Расчет стержней на устойчивость и продольно-поперечный изгиб

ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»_______________________________________________Кафедра строительной механикиА.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А. ЛУКЬЯНОВ, А.И. МАРАСАНОВРАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НАУСТОЙЧИВОСТЬ И ПРОДОЛЬНОПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБМетодические указания к практическим занятиямМосква - 2012ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»Кафедрастроительная механикаА.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А. ЛУКЬЯНОВ,А.И. МАРАСАНОВРАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ИПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБРекомендовано редакционно-издательским советомуниверситета в качестве методических указаний длястудентов всех технических специальностей.М О С К В А - 2012УДК 539.3/.6: 539.3/.8: 624.071.3Л - 152Лукьянов А.М., Лукьянов М.А., Марасанов А.И. Расчет сжатыхстержней на устойчивость и продольно-поперечный изгиб:Методические указания. - М.: МИИТ, 2012.– 48 с.: ил.Излагаются основные теоретические сведения из курса«Сопротивление материалов», относящиеся к основам расчетасжатых стержней на устойчивость и продольно-поперечный изгиб.Приводятся характерные примеры с подробными решениями.Методическиеуказанияследуетрассматриватькакдополнение к лекциям и учебной литературе.Привыполнениидомашнегозаданиярекомендуетсяиспользовать учебники:АлександровА.В.,Потапов В.Д.,ДержавинБ.П.Сопротивление материалов.

- 3-е изд. испр.- М.: Высш. шк., 2007 ,- 560 с.: ил.Лукьянов А.М. Сопротивление материалов. – М.: Маршрут,2008. – 560 с.Ицкович Г.М., Минин Л.С., Винокуров А.И. Руководство крешению задач по сопротивлению материалов: Учебное пособиедля вузов /Под. ред. Л.С.

Минина.– 3-е изд., переработанное идополненное – М.: Высшая школа, 1999. – 592 с. ФГБ ОУ ВПО «Московскийгосударственный университетпутей сообщения» (МИИТ), 2012ВведениеМетодические указания подготовлены в соответствии спрограммой курса сопротивление материалов, и предназначеныдля студентов электромеханических специальностей.В них изложены основные положения теории расчета сжатыхстержней на устойчивость и продольно-поперечный изгиб. Онисодержаттакже, характерные примеры с подробнымирешениями. Даны необходимые пояснения и рекомендации, атакже излагаются некоторые положения, рассчитанные наулучшение понимания изучаемых вопросов.

Очевидно, чторезультативное использование методических указаний возможнолишь в случае достаточнойпроработки теоретическогоматериалапо лекциям и учебной литературе, а такжеприобретения навыков решения задач на практических занятиях.Цель методических указаний - помочь и ориентироватьстудента для владения методами решения типовых задач, приего самостоятельной работе над материалом дисциплины, атакже сэкономить время, затрачиваемое им на выполнениедомашнего задания, выделив лишь узловые вопросы.1.

Понятие об устойчивостиРасчет на устойчивость имеет важное значение для техэлементовконструкций,которыепредставляютсобойсравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластины иоболочки. Мы будем рассматривать лишь простейшие случаирасчета на устойчивость сжатых стержней.Существует три вида равновесия тел: устойчивое,безразличное и неустойчивое.Устойчивым называют такое равновесие, при котором телопосле малого отклонения от исходного положения возвращается вэто положение при устранении воздействия, вызывающего этоотклонение.Безразличным называют такое состояние тела, когда телопосле отклонения остается в равновесии и в новом положении.Неустойчивым называют такое состояние тела, когда телопри малом отклонении не возвращается в исходное положение, аудаляется от него.Особенности общепринятой расчетной схемы устойчивостипоясним на традиционном примере.Шар, лежащий на вогнутой поверхности, рис.

1, а, находится всостоянии устойчивого равновесия. Если ему сообщитьнебольшое отклонение от этого положения и отпустить, то онвозвратится в исходное состояние.Шар, лежащий на выпуклой поверхности, рис. 1, б, покатитсявниз и не вернется в исходное положение. Он находится всостоянии неустойчивого равновесия.Третье положение шара, рис.1, в, также является устойчивым,но оно отличается от первого. Будучи отклоненным, он висходное положение не возвращается, но движение егопрекращается.Говорят,шарнаходитсявсостояниибезразличного устойчивого равновесия.Рис. 1.Рассмотренный пример относится к задачам устойчивостиположенияабсолютнотвердоготела.Вмеханикедеформируемого твердого тела рассматриваются задачиустойчивости элементов конструкций при их деформировании,т.е. основным является установление зависимости видаравновесия от сил, действующих на элемент конструкции.Так, аналогичным образом будет вести себя длинный и тонкийсжатый стержень.Характер равновесия будет определятьсяуровнем действующей силы.

