное полеR, где все компоненты - это однородные линейные полиномы. NR = 0, на нем∂Rkakij = ∂xji определяют структурные константы лево-симметрической алгебры.Доказательство. Сначала нужно переписать свойство ассоциатора в терминахструктурных констант алгебры. Зафиксируем базис ei в A.

Имеем ei ∗ ej = akij ekПолучим следующие уравнения для ассоциаторов:hej , ei , er i = (alji el ) ∗ er − ej ∗ (alir el ) = (alji aplr − apjl alir )ep ,(2)hei , ej , er i = (alij el ) ∗ er − ei ∗ (aljr el ) = (alij aplr − apil aljr )ep .(3)Свойство левой симметрии алгебры имеет видhej , ei , er i − hei , ej , er i = (alji aplr − apjl alir − alij aplr + apil aljr )ep(4)Свойство NR = 0 в координатах имеет вид∂Rpj l ∂Rpi l ∂Rpl p ∂Rli pR −R −R +R(5)∂xl i∂xl j∂xi l∂xj lТак как R - линейный, то Rik = akij xj .

Подставляя это в предыдущее уравнение,получим0 = NR (ei , ej ) = (alji aplr − apjl alir − alij aplr + apil aljr )ep .(6)0 = (NR )pij =А это и есть вид уравнения (4).Замечание.Для лево-симметрических алгебр поле Нийенхейса Rопределяется правым действием Ry x = x ∗ y.Теорема 1. Рассмотрим P - особую точку операторного поля Нийенхейса R.∂RkТогда ∂xji |P определяет структуру лево-симметрической алгебры в касательномпространстве TP M .Доказательство этой теоремы приведено в работе А.Ю.Коняева [1].Теорема 2. С точностью до изоморфизма существуют 2 непрерывныхсемейства и 10 исключительных двумерных лево-симметрических алгебр.Буквой b обозначаем алгебры с некоммутативной ассоциированной алгеброй Ли,буквой c обозначаем алгебры с коммутативной ассоциированной алгеброй Ли.Полный список представлен в следующих двух таблицах.4Таблица 1.

Столбцы: 1) Название 2) Структурные константы (указанытолько ненулевые) 3) в базисе xLe1 + yLe2 4) в базисе xRe1 + yRe2НазваниеСтруктурныеLRконстантыy 00 x0 αy0 αyb1,αe2 ∗ e1 = e1 ,e2 ∗ e2 = αe2b2b3,αα 6= 0b4e2 ∗ e1 = e1 ,e2 ∗ e2 = e1 + e2e1 ∗ e2 = αe1 ,e2 ∗ e1 = (α − 1)e1e2 ∗ e2 = αe2y y0 y0 x+y0y(α − 1)y αx0αye1 ∗ e2 = e1 ,e2 ∗ e2 = e1 + e20 x+y0yb+5e1 ∗ e1 = e2 ,e2 ∗ e1 = −e1e2 ∗ e2 = −2e2b−5e1 ∗ e1 = −e2 ,e2 ∗ e1 = −e1e2 ∗ e2 = −2e2−y0x −2y−y0−x −2yαy (α − 1)x0αyy y0 y2x −yy0−2x −y−y05Таблица 2. Столбцы: 1) Название 2) структурные константы 3) в этомслучае алгебры с коммутативной ассоциированой алгеброй Ли, то есть L = RНазваниеСтруктурныеконстантыL=Rc1c2c3c40 00 00 00 y0 y0 0e2 ∗ e2 = e2e2 ∗ e2 = e1e2 ∗ e2 = e2e2 ∗ e1 = e1e1 ∗ e1 = e2y x0 yc+5e2 ∗ e2e2 ∗ e1e1 ∗ e2e1 ∗ e1y xx y= e2= e1= e1= e2c−5e2 ∗ e2 = e2e2 ∗ e1 = e1e1 ∗ e2 = e1e1 ∗ e1 = −e2y −xx y63МотивацияОбщей теории особенностей Нийенхейсовых операторов не существует, равно какоснованной на этом теории глобального строения Нийенхейсовых полей.

Строитьэту теорию естественно по аналогии с теорией особенностей и нормальныхформ векторных полей. Построение этой теории, которое проходят в курсеобыкновенных дифференциальных уравнений на мехмате, начинается с описанияокрестностей изолированной особой точки линейных векторных полей.В книге В.И.Арнольда [2], сказано, что геометрия уравнения второго порядкапослужила источником ряда математических теорий:А.Трессе, ученик С.

Ли, в своей диссертации построил все "полуинварианты"уравнения. Задача о геометрии дифференциального уравнения второго порядкапривела Э.Картана к теории многообразий проективной связности. Г.Болем былпроделан перевод теории Трассе на язык пары полей направлений в пространстве.Таким образом, строение окрестности в двумерном случае для линейныхвекторных полей, может дать начало исследованиям теории особенностейНийенхейновых операторов.Главным результатом моей курсовой работы в 2016 году было построениеокрестностей особых точек для всех двумерных линейных операторов Нийенхейсаразмерности 2. Классификация таких операторов приведена выше.В этом году логично изучать окретстности особеных точек операторовНийенхейса размерности 3.