14-16 лекции (Лекции А.В. Дмитрука), страница 3

Такой (как и любой другой) функционал называется слабо полунепрерывсл.ным снизу, если из un −→ u0 вытекает lim Ω(un ) ≥ Ω(u0 ).Определение (Хестенс). Функционал Ω называется лежандровым, если онсл.слабо полунепрерывен снизу, и из un −→ u0 , Ω(un ) → Ω(u0 ) вытекает un =⇒ u0(сходимость по норме).(Покажите, что в обоих этих определениях можно считать u0 = 0 .)Лемма 1. Пусть лежандровый функционал Ω положителен на замкнутом подпространстве K ⊂ H (т.е. Ω(u) > 0 для всех ненулевых u ∈ K). Тогда он положительно определен на K (т.е. выполнена оценка (21) с некоторым c > 0 ).Доказательство. Допустим, положительной определенности нет, т.е. ∃ un ∈ K,для которых Ω(un ) ≤ o(||un ||2 ).

Считая в силу однородности, что ||un || = 1, имеемΩ(un ) ≤ o(1), и тогда Ω(un ) → 0. Поскольку единичный шар в H есть слабыйсл.компакт, считаем, что un −→ u0 , где ||u0 || ≤ 1. Из слабой полунепрерывности Ωполучаем Ω(u0 ) ≤ 0, но так как < 0 быть не может, Ω(u0 ) = 0. Таким образом,сл.un −→ 0 и Ω(un ) → 0.

Отсюда в силу лежандровости un =⇒ 0, что противоречитравенству ||un || = 1.2Итак, для лежандрового функционала положительность и положительная определенность — это одно и то же.Для функционала Ω вида (16) имеет место следующаяТеорема 5.а) Ω слабо полунепрерывен снизу на K ⇐⇒ выполнено условие Лежандра.б) Ω лежандров на K ⇐⇒ выполнено усиленное условие Лежандра.Доказательство импликаций ⇐= довольно простое; здесь надо использоватьсл.тот факт (сам по себе интересный, докажите!), что из un −→ u0 следует, что xn ⇒ x0(равномерно).

Доказательство импликаций =⇒ надо проводить от противного аналогично доказательству необходимого условия Лежандра. Мы оставляем это читателю в качестве упражнений.2Установим еще одно свойство лежандрового функционала вида (16). Напомним,что согласно (22) он является лежандровым на KT при любом T > 0.Лемма 2.

Пусть лежандровый функционал Ω положительно определен на KT .Тогда ∃ T 0 > T, такое что Ω положительно определен на KT0 (т.е. положительнаяопределенность сохраняется на чуть большем отрезке).Доказательство. Возьмем любую монотонную последовательность Tn → T + 0.Допустим, что ∀ n на подпространстве KTn положительной определенности (а значит и положительности) нет, т.е. ∃ un ∈ KTn , ||un || = 1, для которой Ω(un ) ≤ 0.10Так как все un ∈ KT1 , а единичный шар в L2 [0, T1 ] есть слабый компакт, считаем,сл.что un −→ u0 ∈ L2 [0, T1 ], где ||u0 || ≤ 1.

Более того, для любого m при n ≥ mимеем un ∈ L2 [0, Tm ], поэтому u0 ∈ L2 [0, Tm ] (в силу слабой замкнутости L2 [0, Tm ]Tв L2 [0, T1 ]), а тогда u0 ∈ m L2 [0, Tm ] = L2 [0, T ], и следовательно, u0 ∈ KT .Из слабой полунепрерывности Ω получаем Ω(u0 ) ≤ lim Ω(un ) ≤ 0, но так как наKT по условию Ω положителен, то u0 = 0, Ω(u0 ) = 0.сл.Таким образом, un −→ 0 и Ω(un ) → 0. Отсюда в силу лежандровости un =⇒ 0,что противоречит равенству ||un || = 1.2Из этой леммы и определения T0 вытекает, что Ω не может быть положительнымна KT0 , т.е. существует ненулевая û ∈ KT0 , на которой Ω(û) = 0.

Поскольку Ω ≥ 0на KT0 , данная û доставляет минимум Ω на всем KT0 , и следовательно, должнаудовлетворять необходимому условию минимума — уравнению Эйлера–Лагранжа.Покажем, что при T < T0 не может существовать ненулевой û ∈ KT , удовлетворяющей уравнению Эйлера–Лагранжа для Ω на KT . Это вытекает из следующегопростого факта.Лемма 3. Пусть в гильбертовом пространстве H точка u0 является стационарной для квадратичной формы Ω(u) = (Q u, u) на подпространстве K, т.е.удовлетворяет необходимому условию минимума в задаче Ω(u) → min, u ∈ K.Тогда Ω(u0 ) = 0.Доказательство.

Так как функционал Ω дифференцируем по любому направлению, а K есть подпространство, стационарность u0 означает, что ∀ ū ∈ K выполнено равенство Ω0 (u0 ) ū = 0. Возьмем ū = u0 . Так как Ω0 (u0 ) u0 = 2 Ω(u0 )(формула Эйлера для однородных функционалов), то Ω(u0 ) = 0.2Из этой леммы следует, что если бы при некотором T < T0 существовало ненулевое решение û уравнения Эйлера–Лагранжа для Ω на KT , то мы бы имелиΩ(u0 ) = 0, что невозможно в силу положительности Ω на KT при всех T < T0 .Таким образом, T0 − первая точка среди всех T > 0, для которых уравнение Эйлера–Лагранжа для Ω на KT имеет ненулевое (т.е. нетривиальное) решение(тривиальное решение u ≡ 0 всегда имеется). Такая точка называется сопряженной(с точкой T = 0).

Вспомним, что определение T0 имело "дескриптивный" характер,не позволяющий найти ее точно, а теперь мы пришли к тому, что для ее нахождениянадо решать конкретное уравнение!Прежде чем выписать это уравнение, введем еще одно понятие, связанное с линейной системойẋ = A(t) x + B(t) u.(23)Определение. Система (23) называется управляемой на отрезке [0, T ], еслидля любых векторов a0 , aT ∈ IRn найдется u ∈ L2 [0, T ], для которой решение уравнения (23) с начальным условием x(0) = a0 имеет концевое значение x(T ) = aT .Другими словами, любые две точки пространства IRn можно соединить решениемсистемы (23) с некоторым управлением u(t). (Покажите, что в этом определенииможно положить либо a0 = 0, либо aT = 0.)Имеется следующий критерий управляемости системы (23).11Лемма 4.

Система (23) управляема на отрезке [0, T ] ⇐⇒ не существует ненулевой липшицевой вектор-функции ψ(t), для которой одновременно выполнены дваравенства (если считать ψ вектор-строкой):ψ̇ = −ψA,ψB = 0п.в. на [0, T ].(24)или (если считать ψ вектор-столбцом):ψ̇ = −A∗ ψ,B∗ψ = 0п.в. на [0, T ].(240 )(Мы надеемся, что эта неоднозначность в представлении ψ не вызовет недоразумений.)Доказательство. (⇐=) Пусть такое ψ 6= 0 есть. Тогда для любого решениясистемы (23) (ψ x)• = −ψAx + ψ(Ax + Bu) = 0, поэтому ψ(0) x(0) = ψ(T ) x(T ).Отсюда следует, что если x(0) = 0, то ψ(T ) x(T ) = 0, т.е. концевой вектор x(T )всегда лежит в подпространстве, ортогональном ненулевому вектору ψ(T ), а этопротиворечит управляемости.(=⇒) Пусть нет управляемости, т.е. множество правых концов L = {x(T )} всевозможных решений системы (23) с начальным условием x(0) = 0 не совпадает совсем пространством IRn .

Тогда L − собственное подпространство, и существуетненулевой вектор ξ ⊥ L. Пусть липшицева функция ψ(t) есть решение уравненияψ̇ = −ψA с конечным условием ψ(T ) = −ξ (такая ψ заведомо существует). Тогдадля любого решения системы (23) (ψ x)• = ψBu, поэтомуZ Tψ(T ) x(T ) − ψ(0) x(0) =ψBu dt.0RTЕсли x(0) = 0, то x(T ) ∈ L, поэтому ψ(T ) = ξ ⊥ x(T ), и тогда 0 ψBu dt = 0.Так как это выполнено ∀ u ∈ L2 [0, T ], то ψ(t)B(t) = 0 п.в. на [0, T ], т.е.

ψ(t) естьненулевое решение системы (24).2Замечание. Для выписывания системы (24) нет надобности составлять матрицы A, B, соответствующие системе (23), что бывает довольно неудобно при больших размерностях. Гораздо проще составить "укороченную" функцию ПонтрягинаH = ψ(Ax + Bu) и написать уравнения −ψ̇ = Hx , Hu = 0. Это и есть система (24).Далее будем считать, что наша система (23) управляема на отрезке [0, T ] прилюбом T > 0. Выпишем уравнение Эйлера–Лагранжа (необходимое условие минимума) для Ω на KT .

(Для квадратичного функционала оно называется такжеуравнением Эйлера–Якоби.)Пусть cj есть строки матрицы C, т.е. ограничение (18) в левом конце можетбыть записано в виде cj x(0) = 0, j = 1, . . . , m. Без нарушения общности считаем,что векторы cj линейно независимы.Выполнение уравнения Эйлера–Лагранжа для функции u ∈ L2 [0, T ] и соответствующего x ∈ AC[0, T ] означает, что ∃ α ≥ 0, β ∈ IRm и липшицева функцияψ(t) (которую здесь удобнее считать вектор-столбцом), такие что α + |β| > 0 (наборнетривиален), и для функции ПонтрягинаαH = ψ(Ax + Bu) − ((Qx, x) + 2(P x, u) + (Ru, u))212и концевой функции Лагранжаl(x0 ) =Xα(Sx(0), x(0)) +βj (cj , x(0))2должны выполняться равенства:−ψ̇ = Hx = A∗ ψ − α(Qx + P ∗ u),(25)Hu = B ∗ ψ − α(P x + Ru) = 0,Xψ(0) = lx(0) = αSx(0) +βj cj .(26)(27)Покажем, что в предположении управляемости системы (23) здесь всегда α > 0.Действительно, если α = 0, то (25) и (26) превращаются в равенства (240 ), которымPможет удовлетворять лишь ψ(t) = 0.