Ф.Ю. Попеленский - Программа и задачи к экзамену по курсу ЕНС - Математические основы современной физики

Программа и задачи к экзамену по курсу ЕНС«Математические основы современной физики»Лектор — Фёдор Юрьевич ПопеленскийVIII семестр, 2006 г.В природе существует два списка задач: один есть у лектора, второй — тот, что приведён здесь. Этот списокболее полный, и здесь меньше опечаток.Последняя компиляция: 14 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Программа экзамена1.

Основные понятия квантовой механики: наблюдаемые, состояния, чистые состояния, среднее значениенаблюдаемой.2. Соотношение неопределённости Гейзенберга. Амплитуда вероятности перехода.3. Оператор эволюции квантовомеханической системы. Представления Шрёдингера и Гейзенберга.4. Квантовый гармонический осциллятор.

Собственные значения оператора энергии, собственные состояния,пространство Фока и т. п. Координатное представление.5. Группа Лоренца, касательное пространство в единице группы Лоренца (то есть её алгебра Ли). Матричнаяэкспонента.6. Классические поля. Лагранжев формализм, уравнение Эйлера – Лагранжа. Теорема Нётер.7. Вещественное скалярное поле. Лагранжиан. Уравнение Клейна – Гордона – Фока. Его решение.8. Тензоры энергии-импульса, момента-импульса для вещественного скалярного поля. Выражение через полевую функцию и функции a± (k).9. Тензор момента-импульса вещественного скалярного поля.10.

Комплексное скалярное поле. Лагранжиан. Уравнение. Решение.∗11. Выражения заряда комплексного скалярного поля через полевую функцию и через функции a± (k) и a± (k).12. Алгебра Клиффорда. Определение, основные примеры.13. Связь групп Pinp,q и Spinp,q с группами Op,q и SOp,q соответственно. Пример пути в Pin1,3 , соединяющего ±1.14. Разложение представления группы Pin1,3 в пространстве Cl1,3 в сумму четырёх подпредставлений. Доказательство того, что размерности этих представлений равны 4.15. Спинорное представление, спинорное поле, уравнение Дирака, сопряжённый спинор, лагранжиан.16.

Решение уравнения Дирака.17. Выражение заряда и тензора энергии-импульса спинорного поля через полевую функцию.18. Квантование полей, квантование свободных полей. Уравнение эволюции (движения) вещественного скалярного поля.19. Фоковское представление для вещественного скалярного поля.1Задачи1. (∗) Пусть ω — состояние. Тогда существует линейный положительный самосопряжённый оператор ρω ,такой что tr ρω = 1 и для всех A ∈ a имеем hAiω = tr(ρω A).2. Доказать, что tr A не зависит от выбора базиса.3. Доказать, что если ϕ : M 4 → M 4 — диффеоморфизм, сохраняющий метрику, то ϕ лежит в группе Пуанкаре.4. Доказать, что если ρsω — проектор при t = t0 , то ρsω (t) — проектор при всех t.5. В пространстве всех матриц M4 (R) ∼= R16 группа Лоренца является подмногообразием.s6. Проверить, верно ли, что если ρω (t) — проектор на одномерное направление (то есть чистое состояние),то ρsω (t) является чистым состоянием для всех t.7.

Может ли самосопряжённый оператор не иметь собственных векторов?8. Найти матрицы P , H, Q, a+ , a− в базисе {ψi } (i ∈ N).9. Найти все чистые состояния, в которых для данной наблюдаемой A выполняется равенство ∆2ψ A = 0.10. Проверить, что квантовомеханический оператор эволюции унитарен.dψ = − hi Hψ.11. Получить уравнение dx S12. Доказать равенство A ψ(t)S = A(t)H ψH .13. Показать, что формулаZ1iψ(p) = √ψ(q)e− ~ pq dq2π~задаёт изоморфизм между координатным и импульсным представлениями коммутационных соотношений.14. Полиномы Эрмита определяются формулойψ(q)Pn (x) =[ n2 ]X(−1)j cn jxn−2j ,j=0cn j =n!.2j j!(n − 2j)!Доказать:dа) x − dxPn (x) = Pn+1 (x);√ б) ψn (x) = Pn x 2ω exp − ω2 x2 ;в) полноту системы функций ψn (x) в L2 (R).15.

Вывести уравнение Эйлера – Лагранжа для действияZS[u] = L u(x), ∂µ u(x) d4 x.16. Проверить, что если для однопараметрической группы преобразований выполняется равенство DL = ∂µ f µ ,то действие S[u] инвариантно.17. Проверить, что уравнение Клейна – Гордона – Фока инвариантно относительно группы Пуанкаре.18. Доказать равенствоZ∂d3 xxs T 00 = P s∂x0для вещественного скалярного поля.∗19. Доказать для комплексного скалярного поля соотношение a± (k) = (a∗ )± (k).20. Вывести для компонент T 0µ тензора энергии-импульса вещественного скалярного поля выражение черезполевую функцию.21. Вывести для компонент T 0µ тензора энергии-импульса комплексного скалярного поля выражение черезполевую функцию.22. Вывести для заряда комплексного скалярного поля выражение через полевую функцию.23.

Для вектора энергии-импульса вещественного скалярного поля получить выражение через a± (k).∗24. Для вектора энергии-импульса комплексного скалярного поля получить выражение через a± (k) и a± (k).∗25. Для заряда комплексного скалярного поля получить выражение через a± (k) и a± (k).∗±26. Для вектора энергии-импульса спинорного поля получить выражение через a±r (k) и ar (k).∗±27. Для заряда спинорного поля получить выражение через a±r (k) и ar (k).28. Найти размерность алгебры Клиффорда как векторного пространства над R.229.30.31.32.Доказать, что Cl1,1 = Mat(2, R).Доказать, что Cl0,2 = Mat(2, R).Доказать равенство v1 v2 + v2 v1 = −2 hv1 , v2 i.Доказать, что отображение α : Clp,q → Clp,q , заданное на образующих формулойα(ek ) = −ek ,α(1) = 1,корректно продолжается до гомоморфизма алгебры Клиффорда в себя; доказать, что продолжение однозначно; доказать, что это продолжение — изоморфизм.33.

В пространстве R2 с нормой x2 − y 2 (то есть в пространстве R1,1 ) задано линейное преобразование с матрицейch χ sh χ.sh χ ch χПредставить его в виде композиции двух отражений.(mod 2)34. Доказать, что Clp,q = Cl0p,q ⊕ Cl1p,q , причём Clip,q Cljp,q ⊂ Cli+j(то есть по верхнему индексу имеетсяp,qZ2 -градуировка).35. В доказательстве того, что ядро гомоморфизма A : Pinp,q → Op,q совпадает с ±1, использовалось представление элемента, лежащего в ядре, в виде суммы чётного и нечётного элементов: x = x0 + x1 . Доказать,что x1 = 0.36. Доказать, что fk2 = fk , fj fk = 0 при j 6= k и f1 + f2 + f3 + f4 = 1.37. Проверить, что в Wi нет меньшего инвариантного подпространства (то есть Wi — неприводимый модуль).38. Проверить, что представления в Wi (i = 1, .

. . , 4) эквивалентны.39. Найти матрицы операторов Rei в базисе пространства W1 , состоящем из векторов f1 , e0 f1 , e2 f1 , e0 e2 f1 .40. Доказать, что если известно, что существует представление R группы Pin1,3 , а операторы Rek (k = 0, . . . , 3)известны, то все операторы представления однозначно восстанавливаются.41. Проверить, что лагранжиан спинорного поля инвариантен относительно группы Пуанкаре.42.

Выразить тензор момента – импульса спинорного поля через полевую функцию. Указать в полученномвыражении орбитальную и спинорную части.∗43. Вывести из уравнения Дирака уравнения на χ± (k) и χ± (k).44. Показать, что условия нормировки∗∓v±s (k)vr (k) = δsr ,vs± (k)vr∓ (−k) = 0однозначно задают базис пространства решений уравнений Дирака (после преобразования Фурье).45. Получить условие нормировки решений, сопряжённых по Дираку:∗∗∓v±s (k)v r (k) = ±3mδsr .k0.