Некоторые задачи (решённые) к экзамену, страница 2

å£ÓÐÅËÔÒ | f j h!j (2mj + 1)=2; mj 2 Z+g, ÇÄÅ !j2 | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÁÔÒÉÃÙ 2 .1 2222úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÓÐÅËÔÒ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ Ó V (x1 ; : : : ; xn ) = (x1 +2x2 +3x3 +: : :+nxn ).2éÍÅÅÔ ÌÉ ÏÎ ËÒÁÔÎÙÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅÚÎÁÞÅÎÉÑ? h Pn pòÅÛÅÎÉÅ. E =j =1 j (2mj + 1) ; mj 2 Z+ . ëÒÁÔÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔÓÑ ÐÒÉ n > 4:2m~ = (2; 0; 0; 0; 0; : : : 0) É m~ 0 = (0; 0; 0; 1; 0; 0; : : : ;p0) ÄÁÀÔp ÒÁ×ÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÂÙ ÐÒÉ n < 4ÂÙÌÉ ËÒÁÔÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅÚÎÁÞÅÎÉÑ,ÔÏ1,2É3 ÂÙÌÉ pÂÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁÄ Q , ÞÔÏ ÎÅ×ÅÒÎÏ.pp222 = 2ab 2, ÏÔËÕÄÁ ab = 0. ðÒÉ b = 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ(äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï:a+b2=c3,ÔÏÇÄÁ3ca2bpp3 ÒÁÃÉÏÎÁÌÅÎ, Á ÐÒÉ a = 0 | 2=3 ÒÁÃÉÏÎÁÌÅÎ.úÁÄÁÞÁ.

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÎÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ, ÎÁÊÔÉ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÐÒÅÄÅÌ ÐÅÒ×ÙÈ 10 ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ Ó ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÏÍ V (x1 ; x2 ) = (x21 a2 )2 + x22 .òÅÛÅÎÉÅ. íÉÎÉÍÕÍ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÒÉ x1 = a, x2 = 0. úÎÁÞÉÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ o(h) (ÁËËÕÒÁÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕppÌÉÒÏ×ËÁ | ×ÙÛÅ) ÓÐÅËÔÒ ÅÓÔØ h2 [ 2(2l + 1) + 2 2a(2m + 1)], É ×ÓÅ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ×ÈÏÄÑÔ × ÎÅÇÏ ÐÏ Ä×Á ÒÁÚÁ(ÐÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞÅË Ä×Å). ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ a ÒÁÚÎÙÅ l, m ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÐÅÒ×ÙÍ ÄÅÓÑÔÉ ÉÚ ÎÉÈ.1 222úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÐÅÒ×ÙÅ ÄÅÓÑÔØ ÞÉÓÅÌ ÓÐÅËÔÒÁ ÄÌÑ V (x) = (x1 + 2x2 + 4x3 ) É ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ.2pòÅÛÅÎÉÅ.

ïÂÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ | Em~ = ((2m1 + 1) + 2(2m2 + 1) + 2(2m3 + 1))h=2. ëÒÁÔÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅÞÉÓÌÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ m2 É ÒÁÚÎÙÍ m1 É m3 . ÷ÙÐÉÛÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÔÁÂÌÉÃÕ ÄÌÑ (2m1 +1) + 2(2m3 + 1):m1m3 0 1 2 3 4 5 60 3 5 7 9 11 13 151 7 9 11 13 152 11 13 153 15úÎÁÞÉÔ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ | 3; 5; 7; 7; 9; 9; 11; 11; 11; 13; 13; : : :ôÅÐÅÒØ ×ÙÐÉÛÅÍ ÔÁÂÌÉÃÕ ÄÌÑ 2Em~ =h:m201233 4,4 7,2 10,0 12,85 6,4 9,2 12,07 8,4 11,29 10,411 12,4(úÄÅÓØ ×ÙÐÉÓÁÎÙ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ e0 Ë ×ÅÌÉÞÉÎÅ e, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ e0 < e p< e0 + 0;1.) ÷ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅp ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅpÚÎÁÞÅÎÉÑpÂÏÌØÛÅ 13. péÔÁË, ÐÅÒ×ÙÅ10ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈÚÎÁÞÅÎÉÊ3+2(ËÒÁÔÎÏÓÔØ1),5+2 (1), 3 + 3 2ppppp(1), 7 + 2 (2), 5 + 3 2 (1), 3 + 5 2 (1), 9 + 2 (2), 7 + 3 2 (2), 5 + 5 2 (1), 11 + 2 (3) (É ×Ó£ ÜÔÏ ÎÁÄÏÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ h=2).ïÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ.

ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÂÁÒØÅÒÙ É ÑÍÙðÕÓÔØ V (x) ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÌÉÛØ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ I (x ÏÄÎÏÍÅÒÎÏ). ôÏÇÄÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÎÅÇÏ |2ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ h2 00 = E , ÞÔÏ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ E ÅÓÔØ Ä×Å ÜËÓÐÏÎÅÎÔÙ ÉÌÉ ÓÉÎÕÓ ÉËÏÓÉÎÕÓ.1 2 | ÅÄÉÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ, Á ÎÅ .3òÅÛÅÎÉÑ ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÏÔÒÅÚËÁ I ÔÁËÏÅ ÖÅ. éÍÅÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÅÛÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ,ËÏÔÏÒÙÊ ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÅÛÅÎÉÅ 1 × ÒÅÛÅÎÉÅ 2 , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ2ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ h2 00 + V (x) = E , ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÅ Ó 1 ÓÌÅ×Á, Á Ó 2 ÓÐÒÁ×Á ÏÔ I .

ïÎ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ.ïÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÐÒÉ E > 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈpikxÜËÓÐÏÎÅÎÔ e(k = 2E=h) ÏÎ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ M = , ÇÄÅ jj2 j j2 = 1.åÓÌÉ V (x) = V1 (x) + V2 (x) É ÎÏÓÉÔÅÌØ V1 ÌÅ×ÅÅ ÎÏÓÉÔÅÌÑ V2 , ÔÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ M ÄÌÑ V (x)ÅÓÔØ M2M1 , ÇÄÅ M1;2 | ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ V1;2 . ðÕÓÔØ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ V (x)ÅÓÔØ M . îÁÊÄ£Í ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ V 0 (x) = V (x a). ðÕÓÔØ U : f (x) 7! f (x + a).

ôÏÇÄÁM 0 = U 1 MU . ÷ ÂÁÚÉÓÅ eikx ; e ikx ÉÍÅÅÍ:ika0M 0 = e 0 eika eika0e 2ika := 0 e ikae2ika æÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÉÍÅÀÔ Ä×Å ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ | ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ T = 1=jj2 É ËÏÜÆÆÉR = j=j2 , R + T = 1.úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ ÄÌÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÂÁÒØÅÒÁÃÉÅÎÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ(V (x) =V0 > 0; x 2 (0; a) [ (b; b + a);0;ÉÎÁÞÅ(0 < a < b). óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÜÎÅÒÇÉÉ E < V0 , ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ 1?òÅÛÅÎÉÅ.

îÁÊÄ£Í ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ ÐÒÉ 0 < E < V0 ÄÌÑ V (x) = V0 (0;a) (x). òÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅ×Á ÏÔ 0:ppikxe (k = 2E=h), ÎÁ (0; a): e{x + e {x ({ = 2(V E )=h), ÓÐÒÁ×Á ÏÔ a: eikx + e ikx . ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ, , , ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1-ÇÌÁÄËÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÔÏÞËÁÈ ÓËÌÅÊËÉ: + = 1;eika + e ika = e{a + e {a ;{ikeika e ika = (e{a e {a): = ;{ikïÔÓÀÄÁ = (1 + (ik={))=2, = (1 + (ik={))=2 É=ik {e ika {ae1+1++ e {a 14{ikik{1{e ikaik {+=2 ch {a + sh {aik2{ ik:úÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ×ÏÐÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ÐÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÚÄÅÓØ ÏÎÏ ÎÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÏ.ïÐÅÒÁÔÏÒ ÍÏÎÏÄÒÏÍÉÉ ÄÌÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÅÓÔØ2ikb eM = e2ikb = (e2ikb + ) :éÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÊ ÎÁÓ ÓÌÕÞÁÊ R = 0 (ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÅ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÎÕÌÀ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ e2ikb + , Ô.

Å. ÔÏÍÕ, ÞÔÏ eikb 2 R. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ1 {2 k2eik(b a) cth {a +2i {k2RéÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ E 2 (0; V0 ). { ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔË ÎÕÌÀ, ÐÏÜÔÏÍÕ cth {a ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ë +1. ({2 k2 )=({k) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÏÔ +1 ÄÏ 1(ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ ÐÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ ({2 k2 )=({k) = ({=k) (k={)). úÎÁÞÉÔ, ÁÒÇÕÍÅÎÔÒÁÓÔ£Ô ÏÔ =2 ÄÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, (ÐÒÏÈÏÄÑ ÞÅÒÅÚ 0 ÐÒÉ E = V0 =2).áÒÇÕÍÅÎÔ eik(b a) ÒÁÓÔ£Ô ÏÔ ÎÕÌÑ (Ô.

