Главная » Просмотр файлов » В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)

В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций) (1159492), страница 6

Файл №1159492 В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций) (В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)) 6 страницаВ.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций) (1159492) страница 62019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

)Запомнитьx 1,..., x m в R t +1,..., R t + mf1 ( x 1,..., x m ) → R t+ m+1f k ( x 1,..., x m ) → R t+ m+1g ( f1,..., f n ) → R 1Ясно: вычисление H ( x 1,..., x m ) останавливается ⇔ заканчиваетсявычисление каждой Fi ( x 1,..., x m ) , i ∈1, n и вычислениеG ( f1 ( x 1,..., x m ),..., f n ( x 1,..., x m ))ч.т.д.Следствие Пусть f ( y1,..., ym ) вычислимая на МПД функция и x i1 ,..., x iv )последовательность m переменных из С(возможно с повторениями).

Тогдафункция h( x 1,..., x n ) = f ( x i1 ,..., x iv ) вычислима.док-во.Если x = ( x 1,..., x n ) ,то h( x 1,..., x n ) = f ( I in1 ( x ),..., I inm ( x )и потому hвычислима.ч.т.д .Вычислимость рекурсииТеорема 2.Пусть функции g ( x 1,..., x n ) , h( x 1,..., x n , y, z ) - вычислимы на МПД. Тогдафункция f = R ( g, h) - вычислима.Док-во.Пусть G и H программы стандартного вида для вычисления функций g и h.Построим программу F вычивляющую функцию f = R ( g, h ) .По начальнойконфигурации ( x 1 ,..., x n , y,0,... ) по программе G вычисляетсяf ( x 1,..., x n ,0) = g ( x 1,..., x n ) . Теперь, если y ≠ 0 то применяем (многократно)программу Y* для нахождения f ( x 1,..., x n ,1) , f ( x 1,..., x n ,2 ) ,..., f ( x 1,..., x n y )31Положим m = max( n + 2, r (G ), r ( H ))Запоминаем x 1,..., x n , y в регистрах R m +1,..., R m + n , R m + n+1 .Номер цикла к ,где к=0,1,...,y помещаем в Rm+n+2.

Промежуточное значение f ( x 1,..., x n , k )помещаем в Rm+n+3. Вычисление по программе Н происходит в соответствии сблок-схемой.начало ( x 1,..., x n , y,0,... )1.запомнить ( x 1,..., x n , y,0,... )в R t + m +1,..., R t + m + n2.запомнить k в R m + n+ 2(в начале k=0)f ( x 1,..., x n ,0) = g ( x 1,..., x n ,0) → R m + n+3x=y( rm + n+2 = rm + n+1 ?)даk:k+1нетf ( x 1,..., x n , y ) → R 1rm + n+3 = R 1остановf ( x 1,..., x n , k + 1) = h( x 1,..., x n , k , f ( x 1,..., x n , k )) → R m + n+332Помещаем x 1 ,..., x n , k в регистры R m +1,..., R m + n , R m + n+1 . Полагаем вначалеk=0.Промежуточное значиние f ( x1 , ..., x n , k ) помещаем в R m + n +2 . Вычислениефункции g происходит в соответствии с блок-схемой:начало ( x 1,..., x n , y,0,...

)запомнить x 1 ,..., x nв R m +1,..., R m + nзапомнить k в R m + n +1(в начале k=0)f ( x 1,..., x n , k ) → R 1k:k+1f ( x 1 ,..., x n , k ) → R 1( rm + n+2 = rm + n+3 ?)даk → R1нет33Программа F для вычисления f : (Здесь t=m+n):T (1, m + 1)...T ( n + 1, m + n + 1)Iq :J (t + 2,t + 1, p)H [ m + 1,..., m + n,t + 2,t + 3 → t + 3]S (t + 2 )J (11, ,q )Ip : T (t + 31,)`Следовательно, функция f вычислима.ч.т.д.Вычислимость минимизации.Tеорема3.Пусть функция f ( x1 ,..., x n , y) вычислима.тогда функцияg ( x1 ,..., x n ) = µ y ( f ( x1 ,..., x n , y) = 0) вычислима.Док-во.Пусть F-программа стандартного вида,вычисляющая функцию f .Пустьm = max( n + 1, r ( F )) .Построим программу G для вычисления функции g последующему алгоритму: вычислять f ( x1 ,..., x n , k ) при k=0,1,... до тех пор, покане найдется такое k,что f ( x1 ,..., x n , k ) = 0 тогда k будет требуемым выходом.Программа G для вычисления функции g :T (1, m + 1)....`T ( n, m + n)F [ m + 1,..., m + n → m + n + 2]Iq :S ( m + n + 1)J ( m + n + 2, m + n + 3, q )J (11, , p)Ip : T ( m + n + 11,).следовательно , функция g вычислима.ч.т.д.34Следствие.Частично рекурсивные функции вычислимы на МПД,т.е.Ч ⊆ Е..4 0 ) Покажем теперь частичную рекурсивность вычислимых функций.Теорема 4.

