Понятие функции. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке
Описание файла
PDF-файл из архива "Понятие функции. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1. Понятие функции. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке.Понятие функции.Пусть даны два непустых множества и . Соответствие , которое каждому элементу ∈ сопоставляет один итолько один элемент ∈ , называется функцией и записывается = (), ∈ или : → . Говорят еще,что функция отображает множество на множество .Множество называется областью определения функции и обозначается (). Множество всех ∈ называется множеством значений функции и обозначается ().Предел функции в точке.Пусть функция = () определена в некоторой окрестности точки 0 , кроме, быть может, самой точки 0 .Определение по Гейне.
Число называется пределом функции = () в точке (или при → 0 ), если длялюбой последовательности допустимых значений аргумента , ∈ ℕ ( ≠ 0 ), сходящейся к 0 ,последовательность соответствующих значений функции ( ), ∈ ℕ, сходится к числу .Определение по Коши. Число называется пределом функции = () в точке (или при → 0 ), если длялюбого положительного найдется такое положительное число , что для всех ≠ 0 , удовлетворяющихнеравенству | − 0 | < , выполняется неравенство |() − | < .Записывают lim→0 () = . Это определение коротко можно записать так:(∀ > 0 ∃ > 0 ∀: | − 0 | < , ≠ 0 ⇒ |() − | < ) ⇔ lim () = .→0Непрерывность функции в точке.Пусть функция = () определена в некоторой окрестности точки 0 и в некоторой окрестности этой точки.Функция = () называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равензначению функции в этой точке, то естьlim () = (0 ).→0Данное равенство означает выполнение трех условий:1) функция () определена в точке 0 и в ее окрестности;2) функция () имеет предел при → 0 ;3) предел функции в точке 0 равен значению функции в этой точке, то есть выполняется равенствоlim () = (0 ).→0.