История тензорного исчисления и его применение в физике

Министерство науки и высшего образования РоссийскойФедерацииМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет "Фундаментальные Науки"Кафедра ФН-4 "Физика"История тензорного исчисления и его применение вфизикеПреподавательСтудент1Истоки тензорного исчисленияИсторически тензорам предшествовали векторы, матрицы и ”системы с индек-сами”. Еще Архимед, живший в 287-212 гг до н.э., складывал силы, действующие натело, по правилу параллелограмма, т.е.

интуитивно вводил особые объекты, которыехарактеризуются не только величиной, но и направлением. Этот основополагающийшаг в сторону разработки векторного исчисления долго оставался единственным:голландский математик и инженер С.Стевин (1548-1620), который считается создателем понятия векторной величины, фактически переоткрыл еще раз закон сложения сил по правилу параллелограмма. Этот же закон формулировал и И.Ньютон(1642-1727) в своих "Началах” наряду с законами движения тел.[1]Движущая величина центростремительной силы есть ее мера, пропорциональная количеству движения, которое ею производится в течение данноювремени.Таким образом вес большей массы больше, меньшей — меньше; для той жесамой массы или того же самого тела вес больше вблизи Земли, меньше внебесной дали.

Эта величина есть направленное к центру стремление всеготела, которое и называется его весом. Движущая сила распознается посиле, ей равной и противоположной, которая могла бы воспрепятствоватьопусканию тела. [2]Следующий важнейший с современной точки зрения шаг был сделан тольков XIX веке ирландским математиком У.Р.Гамильтоном (1805-1865), который, занимаясь теорией кватернионов-гиперкомплексных чисел, в 1845 году ввел сам термин"вектор” (от латинского "vector” - несущий), а также термины: "скаляр”, "скалярноепроизведение”, "векторное произведение”, - и дал определение этих операций:Сэр Гамильтон называет выражение вида кватернионом; и четыре настоящие величины w, x, y, z он называет их составляющими.

Кватернионыскладываются или вычитаются добавляя или вычитая их составляющие,так что + 0 = + ′ + ( + ′ ) + ( + ′ ) + ( + ′ )Рассматриваем x, y, z как прямоугольные координаты точки пространства, и пусть r будет точка, в которой радиус-вектор x, y, z (при необходимости удлиняется) пересекает поверхность сферы [3]1В эти же годы Г.Грассманом (1809-1877) была создана теория внешних произведений (само понятие введено в 1844 году), известная в настоящее время как алгебраГрассмана.

Англичанин У.Клиффорд (1845-1879) объединил подходы Гамильнона иГрассмана, окончательная же связь кватернионов, алгебры Грассмана и векторнойалгебры была установлена только в конце XIX века Дж.У. Гиббсом (1839-1903). Самогеометрическое изображение вектора как отрезка со стрелкой также устойчиво появилось впервые, по-видимому, у Гамильтона, а в 1853 году французский математикО.Коши (1789-1857) ввел в обращение понятие радиус-вектора и соответствующееему обозначениеВ XIX веке математики стали активно использовать еще один объект - предшественник тензоров - матрицы.

Первое появление матриц связывают с древнекитайскими математиками, которые во II веке до н.э. применяли их для записи систем линейных уравнений. Матричная запись алгебраических уравнений и само современноематричное исчисление было развито английским математиком А.Кэли (1821- 1895),который, в частности, в 1841 году ввел используемое и сейчас а Ь с d обозначениедля определителя: Многие основополагающие результаты в теории систем линейныхалгебраических уравнений были получены немецким математиком Л.Кронекером(1823-1894).

В течение все того же XIX века в разных областях математики появляются "системы с индексами”. В алгебре это, например, квадратичные формы, теориюкоторых разабатывали А.Кэли, С.Ли (1842-1899) и другие, в геометрии - квадратичные дифференциальные фор мы, которые в настоящее время известны как первая ивторая квадратичная форма поверхности и квадрат длины элементарного отрезка.Основоположником теории поверхностей по праву считают выдающегося немецкогоученого К.Ф.Гаусса (1777-1855). Многие важнейшие результаты в этой области былиустановлены Б.Риманом (1826-1866), который развил теорию поверхностей на случайп измерений, Э.Бельтрами (1835-1900), Ф.Клейном (1849-1925), Г.Ламэ (1795-1870).Выдающаяся роль принадлежит Э.Б.Кристоффелю (1829-1900), который в 1869 году, рассматривая преобразования квадратичных форм 2 , впервые обнаружил тензорный закон их преобразования, а также ввел понятие производных от векторныхвеличин, которые преобразуются по тензорному закону (сейчас их называют ковариантными производными).

Возникшая еще в XVIII веке усилиями крупнейших математиков и механиков: Л.Эйлера (1707-1783), Ж.-Л.Лагранжа (1736-1813), П.Лапласа(1749-1827), С.Пуассона (1781-1840), О.Коши (1789-1857), М.В.Остроградского (18011861) - наука о движении и равновесии упругих тел (теория упругости), стала еще2одним источником появления "систем с индексами” - компонент напряжений и деформаций. Компоненты напряжений обозначали как Хх, Ху, Хz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy,Zz, и подразумевали под ними проекции сил, действующих на гранях элементарногокубика, на оси координат. Операции над такими системами с индексами были весьмагромоздки, содержали многочисленные повторения с точностью до круговой заменыобозначений.

Однако только в конце XIX века удалось понять внутреннее единствоформул, содержащих "системы с индексами".Созданные Гиббсом векторная алгебра и анализ также прочно вошли в современную физику и механику, а его лекциям "Элементы векторного анализа в изложении для студентов”, выпущенным в 1881-1884 гг.

и представляющим, по сути, первыйучебник по векторному исчислению, фактически следуют все соответствующие современные курсы.Гиббс был большим энтузиастом в распространении векторного исчисленияв различных областях точных наук, в частности, именно им была дана современная векторная запись уравнений электромагнетизма Дж.К.Максвелла (1831-1879),сам же Максвелл использовал метод кватернионов. Хотя не обошлось без критикисторонниками этого метода, векторное исчисление Гиббса было активно воспринятофизиками, и с начала XX века теория Максвелла практически всеми используетсяв форме Гиббса. Однако в тех областях науки, где возникают системы с большимчислом индексов, чем у векторов (более одного): в геометрии, в теории упругости, вкристаллофизике, - векторное исчисление Гиббса оказалось бессильным.Проблему обобщения векторного исчисления на системы с произвольным числом индексов удалось решить итальянскому математику Дж.Риччи (1853-1925), который в своих работах 1886-1901 гг.

создал новый аппарат, названный им абсолютным дифференциальным исчислением, для алгебраических и дифференциальныхопераций с ковариантными и контравариантными системами порядка . Самим Риччи с помощью этого аппарата были установлены основополагающие результаты вдифференциальной геометрии n-мерных пространств. Исчисление, созданное Риччи, оказало настолько сильное влияние на геометрию и физику, что некоторое времяоно даже называлось "исчислением Риччи.

С некотроыми изменениями оно широкоиспользуется в настоящее время32Обзор областей, в которых используется тензорноеисчислениеТензорное исчисление в настоящее время тесно связано с другими областя-ми математики, в частности, с теорией инвариантов, теорией групп и теорией представлений, теорией индифферентных тензоров. Теория алгебраических инвариантов,возникшая еще в XIX веке, в настоящее время находит широкое применение в механике и физике.

Теория групп, у истоков которой стоял Э.Галуа (1811-1832), в XIXактивно применялась в естественных науках для описания свойств симметрии кристаллов. С ее помощью были установлены 32 кристаллографические группы, в 1848году Бравэ нашел 14 трансляционных групп, соответствующих решеткам кристаллов, которые получили его имя. В 1890-1894 гг. российским ученым Е.С.Федоровым инезависимо от него А.Шенфлисом были выведены 230 пространственных групп симметрии кристаллов. После создания теории представлений групп, разработанной,главных образом, Г.Фробениусом (1849-1918), И.Шуром (1885-1955), У.Бернсайдом(1852-1927), было установлено, что теория групп имеет фундаментальное значениедля квантовой физики.

В настоящее время теория представлений является однимиз бурно развивающихся разделов математики. Некоторые методы теории представлений, используемые при описании свойств индефферентных тензоров, изложены вданной книге.Примерно с середины XX века была начата активная разработка теории нелинейных тензорных функций и функционалов, основы которой восходят к знаменитойтеореме Гамильтона-Кэли.

Эта теория позволяет описывать такие нелинейные свойства сред, как эффекты анизотропной пластичности, ползучести, нелинейной вязкости и вязкопластичности, нелинейной диффузии, диаграммы намагниченности, нелинейные оптические свойства и др. Основополагающие результаты в этой еще только развивающейся области были получены Р.Ривлином, Ф.Смитом, А.Спенсером,А.Грином, Дж.Адкинсом. Ими были установлены представления, главным образом,скалярных или алгебраических функций от тензоров для различных групп симметрии. Иной более общий подход, основанный на построении тензорных базисов,был применен российскими учеными: Ю.И.Сиротиным, В.В.Лохиным, Б.Е.Победрей,Г.Н.Малолеткиным и В.Л.Фоминым.

В настоящей книге этому перспективному направлению посвящена вся пятая глава.Таким образом, что тензорное исчисление является необходимым инструмен4том большинства новых развивающихся естественнонаучных направлений в физике,механике, квантовой химии, кристаллофизике. В частности, такие увлекательныепроблемы современности, как разработка квантовой теории относительности, теории объединенных полей, теории наноструктур и другие, решаются главным образомметодами тензорного исчисления.2.1Теория инвариантовТеория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дис-циплина более полутора веков назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры итеории чисел.

Ее первоначальной целью было изучение алгебраических выражений,не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени как взглядна основные задачи, так и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с целым рядомдругих математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новыеимпульсы теории инвариантов. С другой стороны, и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры(коммутативной алгебре и гомологической алгебре).В последние годы стала развиваться также «некоммутативная теория инвариантов».Теория инвариантов — это теория действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.