В.Б. Алексеев - Электронный коспект лекций, страница 9

tOGDA PO TEOREME dM (n) NEOGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX. pO LEMME IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTXn1; n2; : : : TAKU@, ^TOdM (n) < dM (ni)(14)DLQ WSEH n < ni (i = 1; 2; : : : ):lEMMA. pUSTX n1; n2; : : : UDOWLETWORQ@T I ai SLOWO DLINYni NA KOTOROM DOSTIGAETSQ dM (ni) tOGDA PRI RABOTE M NA SLOWEai ODIN I TOT VE SLED W TO^KAH 1; 2; : : : ; ni NE MOVET POWTORQTXSQBOLEE ^EM RAZAdOKAZATELXSTWO pREDPOLOVIM, ^TO ai = abcd I M (ajbcd) =M (abjcd) = M (abcjd), GDE a, b, c | NE PUSTYE SLOWA. pRI RABOTE MNA SLOWE ai ESTX SLEDY DLINY dM (ni). pO KRAJNEJ MERE ODIN TAKOJ SLEDLIBO NE LEVIT WNUTRI b, LIBO NE LEVIT WNUTRI c. tOGDA PO LEMME ONSOHRANITSQ PRI RABOTE M LIBO NA SLOWE acd, LIBO NA SLOWE abd, NO\TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO dM (n) < dM (ni) DLQ WSEH n < ni.

lEMMADOKAZANA.iZ \TOJ LEMMY POLU^AEM, ^TO PRI RABOTE M NA SLOWE ai W TO^KAH 1; 2; : : : ; ni IMEETSQ NE MENEE n2i RAZNYH SLEDOW. tOGDA PO LEMMAMdM (ni) > c log2 n2i , I SUMMA DLIN \TIH RAZNYH SLEDOW, A ZNA^IT IWREMQ RABOTY MA[INY M , NE MENX[E, ^EM cni log2 n2i , GDE c - NEKOTORAQKONSTANTA. eSLI WYPOLNENO USLOWIE A) ILI B) IZ TEOREMY, TO POLU^AEM PROTIWORE^IE. sLEDOWATELXNO, OT PROTIWNOGO, POLU^AEM, ^TO PRIWYPOLNENII USLOWIQ A) ILI B) QZYK L REGULQREN. tEOREMA DOKAZANA.sLEDSTWIE. eSLI dM (n) = o(log n) ILI TM (n) = o(n log n) TOSU]ESTWUET MA[INA tX@RINGA AWTOMAT N RASPOZNA@]AQ TOT VEQZYK L DLQ KOTOROJ dN (n) = 1 TN (n) = n + 1.|,(|).:);),|( ),.|.2..,(,),,.44kLASSY P I NPoPREDELENIE.

pUSTX ALGORITM OSU]ESTWLQET PREOBRAZOWANIE ' :! B SLOW W ALFAWITE A W SLOWA W ALFAWITE B . tOGDA \TOT ALGORITM NAZYWAETSQ POLINOMIALXNYM (ILI IME@]IM POLINOMIALXNU@SLOVNOSTX), ESLI SU]ESTWUET POLINOM p(n) TAKOJ, ^TO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO n WREMQ RABOTY ALGORITMA NA L@BOM WHODNOM SLOWE DLINY nNE PREWOSHODIT p(n). (pRI \TOM MOVNO S^ITATX, ^TO WSE KO\FFICIENTYW p(n) NEOTRICATELXNY, TO ESTX p(n) WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ.)oPREDELENIE. zADA^EJ RASPOZNAWANIQ NAZYWAETSQ L@BOE OTOBRAVENIE ' : A ! f\DA", \NET"g.s L@BOJ ZADA^EJ RASPOZNAWANIQ ' MOVNO SWQZATX QZYK L' ASLEDU@]IM OBRAZOM: a 2 L' () ' : a ! \DA".

i OBRATNO, L@BOJ QZYKMOVNO RASSMATRIWATX KAK ZADA^U RASPOZNAWANIQ.oPREDELENIE. kLASS P |\TO KLASS WSEH QZYKOW (ZADA^ RASPOZNAWANIQ), DLQ KAVDOGO IZ KOTORYH SU]ESTWUET RASPOZNA@]IJ ALGORITMS POLINOMIALXNOJ SLOVNOSTX@.oPREDELENIE. bUDEMGOWORITX, ^TO QZYK L1 A POLINOMIALXNOSWODITSQ K QZYKU L2 B , ESLI SU]ESTWUET POLINOMIALXNYJ ALGORITM(NAPRIMER, MA[INA tX@RINGA) ' : A ! B , TAKOJ ^TO '(a) 2 L2 ()a 2 L1.tEOREMA. pUSTX L1 A L2 B L2 2 P I L1 POLINOMIALXNOSWODITSQ K L2 tOGDA L1 2 PdOKAZATELXSTWO. pO USLOWI@ SU]ESTWU@T MA[INY tX@RINGAM1 I M2 TAKIE, ^TO M1 POLINOMIALXNO SWODIT L1 K L2, A M2 S POLINOMIALXNOJ SLOVNOSTX@ RASPOZNAET L2.

rASSMOTRIM MA[INU tX@RINGAM = M2(M1). tOGDA M : A ! f\DA", \NET"g, PRI^EM DLQ L@BOGO SLOWAa 2 A IMEEMM (a) = \DA" () M2(M1(a)) = \DA" () M1(a) 2 L2 () a 2 L1;TO ESTX M RASPOZNAET QZYK L1. pO USLOWI@ WREMQ RABOTY (^ISLO [AGOW)MA[IN M1 I M2 NA WHODNYH SLOWAH DLINY n NE PREWOSHODIT p1 (n) Ip2(n), GDE p1; p2 | POLINOMY. tOGDA WREMQ RABOTY M NA SLOWE a DLINYn NE PREWOSHODIT p1 (n) + p2(jM1(a)j); GDE jM1(a)j | DLINA SLOWA M1(a).tAK KAK MA[INA tX@RINGA M1 NA KAVDOM [AGE MOVET UWELI^IWATXDLINU SLOWA NE BOLEE ^EM NA 1, TO jM1(a)j 6 n + p1(n) I WREMQ RABOTYM NA a NE PREWOSHODIT p1(n) + p2(n + p1(n)) = p3(n), GDE p3 | POLINOM. (zDESX S^ITAETSQ, ^TO WSE KO\FFICIENTY W p2 NEOTRICATELXNYI, SLEDOWATELXNO, p2 (n) | NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ).

tAKIM OBRAZOM MRASPOZNAET QZYK L1 S POLINOMIALXNOJ SLOVNOSTX@. tEOREMA DOKAZANA.A,.,.45|TA TEOREMA POZWOLQET POLU^ATX POLINOMIALXNYE ALGORITMY DLQODNIH ZADA^ RASPOZNAWANIQ IZ IME@]IHSQ POLINOMIALXNYH ALGORITMOW DLQ DRUGIH ZADA^ PROSTO PUTEM POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ ODNIHZADA^ K DRUGIM.k SOVALENI@, DLQ BOLX[INSTWA ZADA^, WOZNIKA@]IH NA PRAKTIKE,POKA NE IZWESTNO, WHODQT LI ONI W KLASS P , NO PO^TI WSE TAKIE ZADA^IOKAZYWA@TSQ W DRUGOM KLASSE, KOTORYJ OBOZNA^A@T NP .oPREDELENIE. qZYK L A (ZADA^A RASPOZNAWANIQ) WHODIT WKLASS NP , ESLI I TOLXKO ESLI SU]ESTWU@T ALFAWIT B , POLINOM q(n)I PREDIKAT Q(x; y) : A B ! fI, Lg TAKIE, ^TO Q(x; y) 2 P I DLQL@BOGO SLOWA a 2 A WYPOLNQETSQ:a 2 L () 9b 2 B (jbj 6 q(jaj)&Q(a; b))(ZDESX jaj I jbj |DLINA SLOW a I b).sLOWO b NAZYWA@T SERTIFIKATOM DLQ SLOWA a, A ALGORITM, RASPOZNA@]IJ PREDIKAT Q(a; b), | ALGORITMOM PROWERKI SERTIFIKATA.tAKIM OBRAZOM, ESLI a 2 L (W ZADA^E RASPOZNAWANIQ DLQ WHODA a OTWET\DA"), TO DOLVNO SU]ESTWOWATX BYSTROE PODTWERVDENIE DLQ \TOGO, TOESTX DOLVEN SU]ESTWOWATX PODTWERVDA@]IJ \TO SERTIFIKAT b (NEBOLX[OJ DLINY) I BYSTRYJ SPOSOB PODTWERDITX, ^TO \TO DEJSTWITELXNOPODHODQ]IJ SERTIFIKAT.

eSLI VE a 2= L, TO PO OPREDELENI@ W \TOMSLU^AE NI^EGO NE TREBUETSQ. tAKIM OBRAZOM, OTWETY \DA" I \NET"ZDESX NE SIMMETRI^NY. zAMETIM TAKVE, ^TO DLQ SLU^AQ a 2 L LI[XUTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE SERTIFIKATA b, NO NI^EGO NE GOWORITSQO SLOVNOSTI EGO NAHOVDENIQ (ESLI W B IMEETSQ r BUKW I jaj = n,TO jbj 6 q(n) I ^ISLO TAKIH SLOW b NE MENX[E, ^EM rq(n), TO ESTX\KSPONENCIALXNO ZAWISIT OT n).rASSMOTRIM PRIMERY QZYKOW IZ NP .klika. wHOD L@BOJ NEORIENTIROWANNYJ GRAF G I NATURALXNOE ^ISLO k.wOPROS sU]ESTWUET LI W GRAFE G KLIKA RAZMERA k, TO ESTX kWER[IN TAKIH, ^TO L@BAQ PARA IZ NIH SOEDINENA REBROM?bOLEE STROGO, MY DOLVNY ZADATX WHODNOJ ALFAWIT A I SPOSOBPREDSTAWLENIQ GRAFOW W \TOM ALFAWITE.

mOVNO, NAPRIMER, S^ITATX,^TO A = f0; 1; ; g I GRAF ZADAETSQ MATRICEJ SMEVNOSTI (IZ 0 I 1),KOTORAQ ZATEM WYPISYWAETSQ W ODNO SLOWO PODRQD PO STROKAM MATRICYS RAZDELITELEM ; MEVDU STROKAMI MATRICY.uTWERVDENIE. klika 2 NPdOKAZATELXSTWO w KA^ESTWE SERTIFIKATA b DLQ WHODA a BUDEMBRATX SPISOK IZ k WER[IN, SOSTAWLQ@]IH KLIKU.

o^EWIDNO, jbj 6 jaj.::..46pREDIKAT Q BUDET OBOZNA^ATX, ^TO DANNYE WER[INY ZADA@T KLIKU WDANNOM GRAFE I \TIH WER[IN ROWNO k. dLQ RASPOZNAWANIQ SPRAWEDLIWOSTI TAKOGO SWOJSTWA Q LEGKO POSTROITX ALGORITM SO SLOVNOSTX@, NEPREWOSHODQ]EJ POLINOMA OT SUMMARNOJ DLINY KODA GRAFA a I SERTIFIKATA b.gamilxtonow cikl (gc). wHOD L@BOJ NEORIENTIROWANNYJ GRAF G.wOPROS sU]ESTWUET LI W GRAFE G GAMILXTONOW CIKL, TO ESTXCIKL, PROHODQ]IJ ^EREZ KAVDU@ WER[INU ROWNO 1 RAZ?uTWERVDENIE.

gc 2 NPdOKAZATELXSTWO sERTIFIKATOM ZDESX QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX IZ WER[IN v1; v2; : : : ; vm . pREDIKAT Q WYRAVAET UTWERVDENIE,^TO W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI WSE WER[INY GRAFA WSTRE^A@TSQ ROWNO1 RAZ I W GRAFE ESTX REBRA (vi ; vi+1 ) DLQ WSEH i = 1; 2; : : : ; m ; 1, A TAKVEREBRO (vm; v1).

dLQ RASPOZNAWANIQ SPRAWEDLIWOSTI TAKOGO SWOJSTWA QLEGKO POSTROITX ALGORITM SO SLOVNOSTX@, NE PREWOSHODQ]EJ POLINOMAOT SUMMARNOJ DLINY KODA GRAFA a I SERTIFIKATA b.oPREDELENIE. kON_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ (knf) NAZYWAETSQ BULEWA FORMULA WIDA F (x1; : : : ; xm ) = D1&D2& : : : &Dk, GDEDLQ KAVDOGO j : Dj = tj;1 _ tj;2 _ : : : _ tj;nj I WSE tj;k | LIBO PEREMENNYE,LIBO OTRICANIQ PEREMENNYH. wYRAVENIQ Dj NAZYWA@T DIZ_@NKTAMI,A SOSTAWLQ@]IE IH tj;k LITERALAMI.wypolnimostx (wyp).

wHOD L@BAQ FORMULA F W WIDEknf.wOPROS SU]ESTWUET LI NABOR PEREMENNYH (1; : : : ; m ), NA KOTOROM F (1; : : : ; m ) = 1 (WYPOLNIMA LI F )?uTWERVDENIE. wyp 2 NPdOKAZATELXSTWO sERTIFIKATOM DLQ WHODA F QWLQETSQ NABOR(1; : : : ; m ), NA KOTOROM F (1; : : : ; m ) = 1. pREDIKAT Q WYRAVAETTOT FAKT, ^TO DANNAQ FORMULA F NA DANNOM NABORE (1; : : : ; m ) DEJSTWITELXNO PRINIMAET ZNA^ENIE 1. dLQ RASPOZNAWANIQ SPRAWEDLIWOSTITAKOGO SWOJSTWA Q LEGKO POSTROITX ALGORITM SO SLOVNOSTX@, NE PREWOSHODQ]EJ POLINOMA OT SUMMARNOJ DLINY KODA FORMULY F I KODANABORA (1; : : : ; m ).e]E RAZ OBSUDIM WOPROS O PREDSTAWLENII WHODNYH DANNYH. mY NEMOVEM, NAPRIMER, WKL@^ITX W ALFAWIT A PROIZWOLXNYE PEREMENNYE,TAK KAK IH BESKONE^NOE ^ISLO, A L@BAQ MA[INA tX@RINGA RABOTAETLI[X S KONE^NYMI ALFAWITAMI.

oDNAKO DOSTATO^NO WZQTX ALFAWITA = fx; 0; 1; &; _; e; (; )g I PEREMENNU@ xi ZAPISYWATX KAK x S IDU]IM::..::..47DALEE ^ISLOM i, PREDSTAWLENNYM W DWOI^NOJ SISTEME S^ISLENIQ. oBRATIM TAKVE WNIMANIE NA TO, ^TO W OPREDELENII ZADA^ RASPOZNAWANIQ NAWHOD MOVET POSTUPITX L@BOE SLOWO W ZADANNOM ALFAWITE A. w ZADA^Ewyp MNOGIE TAKIE SLOWA NE PREDSTAWLQ@T knf. pREDPOLAGAETSQ, ^TOOTWETOM DLQ TAKIH WHODNYH SLOW QWLQETSQ \NET". aNALOGI^NO PONIMA@TSQ I DRUGIE ZADA^I (NAPRIMER, klika ILI gc).tEOREMA. P NP .dOKAZATELXSTWO pUSTX L 2 P , I L A. wOZXMEM L@BOJALFAWIT B I q(n) = 1. pREDIKAT Q(a; b) PUSTX WYRAVAET TOT FAKT, ^TOa 2 L (NEZAWISIMO OT b).