Построение эпюр внутренних усилий, страница 3

Построить эпюру крутящих моментов.Рис. 7.Кпримеру 4.Р е ш е н и е. Так как стержень находится в равновесии, тонаправление и значение неизвестного момента М* определим изуравнения :15 М z = - M + (3 /2 ) (M /a) 2 a + M* = 0,M*=-2M.В этомуравнении равнодействующаямоментной нагрузки определялась по выражению:распределеннойzRt =t dz(10)0т.е. R t = t·2a , так как t = const и z = 2 a.Полученное из решения отрицательное значение М* указываетна то, что действительное направление этого крутящего моментабудет противоположным тому, которое показано на (рис.

7, a).Действительное направление момента М* смотри рис. 7, б.Разобьем стержень на три участка, начиная от левого концастержня (см. рис. 7, б ).Найдем закономерность изменения крутящего момента напервом участке. Проведем на этом участке в произвольном местесечение 1-1 и отбросим правую часть стержня. К оставшейся левойчасти приложим внешний момент М и в сечении 1-1 - крутящиймомент М1 положительного направления (рис. 7, в ); составим длянее уравнение равновесия :Участок I (0 ≤ z1 ≤ a ): Σ М z = - M + М1 = 0, откуда М1 = М(11)Следовательно, на первом участке крутящий момент будетпостоянным(не зависит от текущей координаты z1)иположительного направления.Из выражения (11) видно, что крутящий момент в поперечномсечении стержня численно равен алгебраической сумме внешнихкрутящих моментов, приложенных к его оставшейся части:Ост.ч.М z =  М iz(12)Поэтому, в дальнейшем можно, по аналогии с приемом,описанным выше при определении продольного усилия N(см.

примеры 2 и 3 в п.2.2), сразу записывать выражение длякрутящего момента. При этом следует мысленно в проведенныхсечениях у оставшихся частей стержня помещать условныезаделки16и, используя правило знаков для Мz, составлять выражениякрутящих моментов на каждом участке.Проведем на втором и третьем участках в произвольном местесечения 2-2 и 3-3. Мысленно каждый раз будем отбрасывать левыечасти стержня и в эти сечения помещать условные заделки.Составим выражения для крутящих моментов на II и III участках.Участок II (0 ≤ z 2 ≤ 2a ) :z2М 2 = - 2M +t dz = - 2 M + (3 / 2) ( M /a) z 20(текущая координата z2 отсчитывается от конца второго участка).В этом выражении, у момента 2М знак минус принят потому,что момент при взгляде на условную заделку (в сечении 2-2)стремится повернуть оставшуюся часть стержня против хода часовойстрелки.

Знак плюс у распределенной моментной нагрузки принятпотому, что она стремится повернуть оставшуюся часть по ходучасовой стрелки (см. рис. 6, правило знаков для Мz ).Следовательно, на втором участке крутящий момент М2изменяется по линейной зависимости. Для построения эпюры Мz наэтом участке надо определить значения ординат:при z2 = 0 ,М2= - 2 М ;при z2 = 2a ,М 2 = - 2 М + (3 / 2) ( M /a)·2а = М .Участок III ( 0 ≤ z3 ≤ a ),М3= - 2 М ,т.е. крутящий момент на третьем участке – величина постоянная иотрицательная.По вычисленным значениям ординат крутящих моментов накаждом участке построена эпюра Мz (рис. 7, г ).Таким образом, на участках, нагруженных внешнимисосредоточенными крутящими моментами, внутреннее усилиеМz постоянно, причем всечениях, где приложены этимоменты, на эпюре Мz будут скачки, равные их значениям; научастках, нагруженных равномерно распределенной моментнойнагрузкой, эпюра Мz будет изменяться по линейнойзависимости.172.4.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающихмоментов в балках2/При поперечном изгибе балокв их поперечных сеченияхвозникают внутренние усилия - поперечные силы и изгибающиемоменты.Условимся о правилах знаков для поперечной силы иизгибающего момента.Поперечную силу Qy считаем положительной, если онанаправлена так, что стремится повернуть элемент балки походу часовой стрелки (см. рис. 8, а).Изгибающий момент М x считаем положительным, если онизгибает элемент балки выпуклостью вниз, вызываярастяжение нижних волокон (рис. 8, б).Отрицательные величины Qy и Мxсоответствуютпротивоположному направлению.Рис. 8Правило знаков дляQ y и Мx .Отметим, что при таком правиле знаков положительнаяпоперечная сила, приложенная к левой отсеченной части,направлена вниз, а положительный изгибающий момент – противхода часовой стрелки.

Соответственно, для правой части –положительная сила Qy направлена вверх, а положительныймомент Мx - по ходу часовой стрелки.При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментовбудем следовать следующим правилам:положительные значения Qy откладывать от базисной линиивверх, а отрицательные – вниз, эпюру Мx строить со стороны2/ Балкой называется брус, главным образом, работающий на изгиб.18растянутых волокон3/, т.е.; положительные значения Мx откладывать вниз, так как в этом случае будут растянуты нижниеволокна, а отрицательные - вверх.Между изгибающим моментом, поперечной силой и внешнейраспределенной нагрузкойg существуют дифференциальные4/зависимости22( dM /dz) = Q , (dQ /dz ) = g , ( d M / dz ) = g .(13)Из этих дифференциальных зависимостей видно, что перваяпроизводная от функции изгибающего момента М по продольнойкоординате z равна поперечной силе Q, а первая производная отфункции поперечной силы Q (вторая производная от функцииизгибающего момента M) - интенсивности распределеннойнагрузки g.Приведенные дифференциальные зависимости оказываютсущественную помощь при построении эпюр Q и M и их контроле.Пример 5.