Всякая вычислимая на МПД функция является частичнорекурсивной.Док-во.Пусть f ( x1 ,..., x n ) вычислимая на МПД функция и пусть P = I1 I 2 ... I s соответствующая программа.Будем называть шагом вычисления выполнениеодной команды программы.Для произвольных x = ( x1 ,..., x n ) и t ∈ N 0определим следующие функции , свезанные с вычислением P( x ) : r1 (с о д е р ж и м о е R1 ) после t ш а г о в в P( x) , если P( x) не остановилось раньшеc( x, t) = r (соде ржимое R1 ) , если P( x) остановилось1раньше.ном е р следующей команды , после t ш а г о вв P( x) , если P( x) не остановилосьc( x, t) = после t шагов или раньше 0 , если P( x) остановилось послеt шаговили раньше.c( x ,0) = x1j ( x ,0) = 1Очевидно, что функции c( x , t ) , j ( x , t ) всюду определены.Найдем теперь выражение для f ( x ) через введенные функции.

Еслизначение f ( x ) определено, то P( x ) останавливается после t 0 шагов, гдеt 0 = µ t ( j ( x , t ) = 0)Таким образом,поэтомуf ( x ) = c( x , t 0 )Если хе значение f ( x ) неопределено, то P( x ) не останавливается, и тогдаj ( x , t ) ≠ 0 ∀t ∈ N 0 , поэтому µ t ( j ( x , t ) = 0) не опредено. Следовательно, вовсех случаях f ( x ) = c( x , µ t ( j ( x , t ) = 0))Теперь, если убедиться, что функции c( x , t ) и j ( x , t ) частичнорекурсивны, то таковой будет и функция f ( x ) .

Ясно,что существуетнеформальный алгоритм вычисления значений функций c( x , t ) и j ( x , t ) . Для35этого нужно по заданным x , t написать последовательность конфигурацийK 0 → K1 →... → Kt и выписать содержимое регистра R1 к номер выполняемойна шаге t+1 команды. По тезису Черча функции c( x , t ) и j ( x , t ) частичнорекурсивны и, значит, функция f ( x ) является частично рекурсивной.ч.т.д.Замечание Более точный анализ показывает, что функции c( x , t ) и j ( x , t )является примитивно рекурсивными.Следствие.

Классы функций Ч и Е совпадают, т.е. Ч=Е .50 ) Рассмотрим теперь вопрос о соотношении введенных классовЧпр,Ч0,Ч.Поскольку класс Ч содержит частично определенные функции, то ясно,что Ч0 ⊂ Ч.Кроме того, очевидно,что Чпр ⊆ Ч.Вопрос о том, является ли включение Чпр ⊆ Ч соб- ственным решаетсянесколько сложнее.Первый пример общерекурсивной функции, не являющейся примитивнорекурсивной,был дан Аккерманом (1928 г.).Функция Аккермана ϕ ( x , y) задается соотношениеми :ϕ( x ,0) = y + 1ϕ ( x + 1,0) = ϕ ( x ,1)ϕ ( x + 1, y + 1) = ϕ ( x , ϕ ( x + 1, y))Можно доказать, что данные соотношния однозначно определяютфункцию ϕ ( x , y) .Например,ϕ ( 0,0) = 1 , ϕ ( 0,1) = 2 , ϕ (1,0) = 2ϕ (11, ) = ϕ ( 0, ϕ (1,0)) = ϕ ( 0,2) = 3ϕ ( 2,0) = ϕ (11,)=3ϕ (1,2) = ϕ ( 0, ϕ (11, )) = ϕ ( 0,3) = 4ϕ ( 3,0) = ϕ ( 2,1) = ϕ (1, ϕ ( 2,0)) = ϕ (1,3) == ϕ ( 0, ϕ (1,2)) = ϕ ( 0,4) = 5Результаты вычислений убеждают,что найдется алгоритм вычисленияфункции ϕ ( x , y) .В то же время доказывается, что функция ϕ ( x , y) не является примитивнорекурсивной,т.к.

