var9 (вариант 9)

Ворожба Станислав, ИУ8-23, 9 вариантЗадача 1-1Условие~10 иДве гладкие частицы сферической формы с массами m1 и m2 движущиеся со скоростями V~V20 , сталкиваются друг с другом, как указано на рис. 1m1 = 10−3 кг;m2 = 10−3 кг;V10 = 10м/с;V20 = V 10м/с;α=π;4ϕ=π4Вид удара: абсолютно упругийТребуется определить следующие величины:V1 ; V2 ; γИз закона сохранения импульса:~10 + m2 V~20 = m1 V~2 + m 2 V~1m1 VИз закона сохранения энергии:22m2 V20m 1 V1m 2 V2m1 V10+=++ Eудар2222Так как удар абсолютно упругий, то энергия при столкновении не выделяется, тогда E удар = 0.Рассмотрим данные соотношения в проекциях на оси x и y:Направим ось x вдоль линии, соединяющей центры частиц. При соударении меняются проекциискоростей частиц на ось x, проекции на ось y остаются неизменными.Обозначим: β = α−ϕ; V1x иV2x - проекции на ось x скоростей первой и второй частиц соответственнопосле удара.m1 V10 cos ϕ − m2 V20 cos β = m1 V1x + m2 V2x2222m1 V10+ m2 V20= m1 (V1x+ (V10 sin ϕ)2 ) + m2 (V2x+ (V20 sin β)2 )Решив эту систему уравнений, найдем проекции на ось x скоростей частиц после удара:(ϕ−2m2 V20 cos βV1x = (m1 −m2 )V10mcos1 +m2β+2m1 V10 cos ϕV2x = (m1 −m2 )V20mcos1 +m2В рассматриваемом случае m1 = m2 и β = 0.

Тогда:(2m2 V20V1x = − m1 +m22m1 V10 cos ϕV2x = m1 +m2Найдем искомые величины:r2p√2m2 V20 V1 = V 2 + (V10 sin ϕ)2 =−m+ (V10 sin ϕ)2 = 5 6 ≈ 12.247м/с,1x1 +m2p√2 + (V sin β)2 = 2m1 V10 cos ϕ = 5 2 ≈ 7.071м/с,V2 = V2x20m1+m2  γ = π + arctg V10 sin ϕ − arctg V20 sin β = π − arctg (m1 +m2 )V10 sin ϕ = π − arctg √1 ≈ 2.526.V1xV2x2m2 V202Ворожба Станислав, ИУ8-23, 9 вариантЗадача 2-2УсловиеОднородный тонкий вертикальный стерженьдлины l, движущийся поступательно в плоскостирисунка с горизонтальной скоростью V0 ,налетает на край массивной переграды.После удара стержень вращается вокруг осиO, перпендикулярной плоскости рисунка.

Осьвращения стержня совпадает с ребром преградыи проходит через точку удара стержня о преграду.Потерями механической энергии при вращениистержня после удара пренебречь.l = 1м,l1 = 0.2l,V0 = 1м/с.Сразу после столкновения центр масс стержняимеет ту же скорость, что и до столкновения.Определим расстояние от центра масс до осивращения: r = 2l − l1 . Момент инерции стержняотносительно оси, проходящей через его центр ml212 .22+mr.Сразупосле столкновения угловая скорость стержняДля оси O он будет равен I = ml12V0равна ω0 = r . Кинетическая энергия стержня сразу после столкновения равнаEк =Iω02.2Выберем за нулевой уровень потерциальной энергии уровень, на котором находится ось O.

Тогда наэтом уровне потенциальная энергия стержня будет равна нулю, а в исходном положении она равнаEп =По закону сохранения энергии:mglIωк2Iω02+− mgl1 =.222Тогда:ωк =Запишем полученные величины:ω = l V−l0 = 0 s12 ωк =mgl− mgl1 .2rIω02 + mgl − 2mgl1.I10−1,3 ≈ 3.33с2l2 ω 2 +gl−2gl1012 +r 2≈l212 +r6.713с−1., где r =l− l12Ворожба Станислав, ИУ8-23, 9 вариантЗадача 3-1УсловиеДля данной колебательной системы необходимо:1) Вывести дифференнциальное уравнение свободных затухающих колебаний, если сила сопротивлениядвижению КС пропорциональна скорости, т.е.

F~ = −rV~ , где r - коэффициент сопротивления.2) Определить круговую частоту ω0 и период T0 свободных незатухающих колебаний.3) Найти круговую частоту ω и период T свободных затухающих колебаний.4) Вычислить логарифмический декремент затухания.5) Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитудуA0 и фазу ϕ0 колебаний.6) Написать с учетом найденных значений урванение колебаний.Исходные данные:r = 0.3кг/с,k1 = 10Н/м,k2 = 12Н/м,m = 0.14кг,l10 = l20 = 0.11м,L = 0.23м,V2 = 0.03м/с.Две последовательно соединенные пружины с коэффициентами k1 и k2 можно заменить однойk2. Последовательно вычислим искомые величины:пружиной с коэффициентом жесткости k = kk11+k21) По Второму Закону Ньютона:F~ = m~a.Рассмотрим это соотношение в проекции на ось x:−kx − rVx = max ⇒ ẍ +krẋ + x = 0.mmПолучено дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.2) При отсутствии силы rVx имело бы место соотношение:−kx = ma ⇒ ẍ +kx = 0.mПолученное уравнение являетсядифференциальным уравнением свободных незатухающихqpkколебаний, причем ω0 = m ≈ 6.242c−1, а T0 = 2π mk ≈ 1.007с.3) ω =p4) δ =1βkx202+5)ω02 − β 2 ≈ 6.242с−1, где β ==2mrmV222r2m , T=√2πω02 −β 2≈ 0.933сkA2= 2 0 , где x0 = L − (l10 + l20 ) ⇒ A0 = x0≈ 0.448.ϕ = arccos A06) Уравнение имеет вид: x(t) = A0 e−βt cos(ωt + ϕ).≈ 1.022сqx20 +m 2k V2≈ 0.011м;Ворожба Станислав, ИУ8-23, 9 вариантЗадача 4-1УсловиеДля стержня длиной L, закрепленного, как указано на рисунке, необходимо:1) вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, прикоторых в нём образуется стоячая волна,2) указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам(к высшим гармоникам),3) определить частоту и длину волны i-ой гармоники,4) для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественные картины стоячих волн амплитудсмещений и деформаций.Материал: аллюминий,ρ = 2.7 · 103 кг/м3 ,E = 7 · 1010 Па,L = 1.2м,i = 3.Стоячая волна будет образовываться при наложении двух противоположных волн ξ 1 = A cos(ωt −kx + ϕ1 ) и ξ1 = A cos(ωt + kx + ϕ2 ).

Она будет иметь вид:ξ = A cos(ωt + ϕf1 ) cos(kx + ϕf2 )Для данного типа крепления на длину стоячей волны накладывается ограничение: λ = 2Li∈Ni ,qEСкорость распространения волн в твердом веществе: c =ρ . Найдем последовательно искомыевеличины:1) Найдем ограничение, накладываемое на частоту волн, способных образовывать стоячие волны:sπi E2πc⇒ω=, i∈Nω=λLρ2) Частота ω0 =обертонам.πLqEρ≈ 4.215 · 105 Гц является основной, частоты при i > 1 относятся к3) Частота i-ой гармоники: ωi =πiLqEρ≈ 1.265 · 106 Гц, длина волны: λi =4) Качественная картина амплитуд смещений:5) Качественная картина амплитуд деформаций:2Li≈ 0.8м..