билеты по кратным (Билеты 2015 и решения)

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 1 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрЭкзаменационный билет № 2 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрМодуль 1: Кратные интегралы.1. Дать определение двойного интеграла и сформулировать егосвойства.

(4 балла)2. Вычислить объем тела, заданного неравенствами:4 z  16  x 2  y 2 ; z  0; x 2  y 2  4 .(4 балла)Модуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Сформулировать теорему Гаусса-Остроградского. Доказатьтеорему Гаусса-Остроградского для правильной области. (6 баллов)4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода  x 2 yz ds , где − часть плоскости x  y  z  1 , лежащая в первом октанте( x, y, z  0 )(4 балла)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5. Исследовать ряды на сходимость:(а)n 12n  53n  7n(2 балла);(б)  1n 1n5(2 балла).n  ln( n  1)Модуль 4: Методы вычислений6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса. (4 балла)7. Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМодуль 1: Кратные интегралы.1. Дать определение тройного интеграла и сформулировать его основные свойства.

(4 балла)2. Изменить порядок интегрирования и перейти к полярным коорди3натам в интеграле  dy018  y 2f ( x, y )dx .(4 балла)3yМодуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Определение дивергенции векторного поля. Вывести формулу длявычисления дивергенции в декартовой системе координат. (6 баллов)4. Вычислить криволинейный интеграл ydx  xdy , гдеAB – дугаABCxкривой y  e от точки A(0;1) до точки B (2; e 2 ) , BC – отрезок прямой, C (2; 0) . (4 балла)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5.

Разложить функцию f ( x )  ( x  1)e 2 x в ряд по степеням ( x  1)(4 балла).Модуль 4: Методы вычислений6. Методы вычислений решения задачи Коши для обыкновенныхдифференциальных уравнений. Явный метод Эйлера. (4 балла)7. Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 3 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрЭкзаменационный билет № 4 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрМодуль 1: Кратные интегралы.1.

Сформулировать свойства двойного интеграла. Доказать теоремы олинейности и интегрировании неравенств. (4 балла)2. Вычислить объем тела, заданного неравенствамиz  x 2  y 2 , x 2  y 2  z 2  2 z. (4 балла)Модуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Дать определение поверхностного интеграла 1-го рода и вывестиформулы для его вычисления в декартовой системе координат.(6 баллов)4. Вычислить двумя способами  x 2  y dx  3 xdy вдоль замкнутогоCконтура C , образованного прямыми x  y  1, x  1 и кривой y  e x ,обход в положительном направлении.

(4 балла)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5. Исследовать ряды на сходимость:2n  1  3 ln n (2 балла); (б)   1n n!2(a) 23n 2  5n 1n 15nМодуль 4: Методы вычисленийМодуль 1: Кратные интегралы.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах спомощью повторного (для правильной области). (4 балла)2.

Найти объема тела, ограниченного поверхностями22z  4  x , y  4  x, x  0 .(4 балла)Модуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Вывести формулу Грина для односвязной области. (6 баллов)4. Вычислить поток векторного поля F  x 2 i  3z j  z k через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостямиz  x  1; y  z , y  0, x  0 (нормаль внешняя). (4 балла)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5. Разложить функцию f ( x)  ln 6  x  x 2  в ряд Маклорена. Указать область сходимости этого ряда. (4 балла).Модуль 4: Методы вычислений(2 балла).6.

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравненийметодом Гаусса с выбором главного элемента. Привести пример(4 балла)6. Метод наименьших квадратов в классе полиномиальных функций. Пример нахождения линейной функции с минимальной суммой квадратов невязок. (4 балла)7. Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).7. Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 5 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрЭкзаменационный билет № 6 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрМодуль 1: Кратные интегралы.1.

Сформулировать основные свойства двойного интеграла. Доказатьтеоремы об оценке и о среднем для двойного интеграла. (4 балла)2. Изменить порядок интегрирования и перейти к полярным коорди4натам в интеграле4 y y2 dy  f ( x, y)dx .(4 балла)y 40Модуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Ротор векторного поля. Сформулировать теорему Стокса. (5 баллов)4. Вычислить поток векторного поля F  x 2 y  i  y 2 x  j  x 2  y 2  k22через внешнюю часть поверхности x  y  1, x  0, y  0 , вырезанной плоскостями z  1 , z  0 .

(5 баллов)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на его концах:nМодуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Вывести условия независимости криволинейного интеграла 2-города на плоскости от пути интегрирования. (6 баллов)4. Вычислить поток векторного поля F  x i  (2  y ) j  xz k черезполную поверхность пирамиды, ограниченнойплоскостями y  z  1; x  2 y , z  0, x  0 (нормаль внутренняя). (4 балла)Модуль 3: Числовые и степенные ряды5. Исследовать ряды на сходимость:3n 2  2n  ln 2 n(а) (2балла);(б) 1n 4 . (2 балла)33 n 2n  5 ln nn 2n 1n 1  2 x  3ln n  1n 1Модуль 1: Кратные интегралы.1.

Вывести формулы для вычисления массы неоднородного тела.(4 балла)2. Вычислить площадь части поверхности x 2  z 2  a 2 , вырезаемойиз нее поверхностью x 2  y 2  a 2 . (3 балла)(4 балла).Модуль 4: Методы вычислений6. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядокточности. Формула средних прямоугольников, вывод формулы(с оценкой погрешности). (4 балла)Модуль 4: Методы вычислений6. Методы вычислений решения дифференциальных уравнений. Метод Рунге – Кутты 4-го порядка точности решения задачи Коши дляобыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. (4 балла)7.

Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).7. Дополнительные вопросы (по программе) (4 балла).Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 7 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрЭкзаменационный билет № 8 по курсу:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫЭ-5 и МТ (кроме МТ-8, МТ1-32, МТ5-32, МТ6-32 и МТ13-31)2 курс, 3-й семестрМодуль 1: Кратные интегралы.1.

Вывести формулы для вычисления координат центра масс неоднородной плоской фигуры. (4 балла)2. Изменить порядок интегрирования и перейти к полярным коорди1натам:0201 dy  f ( x, y)dx   dy  f ( x, y)dx . (4 балла)0 y1 2 y2Модуль 2: Криволинейные, поверхностные интегралыи теория поля.3. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла 2-го рода. Нахождение функции по ее полному дифференциалус помощью криволинейного интеграла. (6 баллов)4. Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторногополя F  ( y  z ) i  ( x  z ) j  ( x  y )k по замкнутой кривой L :2Модуль 1: Кратные интегралы.1. Вывести формулы для вычисления координат центра масс неоднородного тела.