2sem_7 (лекции по молекулярной физике), страница 4

Распределение Больцмана.Пусть интересующая нас подсистема (газ) находится во внешнем поле, в котором потенциальная энергиямолекулы U ( x, y , z ) есть функция только её координат (например, гравитационное поле).Основываясь на соотношении (5.1), т.е. в силу независимости событий иметь определенные значения каккинетической, так и потенциальной энергий, можно рассмотреть отдельно распределение частиц во внешнемполе U ( x , y , z ) :−U ( x, y , z )dP(U ) = Be T dxdydz ,(5.3)что дает вероятность нахождения частицы в объеме dV = dxdydz вблизи точки с координатами ( x, y, z ) .Пусть N − полное число молекул в подсистеме. Так какdN x , y , zdP(U ) = dP( x, y, z ) =,Nто число молекул в элементе пространственного объема dV = dxdydz определяется формулой: U ( x, y , z ) dN x , y , z = NB exp−(5.4)dxdydzTСмысл множителя NB легко установить, если ввести число частиц в единице объема, т.е.

концентрациючастиц (плотность числа частиц):dN x , y , zdxdydz= n( x, y, z ) = NBe−U ( x, y,z )T(5.5)15Тогда, очевидно, что произведение NB равно плотности числа частиц в точках, где U = 0 , т.е. n0 . Тогдавыражение (5.5) принимает видn ( x, y , z ) = n 0 e−U ( x, y,z )T(5.6)Полученная формула носит название распределения Больцмана.Примечание: если отсчет идет от точки, где U = U 0 , тогда распределение Больцмана имеет вид: U( x, y,z ) − U 0 n( x , y , z ) = n 0 exp −T(5.7)Примеры применения распределения Больцмана.1).

Распределение частиц в сосуде по высоте в однородном поле тяжести ( g = const , T = const ).Для Земли поле тяжести может считаться однородным для небольших высот h ( h << R з ), где R з − радиусЗемли.:MmMmMmMm= −γ≈ −γ+γ 2 h ,rRз + hRзRзMmU (h) − U (0) = γ 2 h = mghRзU (r ) = −γhТогда получаем известную барометрическую формулу Больцмана: µ gh  mgh  mgh n(h) = n(0) exp− (5.8) = n(0) exp− = n(0) exp− T  RTk  kTk Здесь µ - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная.0Воспользовавшись связью между концентрацией газа и давлением, получаем барометрическую формулуБольцмана в виде: mgh p = p 0 exp − kTk nn01n02(5.9)Концентрация частиц убывает с высотой, причемконцентрация более тяжелых частиц убывает с высотойбыстрее. Это создает подъемную силу (для болеелегких объектов - воздушные шары).Для более высоких температур распределениевысотой становится более равномерным (см.

рисунок).При этом полное число частиц сосуде N постоянно:T2 > T1T2 mgh ∆S ∫ n0 exp−dh = N . kTk 0Здесь ∆S − площадь сечения сосуда, а L − его полнаяLT10Lhвысота.2). Распределение частиц во вращающемся сосуде.ωСилаипотенциальнаяэнергияmω r, тогда распределение частиц имеет вид:2 mω 2 r 2 (5.10)n(r ) = n0 exp 2kTk U (r ) = −rF = mω 2 rинерции22Таким образом, концентрация молекул растет с радиусом.3). О распределении молекул в атмосфере планет.Потенциальная энергия молекул равна: U ( h) = −γраспределение:Mmи в равновесном состоянии получаем следующееRn + h16 1MmMm  .n = n0 exp−  − γ+γ+TRhRnn Однако, если бы это распределение было справедливо на всех расстояниях от планеты, то при h → ∞ мы быполучилиMm n(∞) = n0 exp− γ.Rn Т.е. получаем конечное число для концентрации на бесконечности, что невозможно, т.к.

объем вокруг планетыбесконечен, а общее число молекул в атмосфере конечно. Получаем, что равновесие возможно лишь приn0 = 0 , т.е. атмосфера не должна быть в равновесии.Отсюда вывод: невозможность существования равновесного состояния планетной атмосферы. Это связанос тем, что разность потенциальной энергии молекулы в поле тяготения планеты на поверхности и набесконечности остается конечной..