rtc_lab_k_07 (ЛР Синтез цифрового фильтра по аналоговому прототипу)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫЛабораторная работа № 6КСинтез цифрового фильтра по аналоговому прототипуГолованов В.В.2003 г.Цель работы. В данной лабораторной работе изучается два метода синтеза цифрового фильтра по аналоговому прототипу: метод билинейногоz-преобразования и метод инвариантной импульсной характеристики. Исследуются частотные и временные характеристики синтезированного фильтра,которые требуется сравнить с соответствующими характеристиками аналогового прототипа.

Работа осуществляется с использованием программного пакета MATLAB.Варианты заданийВариант123456789101112131415Параметры схемыL,мГн131.60.280.34L,мГн0.2610.16L,мГн2,50.638.4L1,мГн189.510C,мкФ2453610C,R1,мкФ Ом2450242007080C1,C2,мкФ мкФ190.59.5210L2,C,мГн мкФ2220.5241.55R,Ом801610100624R2,Ом10020050R,Ом161250R,Ом97322Метод синтезаТип схемыБил. z-пр.Инв. ИХИнв.

ИХБил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.111222Инв. ИХБил. z-пр.Бил. z-пр.333Инв. ИХБил. z-пр.Инв. ИХ444Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.555Вариант161718192021222324252627Параметры схемыC1,C2,мкФ мкФ0.002 0.010.006 0.020.002 0.01C1,C2,мкФ мкФ0.003 0.0030.004 0.0040.005 0.005C1,C2,мкФ мкФ0.002 0.0020.007 0.0070.004 0.004C,мкФ0.010.010.005R1,кОм7.54.330R1,кОм4.73.94.3R1, R2,кОмкОм305122R1,кОм5.12.23.92.21.63R2,кОм181251R2,кОм394362R3,МетодсинтезаТип схемыИнв. ИХИнв.

ИХБил. z-пр.666Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.777Бил. z-пр.Инв. ИХИнв. ИХ888Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.999кОм130150100R2,кОм758262Типы схемТипсхемыПередаточная функцияи нормировочная частотаСхема1/(LC)L1CRK(p) =p2 +p/(RC) +1/(LC)w0 =1/√ LCp2CK(p) =2LRp2 +p/(RC)+1/(LC)w0 = 1/√ LC1ТипсхемыПередаточная функцияи нормировочная частотаСхемаp/(R1C)K(p) =R1L3R2Cp(R1+R2) 1+LCR1 R2Cp2 +w0 =1 /√ LCC1L4C1C2K(p)=R1(p2+)C1+C2LC1p21p++R(C1+C2) L(C1+C2)w0=1/√L(C1+C2)5p +L1C12L2K(p)=Rp2 +p+RCL1CL1+L2L1L2Cw0=√ (L1+L2)/(L1L2C)6R1R2K(p) =C2+C1b0p2 + b1p + b0b0= 1/( R1R2C1C2)b1= (1/C2)(1/R1+1/R2)w0=√ b02ТипсхемыСхемаПередаточная функцияи нормировочная частотаp2R1K(p)=+7C2C1R2p2 + b1p +b0b0=1/(C1C2R1R2)−b1=(1/R2)(1/C1+1/C2)w0=√ b0C1K(p)=R38p2 +b1p +b0a1= −1/(R1C1)C2R1a 1p−b1= (1/R3)(1/C1+1/C2)+b0= (1/(R3C1C2))(1/R1+1/R2)R2w0=√ b0CR1R2CR9RR11+ R+-R1R2C2K(p)=2221p2 +2pp+1+R2CR1R2C2w0= 1/(C √ R1R2)2 C3Краткие теоретические сведенияПередаточная функция аналогового фильтра-прототипа представляется ввиде:b0pm +b1pm-1 +…+bkpm-k +…+bmK(p) =m≤ n,a0pn +a1pn-1 +…+akpn-k +…+an ,где bk и ak – коэффициенты числителя и знаменателя передаточнойфункции, n – порядок фильтра.

Можно записать её, задавая нули zk и полюсаpk:K(p) =K0 (p – z1)(p – z2)…(p – zm)(p – p1)(p – p2)…(p – pn).При синтезе цифрового фильтра (ЦФ) по аналоговому прототипу нужнопрежде всего получить передаточную функцию ЦФ в виде:K(z) =b0 + b1z – 1 + …+ bkz – k +…+ bMz – Ma0 + a1z – 1 +…+ akz – k +…aNz – N,причём a0=1, max(M,N) – порядок фильтра, коэффициенты bk и ak передаточной функции ЦФ не совпадают с соответствующими коэффициентамианалогового прототипа.С целью нахождения передаточной функции ЦФ осуществляется пересчёт коэффициентов передаточной функции аналогового прототипа в коэффициенты передаточной функции ЦФ в соответствии с тем или иным методом.При билинейном z – преобразовании производится замена переменных:2 z–1p=T z+1,где Т – интервал дискретизации.Такая замена обеспечивает сохранение основных требований к частотной характеристике фильтра.4В случае применения метода инвариантной импульсной характеристикипередаточная функция ЦФ записывается в виде:rkNK(z) = α ⋅ ∑k=11 - epkT⋅ z – 1,где rk = Res K(p) – вычет передаточной функции аналогового прототипаp=pkв полюсе pk, α - некоторый коэффициент.

Данный метод обеспечивает совпадение с точностью до постоянного множителя импульсных характеристикЦФ и его аналогового прототипа:gц [n] = α ⋅ ga (nT).Порядок выполнения работы1. Получив у преподавателя вариант задания, перерисуйте в тетрадьпредложенную вам схему аналогового фильтра-прототипа, перепишите значения элементов схемы, выражение передаточной функции K(p) и формулудля расчёта нормировочной частоты w0.2 . Рассчитайте значения коэффициентов передаточной функции и нормировочной частоты.

Пронормируйте коэффициенты передаточной функции:для этого свободные члены полиномов разделите на w02 , а коэффициентыпри p на w0. Запишите передаточную функцию в нормированной форме.3 . Постройте АЧХ аналогового прототипа и диаграмму нулей и полюсов. Для этого загрузите MATLAB. В открывшемся окне Command Windowвведите соответствующие операторы. Например, если2p + 1K(p) =2,p +3p+2.5следует ввести:>> b=[2 1];>> a=[1 3 2.5];>> [k,w]=freqs(b,a);>> plot (w, abs(k)/ max(abs(k))), grid>> figure>> zplane(b,a)5В случае, если вы ошиблись при вводе операторов, используйте клавишиуправления курсором ↑ и ↓ для воспроизведения ранее введённых операторов после значка >>.

Внесите исправления и нажмите клавишу Enter. Еслиисправления касались исходных данных, нужно повторить ввод оператороврасчёта частотной характеристики freqs, построения графика plot, а такжевывода диаграммы полюсов и нулей zplane.Если нужно построить АЧХ в логарифмическом масштабе, вместо четвёртого оператора введите:>> plot (w, 20*log10(abs(k)/ max(abs(k)))), gridАЧХ будет построена в графическом окне Figure No.1, а диаграмма полюсов и нулей в графическом окне Figure No.2. Если какое-либо окно свёрнуто, его можно раскрыть, нажав соответствующую кнопку на панели задачWindows.

График АЧХ представлен в зависимости от нормированной частоты Ω, которая равна w/w0, где w – угловая частота в рад/с.Для расчёта импульсной характеристики введите операторы:>> [r,p,kk]=residue(b,a);>> t=0:0.1:10;>> g=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t);>> figure>> plot(t,g), gridРаскройте окно Figure No. 3 и просмотрите график импульсной характеристики.

Если импульсная характеристика не просматривается до конца, следует увеличить интервал времени, например задать t=0:0.1:100. График импульсной характеристики дан в зависимости от нормированного времени, такчто единице нормированного времени соответствует 1/w0 секунд.Перенесите схематичное изображение полученных графиков в свою рабочую тетрадь, указав характерные значения.4. Проанализируйте полученные характеристики аналогового прототипаи выберите частоту дискретизации Fs. Учтите при этом, что АЧХ с её полосами пропускания и задерживания должна располагаться в интервале [0,Fs/2] (Fs/2 – частота Найквиста). Таким образом, в области частот f > Fs/2окажется несущественная часть АЧХ.

По графику АЧХ вы определите нормированную частоту Найквиста (πFs/w0). Для расчёта частоты дискретизациив герцах нужно умножить нормированную частоту на величину w0/π. Введите значения Fs и w0 после значка >> в командном окне MATLAB.5. Примените заданный метод синтеза ЦФ по аналоговому прототипудля нахождения передаточной функции ЦФ.

