LA_rk1_print_2020 (Билеты по РК №1 Линал), страница 2

Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Вывести формулу преобразования координат вектора при переходеот одного базиса линейного пространства к другому.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t − 2, (t − 2)2 , (t − 2)3 } к базисуB 0 = {1, t + 2, (t + 2)2 , (t + 2)3 }.Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение линейного оператора и матрицы линейного оператора.2.

Сформулировать закон инерции квадратичных форм.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (1, 1, 0, 0)T , a2 = (3, 1, 1, 0)T , a3 = (−2, 4, 6, 1)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4. Найти матрицу перехода от базиса a1 = (7, 3)T , a2 = (6, 2)T к базисуb1 = (5, 3)T , b2 = (2, 2)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий на некотором двумерном про0 −2.

Найти матрицустранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу1 1этого линейного оператора в базисе e01 = −3e1 + 2e2 , e02 = 2e1 − e2 .6. Привести квадратичную форму x21 +2x1 x2 +2x2 x3 +4x1 x3 −x22 к сумме квадратов методом Лагранжа. Определить, является ли эта формаположительно определённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Задача√√8.

Привести кривую 32x2 +7y 2 +60xy+20 13x+22 13y+39 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Построить кривую в исходной системе координат.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 9Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение ортогонального линейного оператора и ортогональной матрицы.2. Записать формулу преобразования координат вектора при переходеот одного базиса линейного пространства к другому.Задачи3. Вектор c ∈ R2 имеет координаты (2, 5)T в базисе e1 = (1, 0)T ,e2 = (0, 1)T . Найти его координаты в базисе e01 = (7, 4)T , e02 = (2, 1)T .4.

Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированногобазиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 90◦ против часовойстрелки вокруг вектора k. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базисаB 0 поворотом на 45◦ против часовой стрелки вокруг вектора i0 . Найтиматрицу перехода от базиса B к базису B 00 .5. Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера−3−6тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.256. С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма −2x21 + 10x1 x2 − 4x22 − x23 − 2x3 x4 − 2x24 положительноопределённой, отрицательно определённой, неопределённой.Часть БЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 10Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1.

Дать определение характеристического уравнения, собственного числа и собственного вектора линейного оператора.2. Записать неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Задачи3. Принадлежит ли вектор c = (1, 2, 3, 4)T ∈ R4 линейной оболочке векторов a = (1, −1, 1, −1)T и b = (3, 3, −2, −2)T ? Если да, то разложитьего по векторам a и b.4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = x21 − 2x22 + 2x1 x2 .

Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = e2 , e02 = e1 − e2 .5. Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартномбазисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (3, 2)T , a2 = (2, 3)T ввекторы b1 = (1, 3)T , b2 = (−1, 2)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 4xy −5x2 −8y 2 к каноническому виду. Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7.

Вывести формулу преобразования матрицы линейного операторапри переходе к новому базису.Теория7. Доказать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задача8. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 5x2 + 37y 2 + 10z 2 − 24xy − 12xz + 36yz к каноническому виду. Указать соответствующеее преобразование координат.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t + 2, (t + 2)2 , (t + 2)3 } к базисуB 0 = {1, t − 2, (t − 2)2 , (t − 2)3 }.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч.

годБилет 11Часть АЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 12Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллнеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение квадратичной формы, матрицы и каноническоговида квадратичной формы.2. Сформулировать теорему о связи линейной зависимости и ортогональности системы векторов.Теория1.

Дать определение положительно определённой, отрицательно определённой и неопределённой квадратичной формы.2. Записать формулу преобразования матрицы линейного операторапри переходе к новому базису.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (2, −1, −1, 0)T , a2 = (−1, 2, −1, 0)T , a3 = (−1, −1, 2, −1)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4. Найти матрицу перехода от базиса a1 = (7, 3)T , a2 = (2, 1)T к базисуb1 = (3, 2)T , b2 = (2, 3)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий на двумерном про некотором−11 −30.

Найти матрицустранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу411этого линейного оператора в базисе e01 = −3e1 + e2 , e02 = 5e1 − 2e2 .6. Привести квадратичную форму −4x1 x2 + 4x1 x3 + x22 + 2x2 x3 к сумме квадратов методом Лагранжа. Определить, является ли эта формаположительно определённой, отрицательно определённой или неопределённой.Задачи3.

Вектор c ∈ R2 имеет координаты (1, 1)T в базисе a1 = (3, −2)T , a2 =(−2, −3)T . Найти его координаты в базисе b1 = (7, −2)T , b2 = (−4, 1)T .4. Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированного базиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 60◦ по часовой стрелкевокруг вектора k. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базиса B 0 поворотом на 90◦ против часовой стрелки вокруг вектора j 0 . Найти матрицуперехода от базиса B к базису B 00 .5. Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера51тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.−9 −16.

С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма x21 + 6x1 x4 + 4x22 + x23 + 2x2 x3 + 2x24 положительноопределённой, отрицательно определённой, неопределённой.Часть БЧасть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать инвариантность характеристического уравнения линейного оператора и инвариантность следа матрицы.Теория7. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формыпри переходе к новому базису.Задача√√8. Привести кривую 15x2 −16xy−15y 2 +18 17x+4 17y+51 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Построить кривую в исходной системе координат.Задача8.

Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 2xy − 2xz − 2yz к каноническому виду. Указатьсоответствующеее преобразование координат..