Для консольной балки, нагруженной, как показано нарис. 9, а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.Р е ш е н и е. В соответствии с характером нагружения, балкуразбиваем на два участка, в пределах которых функции Q( z ) и M(z)будут различными: участок I – АВ, участок II – ВС.При составлении выражений для Q и М применим метод сечений.В пределах каждого участка проведем в произвольном местесечения 1 – 1 и 2 – 2 (см.

рис. 9, а). Отбросим правые части балки ирассмотрим равновесие левых незакрепленных частей, так какпри этом не надо определять опорные реакции. К этим частям (дляравновесия) в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 приложим положительнонаправленные поперечные силы Q1, Q2 и изгибающие моменты M1,М2 (рис. 9, б и в).3/ Используют и обратное правило – эпюру Мx строят со сторонысжатых волокон. Это правило обычно применяют в пособиях,предназначенных для студентов машиностроительных специальностей.Однако оно не оказывает влияния на дальнейшие результаты расчетабалок.4/ Дифференциальные зависимости получены в предположении, что осьy и распределенная нагрузка g направлены вверх.

Здесь и далее дляпростоты изложения индексы “y“ у величины Q и “x“ у величины Мопускаются.19Рис. 920К примеру 5.Далее выберем место положения начала координат, так как отэтого зависит простота выражений Q и М. В данной задаче началокоординат целесообразно расположить в начале каждого участка: научастке I – в точке А, на участке II - в точке В (см. рис. 9, б и в).Составим уравнения равновесия для оставшихся частей балки и изних получим выражения для Q и М.Участок I (0  z1  а)(см.

рис. 9, б)Участок II (0  z2  2а)(см. рис.9,в) Y = Q1 - 3ga = 0 ,Q1 = 3ga , M e1 = M1 - 3ga · z1 = 0 , M1 = 3ga · z1. Y = Q2 - 3ga + 2gz2 = 0 ,Q2 = 3ga - 2gz2 ,M e2 = M2 - 3ga ·(z2+ a) + 4ga2 + 2gz2 (z2 / 2) = 0,M2 = 3ga·(z2+a)- 4ga2- gz2 2.Из полученных выражений для Q и М видно, что поперечнаясила в поперечном сечении балкичисленноравнаалгебраической сумме проекций внешних сил на ось y, аизгибающий момент – алгебраической сумме моментов этихже сил относительно оси x, проходящей через центртяжести сечения:Ост.ч.Q =  Fi y,Ост.ч.M =  Mi x.(14)Поэтому можно, как и ранее (см.

прием, описанный в п. 2.2 и 2.3),для оставшейся части балки с приложенной к ней внешней нагрузкойи с условной заделкой в проведенных сечениях составитьвыражения поперечных сил и изгибающих моментов на каждомучастке, используя формулы (14) и правила знаков для Q и М,приведенные ранее.Построим эпюры Q и М.На участке I поперечная сила постоянна (не зависит от z) ипоэтому эпюра Q –прямая линия, параллельная оси балки (рис.

9, г).Изгибающий момент изменяется по линейной зависимости(зависитот z в первой степени). Следовательно, чтобы построить эпюру М,21достаточно вычислить значения М1 в начале и конце участка, т.е. приz1 = 0, М1 = 0; при z1 = а, М1 = 3 ga2 и, отложив полученныезначения вниз от базисной линии, соединим ординаты прямойлинией (рис. 9, д).На участке II поперечная сила изменяется по линейнойзависимости. Найдем значения Q2 :при z2 = 0, Q2 = 3ga; при z2 = 2a,Q2 = - ga и по этим значениям построим эпюру Q (рис. 9, г).Изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости(зависит от z во второй степени). Для построения эпюры М следуетопределить значения М2 в трех сечениях: в начале и конце участка, атакже в сечение, где Q = 0, так как в этом сечении изгибающиймомент достигает экстремального значения (максимума илиминимума).Последнееутверждениеследуетизпервойдифференциальной зависимости (13).Вычислим значения М2:при z2 = 0, М2 = - ga ;при z2 = 2а, М2 = ga .Определим положение сечения, в котором Q = 0.

Для этоговыражение поперечной силы на участке II приравняем нулю:Q2 = 3gа2 – 2gz2 = 0,отсюда z2 = 1,5 а.Значение изгибающего момента в этом сечении:М2 = 3ga(1,5a + а)- 4 ga2 - g(1,5а)2 = 1,25 ga2.Отложим вычисленные значения М2 и через них проведемпараболу с вершиной в сечении z2 = 1,5a (здесь касательная кэпюре должна быть параллельна оси балки) – см. рис.

9, д.Замечание: при отсутствии сечения, в котором Q = 0 иМ = М эксрем. , определяют значение момента в сечении посерединеучастка.22Пример 6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающихмоментов для двухопорной балки, изображенной на рис. 10, а.Р е ш е н и е. Сначала надо определить опорные реакции – ихнаправления и значения. Предположим, что вертикальные опорныереакции VA и VB направлены вверх. Горизонтальная реакция HA вшарнирно-неподвижной опоре равна нулю, так как внешняя нагрузкаперпендикулярна продольной оси балки, и поэтому на рис.10,aреакция HA не показана. Реакции VA и VB , как правило, следуетопределять из уравнений моментов, составленных относительно22опор (точек A и B), так как в этом случае реакции можно найтинезависимо друг от друга: MA = 0,(g·2a) a +2ga2 – VB 4a – ga·5a = 0; MB = 0,VA 4a – (g·2a)·3a + 2ga2 - ga·a = 0,отсюда VA = 1,25 ga и VB = - 0,25 ga .Рис.