Влияние положения полюсов и нулей на z-плоскости на частотные характеристики цифрового фильтра

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫЛабораторная работа № 7КВлияние положения полюсов и нулей на z-плоскости начастотные характеристики цифрового фильтра (ЦФ)Голованов В.В.2003 г.2Цель работы: Исследовать, как формируются всплески и провалы АЧХ ЦФ взависимости от расположения нулей и полюсов на z-плоскости. Найтиоптимальное расположение полюсов и нулей при минимуме порядкафильтра, чтобы удовлетворить предъявленным требованиям к АЧХ.Синтезировать фильтры со стандартными характеристиками (Баттерворта,Чебышёва, эллиптический) для тех же исходных требований к АЧХ исопоставитьполученныерезультаты.Работаосуществляетсясиспользованием программного пакета MATLAB.Варианты заданийВариант1234567891011121314ЧастотадискретизацииFs, кГцГраницаполосыпропусканияГраницаполосызадерживанияЗатухание вполосепропусканияFpass, кГцFstop, кГцRp, дБЗатухание вполосезадерживанияRs, дБ10205504010201020550401020130.554211.5518731.81.5518731.8130.5542121211.511.5121211.5130254030354025302535402535303ВариантЧастотадискретизацииFs, кГц151617181920212223242526272810205504010201020550401020Границы полосыпропусканияГраницы полосызадерживанияЗатухание вполосепропусканияFp1, кГцFp2, кГцFs1, кГцFs2, кГцRp, дБЗатухание вполосезадерживанияRs, дБ130.6151025.50.51.50.31281.541.540.9171436.5381.82217.5490.51.50.31281.54130.6151025.5381.82217.5491.540.9171436.511.5211.521211.5211.523035402530354030354025303540Краткие теоретические сведенияПередаточную функцию цифрового фильтра (ЦФ) можно записать,зная нули и полюсы zk и pk :K(z) =K0(z – z1)(z – z2)…(z – zk)…(z – zM)(z – p1)(z – p2)…(z – pk)…(z – pN),где K0 – некоторый коэффициент (его можно положить равнымединице), max(M,N) – порядок ЦФ.При переходе к выражению для комплексной частотнойхарактеристики делают замену z=exp(j2πf/Fs)=exp(jθ), где f – текущаячастота (в Гц), Fs – частота дискретизации (в Гц), θ - угловой параметр,соответствующий нормированной частоте (при этом θ=π соответствуетчастоте f=Fs/2).

Комплексная частотная характеристика в зависимости отуглового параметра θ приобретает вид:K0(exp(jθ) – z1)… (exp(jθ) – zk)… (exp(jθ) – zM)K(θ) =(exp(jθ) – p1)… (exp(jθ) – pk)… (exp(jθ) – pN).4Каждую скобку вида (exp(jθ) – zk) или (exp(jθ) – pk) можнорассматривать как вектор, направленный из нуля или полюса в текущуюточку на единичной окружности, имеющую угловую координату θ (см.рис.1).Im z1pkzkθ-1Re z1-1Рис.1При изменении углового параметра θ векторы также изменяются,отслеживая положение текущей точки. Изменение модуля вектора даёт вкладданного нуля или полюса в АЧХ ЦФ, а изменение угла между вектором идействительной осью z-плоскости – вклад в ФЧХ ЦФ. Вследствие того чтофункция exp(jθ) изменяется периодически и изображающая точка, задающаятекущую частоту, скользит по окружности единичного радиуса, возвращаясьв прежние положения, частотные характеристики ЦФ носят периодическийхарактер, повторяясь с интервалом ∆θ=2π или ∆f=Fs.

Для формированияАЧХ нужного вида следует разметить верхнюю полуокружность единичногорадиуса на z-плоскости, обозначив полосы пропускания и задерживания. Дляэтого граничные частоты следует пересчитать в угловые параметры:θгр=2πfгр/Fs. Полюса нужно располагать в полосе пропускания внутриединичной окружности (для устойчивости фильтра требуется выполнениеусловия |pk| < 1 для любого k). Чем ближе полюс к окружности, тем болеерезкий и узкий всплеск АЧХ получится вблизи значения θ, равного угловомуположению полюса arg(pk) (здесь вектор, проведённый от полюса кокружности, самый короткий, а модуль этого вектора стоит в знаменателевыражения для АЧХ).

Нули размещают в полосе задерживания. Чем ближенуль к единичной окружности, тем глубже провал АЧХ при значении θ,равном угловому положению нуля arg(zk). На рис.2 приведена диаграммаполюсов и нулей ФНЧ с разметкой полос пропускания и задерживания в видедуг единичной окружности и соответствующая этой диаграмме АЧХ5фильтра. Каждому комплексному полюсу или нулю соответствуеткомплексно-сопряжённый, расположенный в нижней полуплоскости.Im zK(θ)Переходная областьПолосазадерживанияПолосапропусканияθзθп1Re z0θp θп θз θzπРис.

2Порядок выполнения работы1. Для выданного вам варианта задания выпишите в рабочую тетрадьзначения частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания изадерживания и требуемых затуханий в этих полосах. Изобразите графикдопусков. Определите тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ППФ или ПЗФ). Рассчитайтеугловые параметры, соответствующие граничным частотам по формуле:θгр=2πfгрFs.Нанесите угловые значения на график допусков, проведя ось θ,параллельную оси частот f.2.

Изобразите в тетради диаграмму полюсов и нулей, разместивполюсы в полосе пропускания, а нули в полосе задерживания. Для началавозьмите фильтр второго порядка (два нуля и два полюса; можете в качествепервоначального варианта взять только два нуля или только два полюса).Запишите ориентировочные значения координат полюсов и нулей.3.

Загрузите MATLAB. В командном окне задайте оператор>> sptoolБудет загружена программа SPTool (Signal Processing Tool). Откроетсяокно SPTool: startup.spt. Нажмите кнопку New в середине нижней части окна(под списком Filters). Откроется окно Filter Designer.

В раскрывающемсясписке Algorithm выберите последнюю строку Pole/Zero Editor. Вграфической части окна появится z-плоскость с нанесёнными на неёθ6полюсами и нулями. Нажмите кнопку Delete All в нижней части окна.Введите значение частоты дискретизации (в Гц) в поле Sampling Frequency.Пользуясь кнопками с нанесёнными изображениями стрелок и ластика,расположенными под значением частоты дискретизации, а также перемещаямышь с нажатой левой кнопкой, разместите полюсы и нули на z-плоскости всоответствии с рисунком, сделанным вами при выполнении п.2.Редактируемые полюсы или нули отображаются на диаграмме крупнымизначками зелёного цвета.

Их координаты отображаются в разделеSpecifications. Следите за тем, остаётся ли фильтр устойчивым (строчкаSTABLE в разделе Measurements). Невыделенные полюсы и нулиотображаются мелкими значками синего цвета. В разделе Specificationsзадайте систему координат (Polar или Rectangular). Переключитесь в окноSPTool: startup.spt. Нажмите кнопку View под списком Filters. Откроется окноFilter Viewer. Укажите в разделе Plots только один график – АЧХ (Magnitude),задайте масштаб (linear или decibels).

Разместите окна Filter Viewer и FilterDesigner рядом друг с другом на экране. Перенесите в тетрадь схематичноеизображение АЧХ с указанием значений на границах полос пропускания изадерживания. Для более точного определения координат интересующих васточек графика используйте маркеры. Можно использовать способувеличения нужной части графика, применяя протаскивание мыши с нажатойлевой кнопкой (предварительно нужно нажать соответствующую кнопкупанели инструментов).Изменяйте положения полюсов и нулей, добавляйте новые полюсы инули, добиваясь обеспечения заданных требований к АЧХ. Стремитесьобойтись наименьшим количеством полюсов и нулей.Когда задача будет решена, перерисуйте полученную диаграммуполюсов и нулей в тетрадь.

Укажите координаты полюсов и нулей. Рядомсделайте схематичное изображение АЧХ, соответствующее конечнойдиаграмме на z-плоскости. Просмотрите другие характеристикисинтезированного ЦФ (ФЧХ, импульсную, переходную, характеристикугруппового времени запаздывания).4. Синтезируйте «классические» фильтры для тех же исходныхтребований, изучите их характеристики и сравните с характеристикамифильтра, синтезированного в п.3. Для этого откройте окно Filter Designerпутём нажатия кнопки New в окне SPTool: startup.spt.

Укажите класс фильтрав раскрывающемся списке Algorithm. В разделе Specifications укажите типфильтра (lowpass – ФНЧ, highpass – ФВЧ, bandpass – ППФ, bandstop – ПЗФ) изадайте требования к АЧХ. Нажмите кнопку Apply.Вернувшись в окно SPTool: startup.spt, выделите идентификаторсинтезированного фильтра в списке Filters и нажмите кнопку View.Откроется окно Filter Viewer. Просмотрите характеристики фильтра.Занесите примерный вид АЧХ и диаграммы полюсов и нулей в тетрадь, суказанием значений на границах полос пропускания и задерживания (ихможно считать из раздела Measurements или измерить, применяя маркеры).Укажите также порядок фильтра (раздел Specifications, поле Order).75.

Если у Вас осталось время, выполните задание для другого варианта,попробовав синтезировать фильтр другого типа.6. Напишите комментарии и выводы по проделанной работе..