Ë. b > a). úÎÁÞÉÔ, ÁÒÇÕÍÅÎÔ eikb ÒÁÓÔ£Ô ÏÔ =2 É ÐÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎÐÒÉ E = V0 =2. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ E , 0 < E < V0 =2, ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. éÔÁË, ÐÒÉ ×ÓÅÈ V0 > 0, ÐÒÉ ×ÓÅÈa É b (b > a) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ E 2 (0; V0 ), ÞÔÏ R = 0.úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ E < 0 ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ Ó ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÏÍ × ×ÉÄÅ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÑÍÙ:(V < 0; x 2 (0; a);V (x) = 00;ÉÎÁÞÅ:òÅÛÅÎÉÅ.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x = a=2, ÐÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ(x) | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ E , ÔÏ (a x) | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ E . ôÏÇÄÁ + (x) = ( (x)+ (a x))=2 É (x) = ( (x) (a x))=2 | ÔÏÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉÓ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ E . (÷ÐÒÏÞÅÍ, ËÁË ÂÕÄÅÔ ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÉÖÅ, ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÕÄÅÔ ÎÕÌ£Í,4ÔÁË ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2 ÎÅ ÂÕÄÅÔ.) äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÄÁÌÅÅ ××ÅÄ£Í ÎÏ×ÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕy = x a=2 É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ b = a=2.âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ Þ£ÔÎÙ:(y) =8q>2(jV0 j jE j>y ; y < b;<A cosh2 q>2jE j>:B exp2 y ; y > b:jjjj jjh(÷ÉÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÒÉ jyj > b ÔÁËÏ×, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ.) ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A É B ÉÝÕÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ 1-ÇÌÁÄËÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÔÏÞËÁÈ y = b. ÷ÐÒÏÞÅÍ, ÕÓÌÏ×ÉÑ × ÔÏÞËÅy = b ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÕÓÌÏ×ÉÊ × ÔÏÞËÅ b, ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÙÐÉÛÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ × ÔÏÞËÅ b.rA cosr2(jV0 j jE j)sinAh2r!2(jV0 j jE j)b = B exph2!!rr2jE jb ;h22(jV0 j jE j)b =h22jE jBexph2r!2jE jb :h2þÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÌÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙpjV0 j jE j tgr!p2(jV0 j jE j)b = jE j:2häÌÑ ÎÅÞ£ÔÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ × ×ÉÄÅ(y ) =8q>2(jV0 j jE j>y ; y < b;<A sinh2 q>2jE j>:B sgn y exp2 y ; y >jjhjj jj bÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÅpjV0 j jE j ctgr!2(jV0 j jE j)b =h2éÓÓÌÅÄÕÅÍ ËÏÒÎÉ ÜÔÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

ðÒÉÍÅÍ z =p2(jV0 jppz tg(bz ) = A2pz ctg(bz ) = A2pjE j:jE j)=h. ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÐÉÛÕÔÓÑ × ×ÉÄÅz 2;z 2;ÇÄÅ A = 2V0 =h. ìÅ×ÁÑ ÉÈ ÞÁÓÔØ | ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÐÒÉ z > 0 (ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ) ÆÕÎËÃÉÑ: d(z tg(bz ))=dz = (sin(2bz ) + 2bz )=(2 cos2 (bz )), ÐÒÁ×ÁÑ | ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁËÁÖÄÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ((2k 1)=2b; (2k +1)=2b) ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ, ÅÓÌÉ A > (2k +1)=2b,k > 0. òÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (0; =2b) É ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ (ÇÄÅ (2k 1)=2b < A < (2k + 1)=2b) ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÐÅÒ×ÏÍ ËÏÒÅÎØ ÅÓÔØ ×ÓÅÇÄÁ, Á ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ | ÐÒÉ A > k=b. ïÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ, ÔÁËÉÍÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÎÏ n, ÅÓÌÉ (n 1) < Ab 6 n.÷ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÕÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, Õ ÎÅÇÏ n ËÏÒÎÅÊ ÐÒÉ (2n 1)=2 < Ab 6 (2n + 1)=2. ïÂÝÅÅÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ ÒÁ×ÎÏ N ÐÒÉ (N 1)=2 < Ab < N=2.

ëÏÒÎÉ Ä×ÕÈ ÓÅÒÉÊ, ËÁË ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÅÒÅÄÕÀÔÓÑ:ÎÁ [0; b=2] | ËÏÒÅÎØ ÐÅÒ×ÏÇÏ, ÎÁ [b=2; b] | ËÏÒÅÎØ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÎÁ [b; 3b=2] | ËÏÒÅÎØ ÐÅÒ×ÏÇÏ, É Ô. Ä.ðÏÜÔÏÍÕ ËÒÁÔÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÎÅÔ, ÔÁË ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÌÉÂÏ Þ£ÔÎÁ, ÌÉÂÏ ÎÅÞ£ÔÎÁ.óÐÅËÔÒÙ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ × ÄÒÕÇÉÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈîÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÓÐÅËÔÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ ×ÓÅÇÄÁ ÄÉÓËÒÅÔÅÎ.

åÓÌÉ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÓÎÉÚÕ, ÏÎ ×ÐÏÌÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÅÎ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ2úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÓÐÅËÔÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ Ó V (x1 ; x2 ) = (x1x22 )=2.2òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔÓÑ. óÐÅËÔÒ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ Ó V (x1 ) = x1 =2ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ: (2m + 1)h=2, m 2 Z+.îÁÊÄ£Í ÓÐÅËÔÒ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ Ó V (x) = x2 =2. éÔÁË, ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÐÒÉ ËÁËÉÈ E 2 R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑh2 00 (x) + (x2 + 2E ) = 0;5ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÒÉ ×ÓÅÈ E ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ.