Шелагин - измерение полей

ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙВозможно, самый важный раздел физики — электромагнитные взаимодействия. Эти взаимодействия не только объясняют все электрическиеявления, но и обеспечивают силы, благодаря которым вещество на атомном и молекулярном уровне существуют как целое.Сделаем предварительное замечание.

Физики на основе опыта говорят, что в мире или в каждой ограниченной его части существует нечто,что может быть «по́нято», что в природе существует структура. «Понять» — значит соотнести эту структуру с некоторой структурой в нашем сознании, структурой мысленного образа, структурой порождённойнашим сознанием.

В физике эта структура мысленного объекта есть математическая структура. Тогда понять часть физического мира означает отобразить его структуру на математическую структуру. Построитьфизическую теорию означает, следовательно, построить математическийобраз физической системы, под которой понимается любая ограниченнаясоответствующим образом область физического мира. В области макроскопической электродинамики математическими структурами являютсявекторные и тензорные поля; в области квантовой физики — алгебры операторов в линейных пространствах. Но гораздо легче начать с основныхопытных фактов и предположений и показать, что вытекающие из нихследствия действительно описывают некоторую часть природы.

Именноэтот путь мы и выберем.Сила электрического взаимодействия имеет простейший вид в томслучае, когда заряженные тела неподвижны и находятся в вакууме. Этоэлектростатическая сила, она порождается электрическим зарядом. Масса и заряд тела имеют определённые численные значения, которые свидетельствуют о том, насколько сильно на тело действуют соответственногравитационная и электростатическая силы. Эти силы действуют независимо друг от друга, и между зарядом тела и его массой не существуетопределённого соотношения. Сила, действующая между двумя заряженными частицами, пропорциональна произведению зарядов q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (закон Кулона)F = k0q1 q2;r2[q] = L3/2 T −1 M 1/2 .(1)расположенным от него на расстоянии 1 см, с силой в 1 дину.

Это абсолютная электростатическая единица количества электричества и обозначается 1 ед. СГСЭ.В системе СИ заряд определяется через магнитную силу, действующую между двумя одинаковыми элементами токов; это приводит к значительно большей величине единичного заряда, которая связана с единицейСГСЭ через скорость света.

Единица заряда в системе СИ называется кулоном (Кл). Кулон и единица СГСЭ заряда связаны соотношением1 Кл = 2,998 · 109 ед. СГСЭ,где коэффициент перехода в точности равен скорости света (в СИ), умноженной на 10.Постоянную k0 в системе СИ теперь находим из (1):k0 = 8,988 · 109Н · м2.Кл2Это значение обеспечивает надлежащую точность и легко запоминается.В системе СИ k0 обычно записывают в виде 1/(4πε0 ), где ε0 = 8,854·10−12и называется электрической постоянной.Поскольку между заряженными телами действуют электрические силы, то, следовательно, заряженное тело создаёт вокруг себя некотороесиловое поле. Это поле называется электрическим и характеризуется вектором напряжённости E, имеющим размерность[E] =[F ]= L−1/2 T −1 M 1/2 .[q]E — силовая (динамическая) характеристика электростатического поля.В теории электромагнетизма мы постоянно имеем дело с заряженными поверхностями. Они непременно входят в устройства электрическихконденсаторов, антенн, линий передач, волноводов и т.п.

Чтобы вычислить величину заряда и создаваемого им потенциала, нужно прежде всегоуметь вычислять электрические поля, создаваемые распределениями зарядов. Для этой цели удобно применять теорему Гаусса в интегральнойили дифференциальной формахIE ds = 4πk0 q;div E = 4πk0 ρ.(2)Здесь k0 — коэффициент пропорциональности, определяемой из эксперимента.В системе единиц СГС для определения единицы заряда используетсявыражение (1), в котором k0 полагается равным единице: единичный заряд по определению взаимодействует с равным электрическим зарядом,Здесь q — полный заряд внутри замкнутой поверхности S, ρ — плотностьзаряда.12Электрическое поле неподвижных и не изменяющихся со временемэлектрических зарядов обладают важным свойством — оно является потенциальным. Это означает, что работа сил такого поля (электростатического) при перемещении пробного электрического заряда, q по произвольному замкнутому контуру равна нулюIE dl = 0.(3)LИтак, электрическое поле можно измерять либо в вольтах на метр(В/м), либо в ньютонах на кулон (Н/Кл), и поле направлено в сторонууменьшения потенциала.Теорема Гаусса (2) применяется не только для нахождения поля присимметричном расположении зарядов.

