Часть 2 - Логические основы ЭВМ. Основные понятия алгебры логики (Т.В. Лукьянова - Конспект лекций по информатике), страница 3

Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) искобки.Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетомскобок. Приоритет выполнения логических операций в сложном логическом выражении:1) инверсия (отрицание);2) конъюнкция (умножение);3) дизъюнкция (сложение);4) импликация (следование);5) эквивалентность (тождество).Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:А В.В=Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:АВ=( В) . ( А).Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.16Для преобразования формул в равносильные важную роль играют следующие равенства, отражающие свойства логических операций, которые принятоназывать законами:Для упрощения логических выражений в алгебре логики существуют следующие законы.1) Закон двойного отрицания:(А) = А.2) Законы коммутативности (от перестановки аргументов результат неменяется):AB=BA;A&B=B&A.3) Законы ассоциативности (порядка вычислений):(AB) C=A (BC);(A&B)&C=A&(B&C).4) Законы дистрибутивности:(AB)&C=(A&C)  (B&C) – аналог раскрытия скобок в алгебре;(A&B)C=(AС)&(BC) – «чудо» алгебры логики.5) Законы де Моргана:(A&B) = AB;(AB) =  A&B.6) Правила операций с константами 0 и 1:0 = 1; 1 =0;A0 = A; A1 = 1;A&0 = 0; A&1 = A.7) Правила операций с переменной и ее инверсией:AA =1 – всегда истина.

Каждое высказывание истинно или ложно,третьего не дано.A&A=0 – всегда ложь. Никакое высказывание не может бытьодновременно и истинным, и ложным.Из основных законов следуют важные соотношения:1) Законы поглощения:17A∨(A&B)=A,A&(A∨B)=A.2) Закон идемпотентности:A&A& … &A =A;AA … A=A – повторное применение не дает ничего нового.Любой из этих законов может быть доказан с помощью таблиц истинности.2.2. Схемная реализация элементарных логических операций.Типовые логические узлы2.2.1.Алгебра логики и двоичное кодированиеМатематический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того,как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используютсяцифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: «1» и «0».Из этого следует два вывода:1) одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработкии хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;2) на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяетзначительно упростить логические функции, описывающие функционированиесхем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логическихэлементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностейразличной структуры и длины.

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации.В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например:18Рис. 2.1. Кодирование двоичных переменных различными уровнями напряжения2.2.2.Схемная реализация логических операцийМы уже знаем, что любую достаточно сложную логическую функциюможно реализовать, имея относительно простой набор базовых логических операций.

Первоначально этот тезис был технически реализован «один к одному»:были разработаны и выпускались микросхемы, соответствующие основным логическим действиям. Потребитель, комбинируя имеющиеся в его распоряженииэлементы, мог получить схему с реализацией необходимой логики. Довольнобыстро стало ясно, что подобное «строительство здания из отдельных кирпичиков» не может удовлетворить практические потребности. Промышленность увеличила степень интеграции микросхем и начала выпускать более сложные типовые узлы: триггеры, регистры, счетчики, дешифраторы, сумматоры и т.д. (продолжая аналогию со строительством, этот шаг, видимо, следует уподобить панельному способу домостроения). Новые микросхемы давали возможность реализовывать еще более сложные электронные логические устройства, но человекусвойственно не останавливаться на достигнутом: рост возможностей порождаетновые потребности.

Последовал переход к большим интегральным схемам(БИС), представлявшим из себя функционально законченные узлы, а не отдельные компоненты для их создания (как тут не вспомнить блочный метод постройки здания из готовых комнат). Наконец, дальнейшая эволюция технологийпроизводства интегральных микросхем привела к настолько высокой степениинтеграции, что в одной БИС содержалось функционально законченное изделие:часы, калькулятор, небольшая специализированная ЭВМ...Если посмотреть на внутреннее устройство типичного современного компьютера, то там присутствуют интегральные микросхемы очень высокого уровняинтеграции: микропроцессор, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройстви др.

Фактически каждая микросхема или небольшая группа микросхем образуют функционально законченный блок. Уровень сложности блока таков, что19разобраться в его внутреннем устройстве для неспециалиста не только нецелесообразно, а просто невозможно. К счастью, для понимания внутренних принциповработы современной ЭВМ достаточно рассмотреть несколько типовых узлов, аизучение поведения БИС заменить изучением функциональной схемы компьютера.Обработка информации в ЭВМ происходит, как уже не раз отмечалосьвыше, путем последовательного выполнения элементарных операций.

Эти операции менее многочисленны, нежели набор команд ЭВМ (которые реализуютсячерез цепочки этих операций). К элементарным операциям относятся: установка– запись в операционный элемент (например, регистр) двоичного кода; прием –передача (перезапись) кода из одного элемента в другой; сдвиг – изменение положения кода относительно исходного; преобразование – перекодирование; сложение – арифметическое сложение целых двоичных чисел и некоторые другие.Для выполнения каждой из этих операций сконструированы электронные узлы,являющиеся основными узлами цифровых вычислительных машин – регистры,счетчики, сумматоры, преобразователи кодов и т.д.В основе каждой из элементарных операций лежит некоторая последовательность логических действий, описанных в предыдущем разделе.

Проанализируем, например, операцию сложения двух чисел: 3 + 6. Имеем:011+ 1101011На каждом элементарнейшем шаге этой деятельности двум двоичным цифрам сопоставляется двоичное число (одно- или двузначное) по правилам: (0,0)=> 0, (0,1) => 1, (1,0) => 1, (1,1) => 10. Таким образом, сложение цифр можноописать логической бинарной функцией.

Если дополнить это логическим правилом переноса единицы в старший разряд (оно будет сформулировано ниже приописании работы сумматора), то сложение полностью сведется к цепочке логических операций.20Для дальнейшего рассмотрения необходимо знать условные обозначениялогических элементов.2.2.3.Базовые логические элементыБазовый логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.Базовыми логическими элементами компьютеров являются электронныесхемы И, ИЛИ, НЕ (называемые также вентилями).С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию,описывающую работу устройств компьютера.Чтобы представить два логических состояния – «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения.

Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровеньобычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий – значению «ложь»(«0»).Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована.

Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.Таблица истинности логической схемы – это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетаниязначений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.2.2.3.1. Схема ИСхема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на Рис.

2.2.21Рис. 2.2. Условное обозначение и таблица истинности схемы ИЕдиница на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе такжебудет ноль.Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x . y (читается как «x и y»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&» (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.2.2.3.2.