Некоторые решения коллоквиума

Так завтра коллоквиум будет послелекции??? Кто решал задачи! Язаметил, что они из какого - тосборника, может уже есть готовыерешения???ААААЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ!!!!!!!!!!Господа, давайте резко заботаем задачки, сдадим коллок и будем такие ​клевыефизики​? Да, понятно, что кванты халва и все их всегда сдают, но колком ведь круче же.Коллоквиум будет в понедельник в 18 часов.Важно, что кроме собственно решенных задачек с нас потребуют их защитить. Тоесть, было бы круто, если бы в решениях задач расписывался каждый переход (или хотябы давался список теорем/утверждений/etc, использованных при решении)Господа, где пройдет коллоквиум, подскажитеплиз :)​В шестьсот-какой-то =) ​В 526 б.

хм, то есть у нас нафаке? о_О не на физфаке? круто. ​на физфаке всё оченьпроблемно со свободными аудиториями, а у нас как раз эконом уехал..Ссылка на лекции(Вопрос: есть ли конспекты лекции 2011, там же вроде они нужны.. у мя как бы естьсканер, если у кого нить есть, то можно отксканить и выложить где-нить...?!?!!?!?!?!)Если кто подскажет, как копировать формулки из пдф-ки сюда - будет няшей.Пара слов о том, как набирать здесь формулы: Insert - formula - и дальше пишемTeX’ом, с тем лишь отличием, что после тaеховских команд типа \psi, \frac нужно ставитьпробел, чтобы эта команда преобразовалась в то, что нужно. Фигурные скобочки ненужны. Чтобы перестать набирать над/подстрочные символы надо нажать “вправо”.Крышечки над буквами ставятся как \hat. Ĥ , деление - \fracab, корень - \sqrt √x ,надстрочные индексы - ^, подстрочные - _ x3 2 .

Буковки - \psi, \phi, \Delta, \partial ψ , ϕ, Δ, ∂большими,​оказывается нужноЧтобы формулы были нормальными и ​переключить размер шрифта на бОльший ​до н​ ачала набора оной формулы. Жаль, что явыяснил это только под конец... С другой стороны, есть такое ощущение, чторазноразмерные формулы приводят к нестабильной работе в Опере.Так, я всё понял. Опера - говно. Не используйте Оперу для гуглодоков, товарищи.Коллоквиум 2011В одномерном случае (для электрона. Но это же не принципиально, правда?)волновая функция имеет вид ψ (x, t) = Aei(kx − ωt) , где A - некоторая константа, k - грубоговоря, скорость распространения волны, соответствующей частице (k = p/h), а w частота ​(частота чего? волны вероятности, вроде).

(i spin all)Соответственно, в трёхмерном случае тупо заменяем x на радиус-вектор r.Получаем ψ (r, t) = Aei(kr − ωt) , где под kr понимается скалярное произведение этихвекторов.Нам хотелось бы, чтобы вероятность обнаружить частицу в кубике (то есть интегралпо объёму кубика квадрата модуля волновой функции) была бы равна единице.

Номодуль волновой функции всюду равен A (ибо k,r,w,t - все вещественны), следовательно,если A = 1 3 , то всё что надо выполняется.√LНо возникает резонный вопрос: какого хрена вероятность обнаружить частицу ​хотьгде-нибудь​оказывается равна бесконечности, какую бы константу A мы ни подбирали??Мой вариант ответа: вне этого пространства ( L3 ) вероятность обнаружить частицусчитаем равной нулю. Что-то типа поетнциальной ямы, только похитрее, ибораспределение получается равномерно размазанным по всему объёму.

И на границахестественно должно происходить сшивание с 0, но эти эффекты мы тоже считаемпренебрежимо малыми.Ответ (видимо) кроется в том, что при фиксированном значении импульса (аследовательно, и величины k), мы не можем ничего сказать о местоположении частицы. Аесли же импульс задан неточно, то внезапно константа A начинает зависеть от этогоsin yсамого импульса A=A(k), и получается что-то типа ψ (x, t) = y A0 ei(kx − ωt) , гдеy = 21 (Δk − v 0 t) , Δk -разброс величины k (которая, как мы уже выяснили, должна бытьопределена неточно). И тогда вроде как всё более-менее нормально получается.

Хотявсё равно как-то стрёмно. Как и все кванты.∂p̂x =− ih ∂x. p̂ =− ih∇− [A, B ] = AB − BA .x = x.Не забываем о том, что всё это - операторы. (kormi)1.2.1∂ψ[x, px ]ψ = (xpx − px x)ψ = − ih(x ∂x −∂(xψ)∂x )∂ψ∂ψ= − ih(x ∂x − x ∂x − ψ ∂x∂x ) == (ih)ψ ⇒ [x, px ] = ih1.2.2∂ψ∂xψ∂ψ∂ψ[x, pˆ z ]ψ = (xpz − p z x)ψ = − ih(x ∂z − ∂z x) = ih(x ∂z − x ∂z − ψ ∂x∂z ) =ˆ=− ih(ψ ∂x∂z ) = − ih · 0 = 0 ⇒ [x, pz ] = 0p2Гамильтониан H (p, r, t) = K(p, t) + U (r, t) = 2 m + U (r, t)2Оператор Гамильтона ( p → p̂ ): Ĥ = Kˆ + Û = − h Δ + Û .2m(опять-таки, не стоит забывать, что это ​оператор ​и применяется он к волновойфункции)Внимание вопрос:​что есть оператор Û ? Как он действует на волновую функцию?Просто умножает её на потенциальную энергию U , т.е. Û ψ = U ψ ?a) В случае свободной частицы U =0.b) одномерное движениеU (x, t) = ψ * k x2 /2H (p, x, t) =22∂pˆ = p̂x =− ih ∂x∂ , pˆ =− h2 ∂x2p = px ,px 22m+ ψ * k x2 /22Û = kxˆ /2Ĥ =−h2 ∂ 22m ∂x2(Не забываем, что x̂ - тоже оператор.

x̂ψ = xψ ).c) см. выше.2+ kˆx /2p2H (p, r) = K(p) + U (r) = 2 m + U (r)2Ĥ = Kˆ + Û = − h Δ + Û .2mЗдесь неправильно, энергия должна быть с плюсом. ​Почему? Не обязательно же. Вконце концов мы можем отнормровать U (ибо она определена с точностью до константы),так чтобы энергия была положительна. Или тут что-то другое имеется в виду?ˆ x]ψ = (Hˆ xˆ − xH)ψ[H,ˆ ˆ = (−a)=−h22m (Δ(xψ)− xΔψ) =−h22m (0∂ψh22m Δ(xψ)h2+ Û xψ − (− x 2mΔψ + xUˆ ψ)) =+ 2 ∂x + xΔψ − xΔψ) = −h2 ∂m ∂x ψ=− ihˆ x , чтд.mpb) примерно столь же очевидноˆ p̂x ]ψ = (Hpˆ ˆ x − p̂x H)ψˆ =− h2 Δ(− ih ∂ψ ) − Û ih ∂ψ − ih ∂ h2 Δψ +[H,2m∂x∂x∂x 2m33∂ψ∂ψ∂ ˆ∂∂+ ih ∂xU ψ = ih2m Δ ∂x − ih2m ∂xΔψ − Û ih ∂x + Û ih ∂xψ + ψ ih ∂Û∂x ==3ih3 ∂ ψ(2m ∂x3−∂3ψ)∂x3∂Û∂Ûˆ+ ψ ih ∂Û∂x = ψ ih ∂x ⇒ [H, p̂x ] = ih ∂x, чтд.5.

Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна а = 4*10^-10 м. Найдите:а) с помощью соотношения неопределенностей минимально возможнуюэнергию;б) энергетический спектр электрона;в) число энергетических уровней в интервале (E;E + dE).a) ​Соотношение неопределённостей Δpx · Δx ≥ 2h . Так как у нас Δx ≤ a , то Δpx ≥hдальше всё как-то не очень очевидно. Можно ли сказать, что p0 = min max ||px || = 2a,апоэтому E = K + U ≥ K ≥p0 22m=h8a*a*mh2a.А? Или это совсем стрёмно? И чему в таком случаеравна масса электрона? (нам же нужно в качестве ответа дать какое-то число,правильно?)Думаю, тут надо так.

ΔpΔx = h/2 , Δx = a, Δp = p Тогда ap = h/2, p = h/2a Далее,E=p22m=h28ma2Ну вот и получили примерно. Там вроде ещё π возникает где-то ​(откудаинфа? инфа от друга, который физик. Ок, верю.)​но по крайней мере оценили. ​Ну по сути,это то же самое, что написано чуток выше. И ответ тот же, хехе. Тем лучше!кг — масса электрона.​Дж​​·​cE = 06,037396978021978 * 10^-17 Дж(Вики)b)​Какие-то кривые лекции, поэтому я просто перепишу своими словами, ладно?По-хорошему, что надо сделать? Взять уравнение Шрёдингера Ĥ ψ = E ψ . Найти егорешения.

(функции ψ и соответствующие величины E . E имеет смысл энергии).Посмотреть, чтобы выполнялись граничные условия. Искомая волновая функция - естьвзвешенная комбинация полученных собственных функций.Итак,Ĥ ψ = 0 ⇒−Положим k 2 =h2 ∂ 22m ∂x2ψ = E ψ ⇒ {ОДУ} ⇒ ψ = A1 eikx + A2 e−ikx .Тогда дифур примет вид ψ ′′ = − k 2 ψ Решением этого диффура2mEh2является простая функция ψ = C 1 sin(kx) + C 2 cos(kx) или просто со одна функция сосмещением периода ψ = A sin(k(x − ϕ)) Так, теперь надо записать граничные условия напотенциальную яму.

Координату левого ​кончика-конеца ​будем считать равным 0, правогоa. На границах ямы функция должна быть непрерывной и обращаться в 0. Поэтомуsin(k(a − ϕ)) = 0 и sin(− k ϕ) = 0 Ну и, например, взяв ϕ = a получим, чтоk =πna ,k2 =π 2 n2a2или E =h2 π 2 n22ma2Ну вроде как-то так, мой ответ отличается слегка от ответаниже на смещение похоже.Потом мы почему-то говорим, что “в силу симметричности ямы, ||A1 || = ||A2 || ”. Это неочень очевидно, но допустим, что это так. Будем даже считать, что A1 =− A2 , хотя этотоже неочевидно.

Тогда ψ (x) = cos k x или ψ (x) = sin k x . Пусть, для определённостикосинус. Тогда из граничных условий ψ (± a/2) = cos(ka/2) = 0 . Отсюдаk a/2 = π /2 + π n ⇒ k = 2 * π (n + 1/2)/a , где n может принимать всевозможныецелочисленные значения. Отсюда соответствующие собственные значения уравненияШрёддингера равны​ E n=−2h2 ∂ ψ2m ∂x2 /ψ=h22mk2 =h2 2*π(n+1/2) 2) ​Вроде как это и есть2m (aискомый энергетический спектр.Уважаемый, объясните! Почему “для определенности” косинус?В лекциях сказано, что в силу симметричности модули равны, а вот знаки могут бытькак одинаковыми, так и противоположными. Соответственно, может получиться либосинус, либо косинус. Наверное, стоит посчитать для обоих случаев? Не бейте меня,есличо, я ничего в этой фигне не понимаю.Надо оба рассматривать.