С её помощью можно вывестиочень важное дифференциальное соотношение, связывающее потенциалв данной точке с объёмной плотностью зарядов в этой же точке. Действительно, т.к. формулы (2) и (4) можно представить в видеИнтеграл от поля по замкнутому контуру называется циркуляцией поляпо этому контуру.Электрический потенциал ϕ определяется как электрическая потенциальная энергия единицы зарядаϕ=W,qW = k0qQ.rZbϕb − ϕa = − E dl.(4)aИз формулы (4) следуетEl = −dϕ,dlт.е. проекция напряжённости поля на какое-либо направление равна взятой с обратным знаком производной от электростатического потенциалавдоль этого направления.

В векторной форме приведённое соотношениезаписывается в видеE = − grad ϕ.(5)3∂Ey∂Ez∂Ex++;∂x∂y∂z∂ϕ,∂xEy = −Ex = −∂ϕ,∂yEz = −∂ϕ,∂zто получаемW — потенциальная энергия точечных зарядов Q и q.Единицей измерения электрического потенциала является Дж/Кл;она называется вольтом и в СИ обозначается как В (1 В = 1/300 ед. СГСЭ).Электрический потенциал равен потенциальной энергии, приходящейсяна единицу заряда, подобно тому, как электрическое поле равно силе,действующей на единицу заряда. Разность потенциалов между двумяточками представляет собой работу, которую необходимо затратить приперемещении единичного заряда из одной точки в другую.

Величину разности потенциалов принято также называть электрическим напряжениемили просто напряжениемdϕ = −E dl = −El dl,div E =∆ϕ ≡∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ++= −4πρ.∂x2∂y 2∂z 2(6)Это соотношение известно под названием уравнения Пуассона и представляет собой искомое локальное соотношение между потенциалом иплотностью заряда. Если в некоторой области пространства нет электрических зарядов, то потенциал в этой области удовлетворяет уравнению∆ϕ = 0.(7)Это соотношение называется уравнением Лапласа.

Оно обладает замечательным свойством. Если требуется найти его решение в какой-то области пространства, то для этого достаточно знать потенциал в различныхточках замкнутой поверхности, окружающей интересующую нас областьпространства. Найденное решение — единственное, т.к.

для уравнениясправедлива теорема единственности. Моделирование плоских электростатических полей предполагает знание свойств уравнения Лапласа.Внутренние заряды в проводниках в отличие от диэлектриков могутперемещаться под действием приложенного электрического поля. Движение заряженных частиц в проводниках под действием приложенного электрического поля называется электрическим током, а способностьпроводников проводить ток — электропроводностью.Количественной характеристикой тока является вектор плотности тока или просто плотность тока j.j = nqv.4Здесь q — заряд частицы, n — плотность частиц, v — средняя скорость направленного движения частиц.

Величина j определяет количество электричества, протекающего за 1 с через 1 см2 , ориентированную перпендикулярно j. Если задана какая-либо поверхность S, то через неё в единицувремени проходит количество электричестваZI = j ds.SЭта величина называется силой тока и имеет размерность[I] =[q]= L3/2 T −2 M 1/2 .[t]Поэтому единицей силы тока в СГСЭ будет 1 г1/2 см3/2 с−2 .

Эта величина, однако, очень мала, и на практике пользуются бо́льшей единицей —ампером (А).1А=1Кл= 3 · 109 единиц СГСЭ силы тока.сПлотность тока имеет размерность[j] = M 1/2 L−1/2 T −2и на практике измеряется в А/см2 .Вектор плотности тока в общей случае может меняться от точки кточке и зависеть от времени. Поэтому можно считать, что существуетвекторное поле плотности тока (то́ковое поле), а также то́ковые линии,т.е. линии, касательная к которым в каждой их точке имеет направлениесуществующего в этой точке вектора j. Это поле удовлетворяет важномусоотношению, которое следует из закона сохранения зарядаdiv j = −∂ρ.∂t(8)Здесь ρ — плотность заряда.

Соотношение (8) называется уравнением непрерывности и выражает математически закон сохранения заряда.Сравним (8) с теоремой ГауссаЭлектрические силовые линии начинаются и кончаются в точках, вкоторых плотность заряда отлична от нуля, то́ковые же линии начинаются там, где (∂ρ/∂t) 6= 0. Поэтому, если плотность тока не зависит от времени (такой ток называется постоянным), то ему может соответствоватьтолько не зависящая от времени плотность заряда, т.е. то́ковое поле вэтом случае не будем иметь источников, и, следовательно, то́ковые линиибудут замкнутыми.