В зависимости от величины силыстержень может иметь прямолинейную или искривленную формуравновесия (рис. 2).Рис. 2.При действии на стержень осевой сжимающей силы F, рис. 2, а,меньшей некоторого критического значения Fкр, стерженьсохраняет исходную прямолинейную форму равновесия. Этозначит, что при F < Fкр прямолинейная форма равновесия стержняявляется устойчивой.Частота малых колебаний стержня по отношению к исходнойпрямолинейной форме равновесия зависит от величинысжимающей силы F. При возрастании силы частота уменьшается.Когда величина силы достигнет критического значения, частотаколебаний обратится в нуль, и стержень придет в состояниебезразличного равновесия.

Если теперь слегка отклонитьстержень от первоначального прямолинейного состояния, а затемотпустить, то он останется в изогнутом состоянии (рис. 2, б).Таким образом, при F = Fкр прямолинейная форма равновесиястановится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация)форм равновесия, то есть наряду с прямолинейной возможносуществование смежной слегка искривленной формы равновесия.Наименьшая величина силы, при которой первоначальнаяформа равновесия становится неустойчивой, называетсякритической силой.Приложение к стержню силы, равной критической илипревышающейеѐ,приводиткпотереустойчивостипервоначальной прямолинейной формы равновесия, и стерженьизгибается.

Это явление называется продольным изгибом.Особенностью продольного изгиба является внезапностьвозникновения.При дальнейшем увеличении сжимающей силы сверхкритического значения (рис. 2, в) , F > Fкр, происходит резкоенарастаниепрогибовивозникновениезначительныхдополнительных напряжений изгиба.Описанное явление получило название потери устойчивости.Вместе с тем, обращает на себя внимание тот факт, что дляразличныхуровнейсжимающейсилыразличночислоравновесных состояний.При малых силах исходное состояние является единственновозможным. При увеличении силы наряду с исходным существуютдва отклоненных состояния, в данном случае симметричныхотносительно положения равновесия и реализуемых взависимости от направления возмущения.

В общем случаеколичество этих отклоненных состояний может быть и большим.Но при этом впервые отклоненные равновесныесостоянияобнаруживаются именно при действии критической силы.Явления потери устойчивости возможно не только дляпростейших сжатых стержней. Возможны более сложные случаипотери устойчивости рам, арок, пластин и оболочек. Некоторыепримеры потери устойчивости приведены на рис. 3.

При сжатиикольца или тонкой оболочки радиально направленныминагрузками (рис. 3, а) при некотором их значении (критическом)круговая форма сечения переходит в эллиптическую (рис. 3, б).Консоль вытянутого прямоугольного сечения, длиной l, (рис. 3, в),работающая на прямой изгиб в плоскости наибольшей жесткостипри критическом значении изгибающей силы, закручивается (рис.3, г). Конечно, изложенными примерами не исчерпывается всемногообразие случаев потери устойчивости.Рис.

3.Понятие потери устойчивости, приводит к необходимостинахождения критических сил и нагрузок, тем более что, какпоказывает опыт проектирования, даже для стержня, потеряустойчивости, происходит при напряжениях, меньших пределатекучести материала (и даже предела пропорциональности).Другими словами потеря устойчивости происходит ранееисчерпания прочности стержня.Необходимо заметить, что понятие устойчивости не следуетсмешивать с понятием прочности; каждое из них имеетсамостоятельное значение.В некоторых случаях при выполнении практических расчетов наустойчивость критическую нагрузку считают разрушающей, адопускаемую нагрузку определяют как часть критической:F   F / n кругде [nу] - нормируемое значение коэффициента запасаустойчивости;[F] – допускаемое значение силы, сжимающей стержень;Fкр–критическоезначениесжимающейсилыдлярассчитываемого стержня.Величина коэффициента запаса устойчивости принимаетсяпримерно равной коэффициенту запаса прочности.

Например, длястержней изготовленных из стали, [n у ]=2 – 4, из чугуна [n у ]=4 - 6.2. Формула Эйлера для определения критической силыРассмотрим шарнирно опертый по концам центрально сжатыйстержень длиной l , жесткостью поперечного сечения на изгиб EI(рис. 4) .Рис. 4.Воспользуемся для определения критического значения силы Fстатическим методом.

Для этого зададим системе отклоненноеизогнутое равновесное состояние и определим условие, прикотором оно оказывается впервые возможным при статическомувеличении значения силы. Таким образом, по существу мызаменяем задачу об определении критической силы задачей обифуркацииравновесных состояний. При этом остается зарамками обсуждения вопрос о том, какими качественно являютсявсеэтиравновесныесостояния–устойчивымиилинеустойчивыми. Такой анализ возможен лишь при исследованииэнергии системы, который мы проводить не будем.Итак, задаем системе отклоненное состояние, характеризуемоеперемещениями v (z ) (см. рис. 4). Тогда, используя приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня,запишем:(1)EIv//  M ( z )   Fv ,знак « - » поставлен потому, что полученный изгибающий моментсоздает отрицательную кривизну стержня.