растет быстрее, чем любая одноместная примитивнорекурсивная функция.Доказательство, ввиду его громоздкости, опускается (см. Мальцев (7), стр.105).36§ 5. Нумерация наборов чисел и слов10 ) В теории алгоритмов получил распространение прием, позволяющийсводить изучение функций от нескольких переменных к изучению функцийодной переменной.

Он основан на нумерации наборов чисел так, что имеетсябиективное соответствие между наборами чисел и их номерами, причемфункции, определяющие по набору чисел его номер и по номеру сам набор чиселявляются общерекурсивными.Рассмотрим сначала множество N 0 ∗ N 0 - множество пар натуральныхчисел. Рассмотрим следующее упорядочение этих пар, называемоеканторовским:(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),...(1)Здесь в порядке возрастания n ∈ N 0 упорядочиваются пары (x,y)с условиемx+y=n в виде последовательности(0,n),(1,n-1),...,(x,y),...,(n,0)(2)Пусть c(x,y)- номер пары (x,у)в последовательности (1), причем считаемc(0,0)=0.

Если c(x,y)=n , то обозначим через r , l - функции, удовлетворяющие:x = l( n )y = r( n )и, следовательно,c( l ( n ), r( n )) = nПокажем, что функции с , l , r в явном виде выра-жаются через обычныеарифметические функции. Произвольная пара (x,у) находится на месте x+1 впоследовательности (2). Далее перед последователь-ностью (2) находятсяпоследовательности, отвечающие элементам (x1,y1) с условием x1+y1=t , гдеt=0,1,2,...,x+y-1 , и каждый из них содержит t+1 элемент.Следовательно, элемент (x,y) находится в после-довательности (1) на месте1+2+...+x+y+x+1 . Поскольку нумерация начитается с нуля , то номер элемента(x,y) в последовательности (1) равен( x + y )( x + y + 1)( x + y )2 + 3x + yc( x , y ) =+x =22Пусть теперь c(x,y)=n и найдем x = l ( n ) , y = r( n ) .(4)Из (4) следуют равенства:2 n = ( x + y )2 + 3x + y8n + 1 = ( 2 x + 2 y + 1)2 + 8x8n + 1 = ( 2 x + 2 y + 3 )2 − 8 y − 8Следовательноили2x + 2 y + 1 ≤[8n + 1 < 2 x + 2 y + 3]x + y + 1≤[8n + 1 + 1]2<x + y+237Это означает, чтоx + y + 1=[]8n + 1 + 1(5)2Теперь, используя (4), определяем x :1x = l (n) = n −& 2[]8n + 1 + 1 2 []8n + 1 −& 12(6)Подставляя найденное значение x в (5) получаем y :y = r ( n) = []8n + 1 + 1 1 + 2 2 []8n + 1 + 1 2 []8n + 1 −& 1 −& n −& 1 (7)2Заметим, что важен не сам вид полученных функций c( x , y ) , r( n ) , l ( n ) ,а важен факт их эффективной вы-числимости.Теперь с помощью нумерации пар чисел легко получить нумерацию троекчисел, т.е.

элементов множества N 03 . Определим функции :c 3 ( x , y, z ) = c( c( x , y ), z )Тогда ,если c 3 ( x , y, z ) = nтоz = r( n )y = r( l ( n ))x = l ( l ( n ))(8)(9)Аналогично, для наборов произвольной длины r+1 полагаемc1 ( x 1 ) = x 1 , c 2 ( x 1, x 2 ) = c( x 1, x 2 )(10)c r +1 ( x 1, x 2 ,..., x r +1 ) = c r ( c( x 1, x 2 ), x 3 ,..., x r +1 )и по определению называем число c n ( x 1, x 2 ,..., x n ) канторов- ским номеромn-kn ( x 1, x 2 ,..., x n )Если c n ( x 1, x 2 ,..., x n ) = m , тоx n = r( m )x n−1 = r( l ( m )).....(11)x 2 = r( l (...

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее