Олимпиада 2015 год Тур №2 Условия

ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015Задача 1Стержень квадратного поперечного сечения со стороной квадрата равной идлиной 2 изготовлен из изотропного упругого материала с модулем упругости икоэффициентом Пуассона . Стержень вставляется в паз, сделанный точно по егоразмерам (см. рис.1.1).Рис.1.1Материал, в котором сделан паз, следует считать абсолютно жестким.

Трение поповерхности касания стержня и паза отсутствует. Определить перемещение точки С,которое вызовет приложение силы .Решение.На участке А - В материал стержня не может расширяться в поперечномнаправлении, поэтому в стержне появятся поперечные напряжения,напряженное состояние здесь будет трехосным (см. рис. 1.2).Рис. 1.2Запишемсостояния:обобщенный =− = − = −закон+−−длятрехосногонапряженного−Гука+(1)1ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015В нашем случае = 0; = 0; = = п − поперечноенапряжение.

Подставляя эти значения в обобщенный закон Гука, получим: =0 = −−0 = −п−+п−п−пп(2)+п.Из второй или из третьей строки уравнений(2)получим п = .(1−)Подставляя вместо п полученное значение в первую строку уравнений (2), получим: =−(1−)Итак, получено выражение =−(1−)=(1 −22(1 −22).(1−)). , которое связывает продольное(1−)напряжение в стержне с продольной деформацией в условиях, когда поперечнаядеформация стеснена. Как видно деформация в этом случае получается несколькоменьшей, чем в случае одноосного растяжения стержня. Поскольку по условиюзадачи трение по поверхности касания отсутствует, то во всех поперечных сеченияхстержня продольная сила будет равна -F (стержень испытывает сжатие вдоль оси x ),соответственно напряжение сжатия окажется равным ==−2. Теперь дляучастка стержня А-В величина продольной деформации получится равной: А−В =−а2 (1 −22(1−)Умножая).относительнуюпервоначальную длину участка, получим ∆− =Для участка−а2 (1 −22деформациюна).(1−)В-С все значительно проще, так как здесь имеем обыкновенноеодноосное сжатие − ==−а2 , соответственно∆− = − ∙ =−а2 .Поскольку левое сечение неподвижно, искомое смещение сечения С (см.

рис.1.2) будет равно сумме удлинений обоих участков стержня. = ∆− + ∆− =−(1 −а2 22−) + а2 =(1−)−2а2 (1 −2(1−)).Знак минус указывает на то, что участки стержня укорачиваются, следовательносечение С перемещается налево. Ответ:Перемещение сечения С равно: =−2а2 (1 −2(1−)) , сечение смещается налево.2ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015Задача 2.Фигура построена при помощи вписанного в круг квадрата (см. рис.2.1) изаполняет заштрихованную область. Радиус круга .

Определить момент инерциизаданной фигуры относительно оси .Рис. 2.1.Решение.Заданная фигура может быть получена из квадрата путем добавления к немуобласти, которая имеет двойную штриховку или из целого круга вычетанием из негообласти, которая не имеет штриховки на рисунке.Рис.

2.2.Момент инерции относительно оси области, которая имеет двойнуюштриховку такой же , как и области, не заштрихованной на рисунке 2.2. Такимобразом, искомый момент инерции равен среднему арифметическому междумоментами инерции вписанного квадрата и круга.1круга = (20,5594квадрата+ 1) = 2( 44+ 312)=1(2 44+√2( √2)312)=4 21( 4 + 3) =4Ответ: =4 21( 4 + 3) = 0,5594 43ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015Задача 3Рис.3.1Упругая растяжимая нить, изготовленная из резины, занимает в ненапряженномсостоянии положение А В С.Какие силы инужно приложить вточке В, чтобы она переместилась в положениеВ/ (см. рис.3.1). При удлинениинити считать справедливым закон Гука0( △ =(здесь 0 − длина нити приотсутствии продольной силы) ) и при больших удлинениях . Собственный вес нитине учитывать.Решение.Рис.

3.2Длина участка нити А В в растянутом состоянии (рис. 3.2)4ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015 = √(3)2 + 2 = √10 .Удлинение участка А В∆ = − 2 = √10 − 2 = (√10 − 2)Продольную силу на участке А В =∆ =(√10−2)2 =найдем, используя закон Гука:√10−22.УчастокВ С нити в деформированном состоянии не изменил своейпервоначальной длины, следовательно продольная сила в нем равна нулю.Из условия равновесия узла В = ∙ =3√10−2 ∙2 √10= = ∙ =√10−2 ∙2 √10=3(√10−2)2√10 ,(√10−2)2√10.Ответ: = =3(√10−2)2√10(√10−2)2√10 = 0,5513 , = 0,1838.5ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015Задача 4.Загружение круглого стержня (см. рис.4.1) по схемеа) вызывает уголповоротаторцевого сечения = 1,33 ∙ 10−3 радиан. Загружение по схеме б)вызывает угол поворота = 10−3 радиан.

Определить коэффициент Пуассона .Рис. 4.1Решение.В случае =а) стержень работает на кручениекр =2угол поворота стержня = =1,33∙ 10−3 .В случае б) пара сил вызывает изгиб иполучится путем умножения кривизны стержня=2=1∙ 10−3 .22на длинуТаким образом имеем два равенства:=1,33∙ 10−3=1∙ 10−3.Приравняв отношение левых частей к отношению правых частей этих равенств,получим:=1,33.(1)Для круглого сечения = 2 . Модуль сдвига выражается через модульупругости следующим образом: =2(1+). Подставляя эти значения в формулу (1),получим:22(1+) =1,33.Ответ:Откуда 1 + = 1,33 .

Следовательно = 0,33 . = , .6ΙΙ тур 43 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 25.04.2015Задача 5Круглая пластинка постоянной толщины радиуса загружена нормальными,распределенными на единицу площадиграницы, усилиями = 0 2 икасательными усилиями = 0 ∙cos. Модуль упругости пластинки .Определить удлинение отрезка А В.Решение.Имеем одноосное растяжение = 0 . Нагрузки p и s есть ни что иное,как напряжения в наклонных площадках при одноосном растяжении.∆ = ∙ = ∙ 2 =02Ответ:∆ =027.