LA_rk1_print_2020 (803797)
Текст из файла
ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 1Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение линейного (векторного) пространства.2. Сформулировать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задачи3. Найти базис и рамерность линейной оболочки системы векторовa1 = (1, −2, 1)T , a2 = (−2, −1, 4)T , a3 = (−3, −4, 9)T , a4 = (0, −5, 6)Tпространства R3 .4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = 3x21 + x22 + 4x1 x2 .
Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = e1 + e2 , e02 = 2e1 − e2 .5. Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартномбазисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (3, 11)T , a2 = (1, 4)T ввекторы b1 = (0, 1)T , b2 = (1, 0)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 3x2 +6y 2 −4xy к каноническому виду.
Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t − 1, (t − 1)2 , (t − 1)3 } к базисуB 0 = {1, t + 2, (t + 2)2 , (t + 2)3 }.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 2Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1.
Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.2. Дать определение самосопряжённого линейного оператора на евклидовом пространстве и сформулировать теорему о виде матрицы самосопряжённого оператора в ортонормированном базисе.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (1, 1, 1, 1)T , a2 = (1, 1, 1, 0)T , a3 = (1, 1, 0, 0)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4.
Найти матрицу перехода от базиса a1 = (1, 2)T , a2 = (3, 5)T к базисуb1 = (−1, 2)T , b2 = (2, −1)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий надвумерном про некотором2 1. Найти матрицу этогостранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу1 1линейного оператора в базисе e01 = e1 − e2 , e02 = 2e1 + e2 .6. Привести квадратичную форму 4x1 x3 +x23 +2x2 x3 к сумме квадратовметодом Лагранжа.
Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Вывести формулу преобразования координат вектора при переходеот одного базиса линейного пространства к другому.Задача√√8. Привести кривую −3x2 + 3y 2 + 8xy − 8 5x − 6 5y + 15 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Постороить кривую в исходной системе координат.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч.
годБилет 3Часть АЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 4Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллнеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение базиса и размерности линейного пространства.2. Сформулировать теорему о корнях характеристического уравнениясамосопряжённого оператора.Теория1. Дать определение матрицы перехода от одного базиса к другому.2. Сформулировать теорему о собственных векторах самосопряжённого оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задачи3. Принадлежит ли вектор c = (−9, 11, 7, 7)T ∈ R4 линейной оболочкевекторов a = (3, 2, 1, 1)T и b = (−7, 1, 1, 1)T ? Если да, то разложить егопо векторам a и b.4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = −x21 + 5x22 + 6x1 x2 . Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = e1 + 2e2 , e02 = 2e1 − 3e2 .5.
Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартном базисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (3, −2)T , a2 = (−4, 3)T ввекторы b1 = (−1, −1)T , b2 = (1, 1)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 4xy − 4x2 − y 2 к каноническому виду. Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Задачи3. Вектор c ∈ R2 имеет координаты (1, −1)T в базисе e1 = (1, 0)T ,e2 = (0, 1)T .
Найти его координаты в базисе e01 = (2, 1)T , e02 = (1, 1)T .4. Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированногобазиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 90◦ против часовойстрелки вокруг вектора i. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базиса B 0 поворотом на 90◦ по часовой стрелке вокруг вектора k0 . Найтиматрицу перехода от базиса B к базису B 00 .5.
Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера52тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.−6 −36. С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма 2x21 − 2x1 x2 + x22 + x23 − 4x3 x4 + 5x24 положительноопределённой, отрицательно определённой, неопределённой.Часть БЧасть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Вывести формулу преобразования матрицы линейного операторапри переходе к новому базису.Теория7. Доказать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задача8. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 2x2 + 5y 2 + 5z 2 + 4xy − 4xz − 8yz к каноническому виду.
Указатьсоответствующеее преобразование координат.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t + 1, (t + 1)2 , (t + 1)3 } к базисуB 0 = {1, t − 2, (t − 2)2 , (t − 2)3 }.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 5Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1.
Дать определение подпространства линейного пространства и линейной оболочки системы векторов.2. Записать формулу преобразования матрицы квадратичной формыпри переходе к новому базису.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (0, 1, 1, 0)T , a2 = (1, 0, 1, 1)T , a3 = (1, 1, 0, 0)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4. Найти матрицу перехода от базиса a1 = (−1, 1)T , a2 = (4, −2)T кбазису b1 = (1, 1)T , b2 = (3, 5)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий надвумерном про некотором1 0. Найти матрицу этогостранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу2 1линейного оператора в базисе e01 = e1 − 2e2 , e02 = −2e1 + 5e2 .6. Привести квадратичную форму x21 + 4x1 x2 + 2x2 x3 − 4x1 x3 к сумме квадратов методом Лагранжа.
Определить, является ли эта формаположительно определённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть БЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 6Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение скалярного произведения и евклидова пространства.2. Сформулировать теорему о существовании для самосопряжённогооператора ортонормированного базиса, в котором его матрица имеетпростой вид.Задачи3.
Вектор c ∈ R2 имеет координаты (−1, 1)T в базисе a1 = (1, 1)T ,a2 = (1, −1)T . Найти его координаты в базисе b1 = (2, 5)T , b2 = (1, 2)T .4. Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированногобазиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 90◦ против часовойстрелки вокруг вектора j. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базисаB 0 поворотом на 90◦ против часовой стрелки вокруг вектора k0 . Найтиматрицу перехода от базиса B к базису B 00 .5. Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера−9−25тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.4116.
С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма −x21 +6x1 x4 −3x22 −x23 −3x24 положительно определённой,отрицательно определённой, неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать инвариантность характеристического уравнения линейного оператора и инвариантность следа матрицы.Теория7. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формыпри переходе к новому базису.Задача√√8.
Привести кривую 9x2 + y 2 + 6xy + 12 10x + 4 10y + 30 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Построить кривую в исходной системе координат.Задача8. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу −x2 − y 2 − 7z 2 + 16xy − 8xz − 8yz к каноническому виду. Указатьсоответствующеее преобразование координат.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 7ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 8Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение ортогональной системы векторов и ортонормированного базиса евклидова пространства.2. Сформулировать критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы и следствия для отрицательно определённых и неопределённых форм.Задачи3.
Найти базис и рамерность линейной оболочки системы векторовa1 = (3, −2, −3)T , a2 = (1, 2, 3)T , a3 = (1, −6, −9)T , a4 = (−5, 6, 9)Tпространства R3 .4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = −x21 − x22 + 4x1 x2 . Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = −e1 + e2 , e02 = e1 − 2e2 .5. Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартномбазисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (1, 2)T , a2 = (3, 4)T ввекторы b1 = b2 = (2, 2)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 7x2 − y 2 + 6xy к каноническому виду.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
