5, 6 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 2

Лекции 5-6.*∂ ( C1eik1x )∂ ( C1eik1x ) iikxik1 x *1=j=Ce− ( C1e ) 2m  1∂x∂xii2C1C1* eik1 x ( −ik1 ) e− ik1x − ( C1* C1e − ik1 x ) ( ik1 ) eik1 x = −2ik1C1=2m2mПлотность потока вероятности отраженной волны*ОТР *ОТР ∂ ( C2 e −ik1x )∂ ( C2 e − ik1 x ) i  ОТР ∂ ( ψ )iikx−− ik1 x *ОТРОТР * ∂ψ1=ψ− (ψ )=− ( C2 e )jx =C2 e∂x∂x  2m ∂x∂x2m ii2=C2C2* e − ik1 xik1eik1x − ( C2* C2 eik1 x ) ( −ik1 ) ( e− ik1x ) = 2ik1C22m2mКоэффициент отражения от порога равенi2 ОТР222ik1C2jC2k2 + ik12mR = ПАД ====1i2C1ik1 − k2j2ik1C12mт.е.

частица отражается от порога полностью.2. Теперь рассмотрим случай, когда энергия частицы больше высоты порога E>U0 . Пусть опять0 , x < 0IIIU ( x) = .U,x>00Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния вEU0области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0xdx 20Соответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где2mk12 = 2 E .В области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от порогаволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРIПАДxПАД *ПАДi  ПАД ∂ ( ψ )ПАД * ∂ψ=ψ− (ψ )2m ∂x∂x()()для области I падающей волне соответствует координатная часть ψ IПАД = C1eik1x , а отражённойψ ОТР= C2 e − ik1 x .IДля области II:d 2 ψ II 2m+ 2 ( E − U 0 ) ⋅ ψ II = 0dx 22mрешение имеет вид ψ II = C3e − ik2 x + C4 eik2 x , где k2 =( E −U0 ) .2Оставляем только прошедшую волну ψ IIПРОШ = C3eik2 x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x награнице порогаdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентов6Семестр 4.

Лекции 5-6.C1 + C2 = C3.k1C1 − k1C2 = k2C3Решение этой системы имеет вид C2 =( k1 − k2 ) C , C = 2k1 C .( k1 + k2 ) 1 3 k2 + k1 1i2C1 .2mi2Плотность потока вероятности отраженной волны jxОТР = 2ik1C2 .2mi2Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШ = 2ik1C3 .2m ОТР22j k1 − k2 C2=Коэффициент отражения от порога R = ПАД = не равен нулю!C1j k1 + k2 Это означает, что в отличие от классического случая, когда при E>U0 частица обязательно преодолеет «горку», в квантовой механике существует ненулевая вероятность того, что частицаотразится от «горки» при E>U0.Коэффициент прохождения (прозрачности) порога определяется по аналогии ПРОШ22j 2k1 C3D = ПАД == .C1j k1 + k2 Плотность потока вероятности падающей волны jxПАД = −2ik122 k − k   2k1 В частности, получаем что R + D =  1 2  +  = 1.++kkkk 1 2  1 2Прохождение частицы через потенциальный барьер.Из результатов п.1 предыдущей задачи следует, что вероятность обнаружения частицывнутри порога при E<U0 на некотором расстоянии от «ступеньки» не равна нулю.

Поэтомувозможна ситуация, при которой частица преодолеет конечную область с потенциальной энергией U0, хотя энергия частицы меньше этой E<U0.Частица массы m с энергией Е движется вдоль осиIIIIIIХ, сначала в области I ( x<0 ) , где потенциальная энерU0гия меньше энергии частицы, и налетает на область II, вкоторой потенциальная энергия больше энергии частиEцы U0>E. В отличие от предыдущей задачи, будем предполагать, что протяженность области II конечнаяxa00 < x < a .

Далее простирается область III ( x > a ), гдеэнергия частицы больше потенциальной энергии. Примем зависимость потенциальной энергии в виде0 , x < 0U ( x ) = U 0 , 0 < x < a0 , x > aУравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0dx 22mСоответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где k12 = 2 E .В области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от барьераволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРI7Семестр 4. Лекции 5-6.Для области II:d 2 ψ II 2m− 2 (U 0 − E ) ⋅ ψ II = 0dx 22mрешение имеет вид ψ II = C3e − k2 x + C4 e k2 x , где k2 =(U 0 − E ) .2В области IIId 2 ψ III 2m+ 2 E ⋅ψ III = 0 .dx 2ik1 x− ik1 xОбщий вид решения ψ III = C5e + C6 e .

Отставляем только прошедшую волну ψ III = C5 eik1x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x на границе барьераdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) ,dxdxd ψ IId ψ IIIψ II ( a ) = ψ III ( a ) ,(a) =(a) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентовC1 + C2 = C3 + C4ik C − ik C = − k C + k C1 22 32 4 1 1. − k2 ak2 aik1aCe+Ce=Ce345− k C e − k2 a + k C e k2 a = ik C eik1a 2 32 41 5k2 − ik1 ) e k a eik a(=C2Решение этой системы имеет вид C31252k2, C4C5 =4ik1k2 e − ik1a(( k22− k2 a− ( k2 − ik1 ) ek2 a2 + ik1 ) e)C2 =C4 =(( kk2 a( k2 − ik1 ) ek a eik a C2)2)− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e25 + ( k2 − ik1 )2k2C1 , C3 =2ik1 ( k2 − ik1 ) ek2 a(( k22− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) eC1i2C1 .2mi2= 2ik1C5 .2mПлотность потока вероятности падающей волны jxПАД = −2ik1Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШКоэффициент прозрачности барьера85( k2 + ik1 ) e− k a eik a C52− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e2112k 2− e− k2 a ) ( k2 − ik1 )( k2 + ik1 )12k2( k2 − ik1 )( k2 + ik1 ) eik a C2ik1 ( k2 + ik1 ) e − k2 a(( k25 + ( k2 + ik1 )2k 2( k2 + ik1 ) e− k a eik a CC1−2ik1C2 = − ( k2 + ik1 ) C3 + ( k2 − ik1 ) C4 = − ( k2 + ik1 )(e512−2ik1C2 = ( e− k2 a − e k2 a )12k2( k2 − ik1 ) ek a eik a C22ik1C1 = − ( k2 − ik1 ) C3 + ( k2 + ik1 ) C4 = − ( k2 − ik1 )k2 + ik1 ) e − k a eik a(=C)C12k 215Семестр 4.

Лекции 5-6. ПРОШ2jC5D = ПАД ==C1j=24ik1k2 e− ik1a(( k22− k12 ) ( e − k2 a − ek2 a ) + 2ik1k2 ( e − k2 a + e k2 a ))=16k12 k2 2(k2222− k12 ) ( e − k2 a − e k2 a ) + 4k12 k2 2 ( e− k2 a + e k2 a )2 2Приближённо можно считать, что D ≈ e−2 k2 a ≈ exp  −2m (U 0 − E ) ⋅ a  Для барьера произвольной формы, заданной в виде функции U(x): 2 x2D ≈ exp  − ∫ 2m (U − E )dx  x1где интеграл берётся по интервалу (x1, x2), на котором выполняется неравенство U>E.Определение. Туннельный эффект или туннелирование - это явление преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера.

Туннельный эффект - явление исключительноквантовой природы, невозможное в классической механике.Замечание. В классической механике энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий E = EK + U . В случае если E < U формально получаем, что EK < 0 .Следовательно, в квантовой механике нельзя определить энергию частицы как сумму потенциальной и кинетической. Это выражение справедливо только для средних значений.Квантовый гармонический осциллятор.Квантовый гармонический осциллятор – это квантовый аналог классической задачи ободномерных колебаниях материальной частицы под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия.

В этом случае потенциальную энергию можно выразить через смещениеkkx 2. Круговая частота колебаний частицы равна ω =,от положения равновесия в виде U =2mmω2 x 2поэтому выражение для энергии примет вид U =.2Квантовый гармонический осциллятор – это одномерная модель колебаний микрочастиц.Эти колебания могут быть вызваны тепловыми движениями или колебаниями под действиемвнешних электромагнитных волн. В классической механике при колебания механическая энергия сохраняется, поэтому в квантовой механике эту задачу рассматриваем как стационарную.Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния), описывающее квантовый гармонический осцилляторd 2 ψ 2m mω2 x 2 +E −⋅ψ = 0.dx 2 2 2 Оказывается, что данное уравнение имеет непрерывные решениятолько в случае, если энергия частицы выражается в видеU1E =  n +  ⋅ ω .2Следовательно, уровни энергии отстоят от друга на одинаковуювеличину ω , поэтому энергия осциллятора может изменятьсятолько порциями, кратными ω .

Число n определяет уровниэнергии, поэтому называется главным квантовым числом.0x9Семестр 4. Лекции 5-6.Для квантового осциллятора существует правило отбора – энергии меняется так, чтобы главное квантовое число изменялось на единицу ∆n = ±1 .ωСуществует минимальное значение энергии E =. Меньше этого значения энергия ос2циллятора принимать не может.Таким образом, можно сказать, что модель квантового гармонического осциллятора непротиворечит гипотезе Планка о дискретности уровней энергии системы и о существованииквантов.Наличие минимального значения энергии колебаний системы говорит о том, что всюэнергию у системы «отобрать» невозможно. Что в свою очередь, не противоречит теоремеНернста о недостижимости абсолютного нуля температур (как состояния с нулевой энергиейколебаний).Сканирующий туннельный микроскопРассматривать отдельные атомы можно с помощьюустройства, использующего квантовый эффект туннелирования – сканирующий туннельный микроскоп(СТМ).