Построение эпюр внутренних усилий

Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский государственный университет путейсообщения»________________________________________________________________Кафедрастроительной механикиБ.П. ДЕРЖАВИН, А.М. ЛУКЬЯНОВ, И.И. МОНАХОВПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРВНУТРЕННИХ УСИЛИЙУчебное пособиеМосква - 2013Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Московский государственный университет путейсообщения»-----------------------------------------------------------------------------------------------------Кафедрастроительной механикиБ.П. Державин, А.М.

Лукьянов, И.И. МонаховПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРВНУТРЕННИХ УСИЛИЙРекомендовано редакционно-издательским советомуниверситета в качестве учебного пособия для студентов всехспециальностей.М О С К В А - 2013УДК 539.3/.6: 624.071.3Д - 76Державин Б.П., Лукьянов А.М., Монахов И.И. Построение эпюрвнутренних усилий: Учебное пособие – 4-е изд. испр. - М.: МИИТ,2013, – 44 с.: ил.Излагаются основные теоретические сведения из курса«Сопротивление материалов» - определение внутренних усилий впоперечных сечениях стержня. Приводятся характерные примеры сподробными решениями.

Учебное пособие следует рассматриватькак дополнение к лекциям и к указанной учебной литературе.Для студентов всех специальностей, изучающих сопротивлениематериалов.Рецензенты: профессор, доктор технических наук, С.Б. Косицын(МИИТ); кандидат технических наук, доцент В.И.Иванов-Дятлов(МАДИ). МИИТ, 20131. Метод сеченийПри действии на тело внешних сил оно деформируется.

Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; врезультате этого возникают дополнительные силы взаимодействиямежду частицами. Эти силы взаимодействия в деформированномтеле будем называть внутренними силами (усилиями). Прирешении задач сопротивления материалов необходимо уметьопределять значение и направление внутренних усилий (например, взадачах, где оценивается прочность элементов конструкций). Для ихопределения применяется метод сечений.Рассмотрим тело, имеющее форму бруса и находящееся вравновесии под действием системы внешнихсил Fi . Пустьтребуется определить внутренние усилия в произвольном сеченииа–а этого бруса (рис.1, a). Мысленно рассечем его по сечению а–ана две части I и II и удалим одну из частей, например часть I(обычно оставляется та часть, для которой получается простоерешение или к которой приложено меньше внешних сил).Оставшаяся часть II, в общем случае, не будет находиться вравновесии. Для сохранения этой части бруса в равновесиинеобходимо к ней приложить усилия, распределенные по сечению аа (рис.1, б).

Эти усилия и есть внутренние усилия в сечении а-абруса. Они заменяют собой действие отброшенной части I (вместе сприложенными к ней внешними силами) на оставшуюся часть II.Внутренние усилия, согласно закону о равенстве дейст-вия ипротиводействия, которые приложены к части II в сечении а-аравны и противоположны по направлению внутренним усилиям,действующим на часть I в том же сечении.В соответствии с правилами статики приведем системувнутренних усилий, действующих на часть II в сечении а–а, кглавному вектору R и главному моменту M , приложенным вцентре тяжести этого сечения. Выберем систему координат x, y, z сначалом в том же центре тяжести (точка О).

Ось z направим повнешней нормали к сечению, а оси x, y расположим в плоскостисечения (рис.1, в).Разложим главный вектор и главный момент на составляющиепо осям x, y, z . В результате получим шесть составляющих,которые принято называть внутренними силовыми факторамиили внутренними усилиями.3Составляющие главного вектора называются:усилие вдоль оси z - продольной силой N;усилия вдоль осей x и y - поперечными силами Qx и Qy,соответственно (см. рис.

1, в).Составляющие главного момента называются:момент относительно оси z - крутящим моментом Мz ;моменты относительно осей x и y - изгибающими моментамиМx и Мy соответственно (см. рис. 1,в).Таким образом, после приложения в сечении а - а к части IIусилий, заменяющих собой действие отброшенной части I(вобщем случае, шести силовых факторов), оставшаяся часть II,которая нагружена и приложенными к ней внешними силами,находится в равновесии.

Поэтому для части II можно записать шестьуравнений равновесия:Ост.ч.Ост.ч.ΣХ=0Σ Y= 0Ост.ч.Σ Мx = 0Ост.ч.Σ My = 0Ост.ч.Σ Z= 0Ост.ч.Σ Mz = 0(1)Напомнимосновныеправиласоставленияуравненийравновесия:1.Проекция силы на ось равна произведению силы на косинусугла между направлением силы и направлением положительной оси.2. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равнанулю.3. Момент силы относительно оси равен произведению проекцииэтой силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо силы.4.

