tables (Численные методы. Ионкин (2013) (github clone))
Описание файла
Файл "tables" внутри архива находится в папке "Численные методы. Ионкин (2013) (github clone)". PDF-файл из архива "Численные методы. Ионкин (2013) (github clone)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "численные методы" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Приложение A. Итерационные методы решениясистем линейных алгебраических уравненийНазваниеКанонический видD x n 1 x n Ax n f ,Метод Якоби a11 0D 00a 220 0 0 a mm Условия сходимостив среднеквадратичнойнормеМЯ сходится, есливыполняется любоеиз условий:1A A* 0, B B * 0, : 0 1,1 1 B AB v n 1 v n1A A 0,2 D A2 A A* 0, B B * 0, 1 , 2 : 0 1 2 ,Скорость сходимости*2 A A* 0, aij ma 1 B A 2 B , ijj 1, j iD R1 xМетод ЗейделяМетод простойитерации(методрелаксации)Попеременнотреугольныйитерационныйметод a11 0D 0x n 1 x nn 1nn* x Ax f ,0a 2200 0 a12 0 0 0, R1 a mm 0 0 a1m a2m 0 n 1 xn n 1 a11 2R1 a 21 a m10a 222am2 a110 2 0 ,R 0 2 a mm 02 a12a 2220a1m a2m a mm 2 B1 k m1 k m1 1 , v n 1 v n21A A* 0, n 1 0, 0,21 0 , 1 , 1 221 3A A 0, B E , 1 min kA , 2 max kA ,1k m Ax n f , vnBB*AT A 0, maxkA ,0 Ax n f , 0E R1 E R2 xv n 1A A 0B42A A* 0, , 0 : A E , R2* R2 22, 2 , , 41 2 1 A4v n 1B, 1 1 3 vnB, B E R1 E R2 Приложение B.
Интерполирование функцийНазвание методаИнтерполяционныйполином ЛагранжаИнтерполяционныйполином НьютонаОписание методаk 0i 0 x ( x xk ) x k n 1N n x f x0 x x0 f x0 , x1 ... x xi f x0 , x1 ,..., x n i 0m a k 1Интерполяционныйполином ЭрмитаnnLn x c k x f x k , x x xi , c k x Погрешность формулыH n x c k .i x fi xk , где ck.i x — полином n-йk 0 i0степени, коэффициенты которого находятся изусловия:H ni x f i x k , k 0, n, i 1, a k 1 n 1 fn 1! x , a, bf x C n 1 a, b x * a, b : rn x * *n 1Так как интерполяционный полином Ньютона — тот жеполином Лагранжа, только записанный в другой форме,его погрешность та же, что и у полинома Лагранжа.f n 1 x x0 a0 x x1 a1 ...x xn an ,f x H n x n 1!a 0 a1 ...
a n n 1Приложение C. Численное решение нелинейных уравнений и систем уравненийНазвание методаОписание методаx n 1 x nМетод простойитерацииМетод Ньютона f x n 0, 0,x n 1 S x , S x x f x .Сходимость методаДля сходимости метода необходимо, чтобы2sup* 1 f x 1, т.е. 0 M , где M 1 sup* f x .1xU ( x )xU ( x )aaf xn , n 0,1,...f x n 1Пусть M 0 :2x n 1 x n f xn , n 0,1,...f x01M x0 x*MСходится быстрее метода простой итерации, но медленнее методаНьютона.x n 1 x n x n x n 1f xnnn 1f x f xx n 1 x n f x f x M x U a x* , x 0 x* 1 . f x 2 MТогда метод Ньютона сходится и имеет место оценка x n x* Модифицированныйметод НьютонаМетод секущих 2n.Приложение D.
Разностные схемы решения задач математической физикиНазвание методаОписание методаy in 1 y inЯвная разностнаясхемаСходимость численногорешения к точномуПогрешность аппроксимацииyin1 2 y in y in1 f xi , t n ,h2xi , t n h , y 0n 1 1 t n1 , t n 1 , n 1yt,t1 n 1n 1 NНеобходимое и достаточноеусловие для сходимости иустойчивости:u in1 2u in u in1 u in 1 u in fin ,2hn2i O h in h2 12Сходится в норме С.y u 0 xi , xi h0iy in11 1 2 y in 1 y in11 y in f i n 1 Чисто неявная схемаСимметричнаяразностная схема(схема КранкаНикольсена)i 1,...N 1.y in1 2 y in y in1h2y in 1 y in 1 n 11 y xx ,i y xnx ,i f x i , t n 22 n 1n 1y 0 1 t n 1 , y N 2 t n 1 ,y xmx ,i Чисто неявная разностнаясхема абсолютно сходится(имеем абсолютнуюсходимость первого порядкапо и второго порядка поℎ).Сходится в норме С.Сходится в норме inu n 1 u in1 n 11 u xx ,i z xnx ,i i f xi , t n 22 O in 2 h21 N 1 2z L2C zk2 h k 1Со вторым порядком по τ ивторым – по h.t n 1 t , y 0i u 0 x i , x i hy in 1 y inРазностная схемас весамиu in11 2u in 1 u in11 u in 1 u in f i n 1 ,h2 in O h 2 in yn 10 yn 1xx , i 1 ynxx , i 1 t n1 , y Nn 1 2 t n 1 ,t n 1 t , y 0i u 0 xi , xi h R,0 1ni h in u xnx,1i 1 u xnx , i uin 1 uinНе изучалась in h2 1 h2 n;i f i t 1 f i t 1 ; i O 2 h 2nn2 1212 2 2 0,5;in fi t 1 ; i O 2 h 2n 2 * , 0,5; i O h 2 * Приложение E.
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравненийи систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Название методаМетод Рунге-КуттаОписание методаПогрешностьy n +1 - y n= σ 1 K 1 + σ 2 K 2 + ... + σ m K mτДвухэтапный метод Рунге-Кутта:y n 1 y n 1 f t n , y n m∑σi= 1 - условие аппроксимации f t n a , y n atf t n , y n i =1 n O 2 , если a 0,5,K 1 = f (t n , y n )K 2 = f (t n + a 2 τ , y n + b21 τK 1 )...K m = f (t n + a m τ , y n + bm1 τK m 1 + bm 2 τK m 1 + ...
+ bm ( m 1) τK mmМногошаговые разностные методыakk 0my n k bk f n k ,k 0a 0 0, bm 0, n m, m 1,...z n M 2 , M 0 и не зависит от 1)Для достижения порядка аппроксимацииp должны выполняться следующиеусловия:ma 0 a kk 1mb0 1 bkk 1m k a k lb 0, l 1,2,... p.l 1kk 0k.