Введите в командном окнеMATLAB следующий оператор:>> [bz, az]= bilinear(b,a,Fs/w0)- для синтеза по методу билинейного z – преобразования,>> [bz, az]= impinvar(b,a,Fs/w0)- для синтеза по методу инвариантной импульсной характеристики.6На экран монитора будут выведены строки коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЦФ.6. Для просмотра характеристик синтезированного ЦФ введите команду>> fdatoolОткроется основное окно программы fdatool, позволяющей синтезировать фильтры, проматривать их характеристики и исследовать эффекты квантования в них.

Задайте команду Import Filter в меню Filter. Вкладка DesignFilter окна программы fdatool будет заменена на вкладку Import Filter. Стеревданные в полях Numerator и Denominator, укажите в них идентификаторы bzи az, под которыми в рабочей области MATLAB сохранены векторы коэффициентов передаточной функции ЦФ. В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации Fs, указав единицу измерения в поле Units. Можно вместо этого задать значения коэффициентов, заключив список в квадратныескобки и отделяя одно значение от другого пробелами. Например, если передаточная функция имеет вид0.2 – 0.42z –1 +0.05z –2K(z) =1+ 0.18z –1 – 0.24z –2 + 0.081z –3,то в поле Numerator следует ввести [0.2 –0.42 0.05], а в поле Denominator[1 0.18 –0.24 0.081].Щёлкните по кнопке Import Filter. Далее можно просматривать характеристики фильтра.На панели инструментов в верхней части окна имеются значки характеристик фильтра.

Подводя курсор к одному из значков и нажимая левуюкнопку мыши, можно вывести на экран график желаемой характеристики.Можно просмотреть• амплитудно-частотную характеристику (АЧХ, magnitude response),• фазочастотную характеристику (ФЧХ, phase response),• АЧХ и ФЧХ совместно,• xарактеристику группового времени запаздывания (group delay),• импульсную характеристику (impulse response),• переходную характеристику (step response),• диаграмму полюсов и нулей (pole/zero plot),• коэффициенты фильтра (filter coefficients).Для детального просмотра участков графика используется кнопка zoom inпанели инструментов. Щёлкнув по этой кнопке, нужно затем подвести курсор мыши к тому участку графика, который нужно увеличить, и протащитьмышь с нажатой левой кнопкой.

Можно просто щёлкать левой кнопкой мыши многократно, что будет приводить ко всё большему увеличению. Возвратк исходному состоянию осуществляется несколькими щелчками по правой7кнопке мыши, что соответствует нажатию кнопки zoom out панели инструментов.Перенесите в рабочую тетрадь схематичное изображение АЧХ, ФЧХ,импульсной характеристики и диаграммы полюсов и нулей синтезированного фильтра, перепишите коэффициенты фильтра.

Определите по графикуАЧХ границы полосы пропускания по уровню 0.707 (3 дБ) и границы полосы задерживания (уровень выберите самостоятельно; 0.1 соответствует затуханию 20 дБ, 0.03 – 30 дБ, 0.01 – 40 дБ, 0.003 – 50 дБ). Сравните АЧХ и диаграммы полюсов и нулей аналогового прототипа и синтезированного фильтра. Для построения нормированных АЧХ на одном графике в командном окне введите операторы :>> [kz,wz]=freqz(bz,az,’whole’);>> w=wz*Fs/w0;>> k=freqs(b,a,w);>> plot(w, abs(k)/max(abs(k)),’r’), grid>> hold on>> plot(w, abs(kz)/max(abs(kz)),’b’)>> hold offАЧХ аналогового фильтра-прототипа будет изображена красной линией, аАЧХ ЦФ – синей линией.7. Изобразите функциональную схему ЦФ и запишите для неё алгоритм(разностные уравнения) (виды схем смотрите в файле КР.doc, раздел 6).8.

Синтезируйте по требованиям к АЧХ, определённым в п.6, ЦФ Баттерворта, Чебышёва и эллиптический ЦФ и сравните характеристики этихфильтров с характеристиками фильтра, полученного в п.5. Для синтеза примените программу fdatool. Вызов программы осуществляется заданием еёимени в командном окне MATLAB:>> fdatoolПосле ввода имени с клавиатуры следует нажать клавишу <Enter>.На экране монитора появится окно программы fdatool. Кроме основногоменю и панели инструментов здесь содержится текущая информация оструктуре фильтра, его порядке, устойчивости (Current Filter Information);график допусков для АЧХ (в дБ) (Filter Specifications), а также вкладка DesignFilter для задания типа фильтра, его класса, метода синтеза, порядка фильтра,частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания и задерживания и допустимых затуханий в этих полосах.