Момент силы относительно оси равен нулю:а) если сила параллельна оси;б) если линия действия силы пересекает ось.Изприведенныхпервыхтрехуравненийравновесиясоответственно находим Q x , Q y и N, а из трех последних уравнений–Мx,Мy и Мz.Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решенияуравнений равновесия, указывает на правильность (знак плюс)4Рис. 1.

Определение внутренних усилий методом сеченийили неправильность (знак минус) выбранных направленийвнутренних усилий.Поступая аналогично, можно определить внутренние усилия всечении а – а из рассмотрения равновесия части I.Таким образом, метод сечений дает возможность определить всечении направление и значение равнодействующих внутреннихусилий (или их компонент).

Закон же распределения внутреннихусилий по сечению остается неизвестным. Для решения этоговопроса необходимо знать, как деформируется данный брус поддействием внешних сил, приложенных к нему.Применение метода сечения для определения значений инаправлений внутренних усилий рассмотрим на следующемпримере.5Пример 1. Для пространственного стержня рис. 2, а определитьзначения и направления внутренних усилий в сечениях I - I и II – II.Рис. 2. К примеру 1.Р е ш е н и е .

Для определения значений и направленийвнутренних усилий в сечениях I - I и II – II применим метод сечений.С е ч е н и е I – I. Рассечем пространственный стержень всечении I – I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня АВ(рис. 2, б). Одну часть стержня, например, содержащую заделку,отбросим, и действие ее на оставшуюся часть заменим шестьювнутренними усилиями N, Q x , Q y , M z , M x , M y , приложенными всечении I - I .Заметим, что в стержне, закрепленном при помощи жесткойзаделки, целесообразно оставлять ту часть стержня, которая не6закреплена, так как тогда не требуется определять опорные реакции.Далее выберем прямоугольную систему осей x, y, z, совместивначало координат с центром тяжести сечения I - I .

Ось z направимвдоль оси рассеченного стержня АВ (в сторону внешней нормалисечения), а оси x, y, расположим в плоскости поперечного сечения,как показано на рис. 2 ,б. Такой выбор осей является обязательным.Внутренние усилия N, Q x, Q y направим вдоль соответствующихположительных осей x, y, z, внутренние усилия Мx, Мy, Мz - по ходучасовой стрелки при взгляде на оставшуюся часть со стороныположительного направления тех же осей. Такие направлениявнутренних силовых факторов будем считать положительными.Часть стержня, нагруженная внешними силами 2F,5F иусилиями, приложенными в сечении I - I , находятся в равновесии(рис.2. б). Для этой части стержня составим шесть уравненийравновесия, из решения которых определим внутренние усилия всечении I – I:Ост.ч.Σ Х = 0, Q x + 2F = 0, Q x = -2F;Ост. ч.Ост.чΣY= 0 , Q y = 0; ΣZ = 0,N+5F = 0, N= -5F;Ост.

ч.ΣМx = 0, Mx - 5Fa=0, M x = 5Fa;Ост.ч.Σ My = 0, My - 2Fa+5Fa =0,My= - 3Fa;Ост. ч.Σ Mz = 0, M z = 0.Таким образом, в сечении I - I действуют четыре внутреннихусилия (Qy =0 и Mz = 0), причем три из них – Q x, N и Mу внаправлении, противоположном принятому.С е ч е н и е II – II .

Рассечем стержень в сечении II – IIплоскостью, перпендикулярной оси стержня ВС Часть стержня,содержащую жесткое закрепление, отбросим. Выберем системукоординат x, y, z и действие отброшенной части на оставшуюсязаменим шестью внутренними усилиями, как показано на рис. 2, в.Эта часть стержня находится в равновесии; составим для нееуравнения равновесия:7Ост.ч.Ост.чΣ Х = 0, Q x - 5F = 0, Q x = 5F;Ост. ч.ΣY = 0 , Qy = 0;Σ Z = 0, N +2F = 0, N = - 2 F ;Ост.

ч.Σ Мx = 0 , M x = 0 ; ΣMy = 0, M y +5 Fa = 0, M y = -5Fa;Ост.ч.ΣMz = 0, M z - 5Fa = 0. M z = 5Fa;Следовательно, в сечении II – II возникает четыре внутреннихусилия (Q y = 0, M Х = 0), причем два из них – N и My - направленыв обратную сторону (рис.2 , в ).Как видно из рассмотренного примера, внутренние усилия,возникающие в поперечных сечениях стержня, меняются вдоль егопродольной оси z. Для более наглядного представления характераизменения внутренних усилий вдоль оси z строят их графики.Графики изменения внутренних усилий вдоль продольнойоси стержня называются э п ю р а м и.Например, эпюрой продольных сил, эпюрой изгибающихмоментов и т.п.2.Построение эпюр внутренних усилий2.1. Общие замечанияЭпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобыопределить опасные сечения, т.е.