Сохранение оператора Рунге-Ленца
Описание файла
PDF-файл из архива "Сохранение оператора Рунге-Ленца", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая физика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Говорит как-то Лифшиц Ландау:— Что делать? Я целую тетрадь выкладок потерял в трамвае!— Да ничего страшного, напишем каквсегда: «откуда очевидно...»Народный юморКузнецов Максим Сергеевич (maks.kuznetsov@gmail.com)Группа 916 ФРТК МФТИ, 19 мая 2012 г.ВведениеВ квантовой механике оператор интеграла движения коммутирует с независящимявно от времени гамильтонианом. В кулоновском поле имеет место сохранение вектор̂︀ т.е. [,̂︀ = 0.̂︀ A]ного оператора Рунге-Ленца A,Учебные пособия, в частности «Квантовая механика» Ландау и Лифшица, приводятданный факт без доказательства, с указанием, что это «легко проверяется» 1 , чему ипосвящена данная работа.Постановка задачи⃒(︂)︂̂︀ 2 ⃒⃒12p2̂︀̂︀ −− ⃒≡p=2 =1 2)︁ 1 (︁)︁r 1 (︁̂︀̂︀ = ̂︀̂︀ −̂︀ × ̂︀l+l×ppA 22̂︀̂︀̂︀ = −il = ̂︀r×pr = p(2.1)(2.2)̂︀ = 0̂︀ A]Доказать, что [,Предварительные вычисленияНекоторые коммутаторы и произведения, которые будут необходимы при доказательстве главной задачи̂︀,̂︀ ]̂︀ = [̂︀ ,̂︀ ]̂︀ + [,̂︀ ]̂︀ ̂︀[̂︀ ̂︀ ]̂︀ = [̂︀ ,̂︀ ]̂︀ + [,̂︀ ]̂︀ ̂︀[,[︂ ]︂ [︂]︂[︂]︂1 ̂︀11̂︀ = , ̂︀ ̂︀ =, l = , ̂︀r×p⎛⎞⃒⃒⃒[︂]︂ [︂]︂⎜⎟⃒11̂︀⎜⎟= ⎝̂︀ , ̂︀ − , ̂︀ ̂︀ ⎠⃒⃒= −i ̂︀ 3 = 0⃒⏟ ⏞⃒=0(3.1)(3.2)(3.5)1Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2002.— 808 с. — («Теоретическая физика», том III), §36, пункт «Природа кулонова вырождения»1[︂[︂(︂]︂)︂111∙3 · 2̂︀3̂︀√+i, ̂︀ ∙ = √i∙ = −i √∙ = −i 5 ∙3335 ( )( ) 2( )⎛⎞⃒⃒⃒]︂ [︂]︂[︂]︂[︂]︂ [︂]︂⎜⎟⃒1 ̂︀1111⎟⃒̂︀ = 3 , ̂︀ ̂︀ = ⎜, l = 3 , ̂︀r×p⎝̂︀ 3 , ̂︀ − 3 , ̂︀ ̂︀ ⎠⃒3⃒⏟ ⏞⃒=0= −3i ̂︀(3.3)=(3.4)(3.3)̂︀=05]︂[︂]︂[︂11∙=̂︀ ,∙ = ̂︀ , √ (︂)︂1̂︀1∙̂︀√√√= −i=i∙+i∙=i∙3 ( )3]︂[︂]︂(︂)︂[︂̂︀ ̂︀11̂︀= ̂︀ ̂︀ ,+ [̂︀ , ̂︀ ] = i−̂︀ ,3(3.5)(3.6)̂︀ − 2 ̂︀(̂︀r × ̂︀l) = ̂︀ ̂︀ ̂︀ = ̂︀ ̂︀ ̂︀ − ̂︀ ̂︀ ̂︀ = ̂︀ (̂︀r · p)(3.7)(̂︀l × ̂︀r) = ̂︀ ̂︀ ̂︀ = − ̂︀ ̂︀ ̂︀ = −( − )̂︀ ̂︀ ̂︀ =2= −̂︀ ̂︀ ̂︀ + ̂︀ ̂︀ ̂︀ = −̂︀ (̂︀p · ̂︀r) + ̂︀ − î︀(3.8)Доказательство)︂ (︂(︁)︁ 1 (︁)︁)︂]︂2̂︀̂︀p1r1̂︀l × p̂︀ =̂︀ A]̂︀ −̂︀ × ̂︀l[,−,+p=2 22[︂ 2 (︁]︂ [︂]︂)︁]︂ [︂ p)︁]︂ [︂ 1 ̂︀(︁)︁]︂ [︂ p2̂︀ 1 ̂︀̂︀ 2 1 (︁̂︀̂︀pr11r̂︀ −̂︀ × ̂︀l + − ,̂︀ − p̂︀ × ̂︀l +l×p=,,p+ − , ̂︀l × p,2 22 2 22 [︂(︂Вычислим каждый их коммутаторов отдельно:[︂ 2 (︁)︁]︂)︁]︁[︁]︁⃒⃒̂︀ 1 ̂︀1 [︁(︁̂︀1p22 ⃒̂︀̂︀ = −̂︀ , p̂︀ = − ̂︀ , ̂︀ ⃒l×pl×p,=2 244(3.2)[︁]︁[︀]︀ 11122̂︀̂︀ (̂︀ [̂︀ , ̂︀ ] − [̂︀ , ̂︀ ] ̂︀ ) = 0= − ̂︀ , ̂︀ − , ̂︀ ̂︀ = − ̂︀444⏟ ⏞(4.1)=0[︂[︂)︁]︂̂︀ 2 1 (︁p̂︀̂︀ × l = 0 (доказывается аналогично),p2 2]︂ [︂]︂1 ̂︀1̂︀̂︀̂︀1̂︀̂︀√− ,= −√ , √=− +√=−+=0 2(4.2)(4.3)[︂]︂[︂]︂[︂]︂)︁]︂1 ̂︀1 ̂︀1 ̂︀1 (︁̂︀̂︀̂︀̂︀ − p̂︀ × l = − , ̂︀ + ̂︀ = − , ̂︀ − , ̂︀ =− , l×p⎞⎛⎛⎞]︂ [︂]︂]︂ [︂]︂[︂[︂⎟⎜ 1⎟⎜1 ̂︀1 ̂︀1̂︀⎜⎟⎜ ⎟= − ⎝ , ̂︀ + , ̂︀ ⎠ − ⎝̂︀ , + , ̂︀ ̂︀⎠=⏟ ⏞⏟ ⏞=0=0(︂ [︂]︂ [︂]︂ )︂⃒)︂(︂⃒11î︀ î︀ ̂︀̂︀̂︀̂︀⃒= − , ̂︀ + , ̂︀ ⃒= 3 + 3 =(3.5)⃒(︁)︁⃒)︀ii (︀̂︀= 3 (̂︀l × ̂︀r) − (̂︀r × ̂︀l) ⃒⃒= 3 22 ̂︀ − ̂︀ (̂︀p · ̂︀r) − î︀ − ̂︀ (̂︀r · p)(3.7), (3.8)[︂(4.4)[︂]︂[︂]︂ [︂]︂ ⃒(︂)︂(︂)︂⃒̂︀̂︀̂︀ ̂︀̂︀ ̂︀̂︀2 ⃒̂︀ ,= ̂︀ ̂︀ ,+ ̂︀ ,̂︀ ⃒= î︀+î︀ =p−−33(3.6))︂(︂)︂(︂1 ̂︀ ̂︀1̂︀̂︀1̂︀1̂︀ ̂︀̂︀ − ̂︀ = (4.5)p · ̂︀r) 3 + i 3 − ̂︀ + 3 (̂︀r · p)= i ̂︀ 3 − ̂︀ + 3 ̂︀ − ̂︀ = i (̂︀(︀)︀î︀= 3 −22 ̂︀ + ̂︀ (̂︀p · ̂︀r) + î︀ + ̂︀ (̂︀r · p)Следовательно:(︀)︀ i (︀)︀̂︀ = i 22 ̂︀ − ̂︀ (̂︀̂︀ A]̂︀ + 3 −22 ̂︀ + ̂︀ (̂︀̂︀ = 0 [,p · ̂︀r) − î︀ − ̂︀ (̂︀r · p)p · ̂︀r) + î︀ + ̂︀ (̂︀r · p)3223.