Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)

В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций), страница 19

PDF-файл В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций), страница 19 Теория интеллектуальных систем (53238): Лекции - 7 семестрВ.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций): Теория интеллектуальных систем - PDF, страница 19 (53238) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория интеллектуальных систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 19 страницы из PDF

R iлогически эквивалентно формуле КНФ, имеющей самое большее однопеременное с отрицанием в каждой дизъюнкции.4) Каждое отношение R i , i ∈1,m из S слабо отрицательно, т.е. R iлогически эквивалентно формуле КНф, инеющей самое большее одно переменноебез отрицания в каждой дизъюнкции.5) Каждое отношение R i , i ∈1,m из S мультиаффинно, т.е. R i логическиэквивалентно формуле, являющейся конъюнкцией линейных форм над полем F2 .6) Каждое отношение R i , i ∈1,m из S биюнктивно, т.е. R i логическиэквивалентно формуле КНФ, имеющей самое большее вхождения 2-х переменныхв каждой дизъюнкции.2°. Установим теперь NP -трудность некоторых задач, уже встречавшихся в курсематематической логики.

Рассмотрим следующие задачи о булевых функциях.1) РАВНОВЕРОЯТНОСТЬ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ. Для данной булевойфункции f ( x1,..., xn ) , заданной в КНФ, узнать, является ли она равновероятной(т.е. верно ли f = 2n−1 ).2) ЛИНЕЙНОСТЬ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ. Для данной булевой функцииf ( x1,..., xn ) , заданной в КНФ, узнать, является ли она линейной.3) СУЩЕСТВЕННОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО. Для данных булевой функцийf ( x1,..., xn ) в КНФ и целого числа k узнать, является ли переменное xkсущественным для f.4) ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА.

Для данной булевой функцииf ( x1,..., xn ) в КНФ выяснить, образует ли f функционально полную систему(является ли f шефферовой).Утверждение 5. Задачи 1) - 4) являются NP -труд-ными.Доказательство.1. Пусть f ( x1,..., xn ) - произвольная индивидуальная задача ВЫП, гдеf ( x1,..., xn ) = D1D2... Dm , Di - дизъюнкции. Определим функциюf *( x1,..., xn , y) = D1... Dm ∨ y , где y - новое переменное.Имеемf *( x1,..., xn , y) = D1...

Dm ∨ y = ( D1 ∨ y)...( Dm ∨ y)и, значит, КНФ для функции f * строятся по функции f за полиномиальное время.Легко видеть, что104f * = f + 2n , где f - вес функции f. Значит, f * равновероятна ⇔ f невыполнима.Ясно, что условие Задача 1)∈P ⇒ ВЫП∈P, что означает Задача 1)∈NPH.2. Пусть f ( x1,..., xn ) - произвольная индивидуальная задача ВЫП.Определим функцию f * ( x1,..., x n , y1, y2 ) = f ( x1,..., x n ) y1 ∨ y2 , где y1, y2 новые переменные. Ясно, что КНф для функции f * строится по f заполиномиальное время. Легко видеть, что f * линейна ⇔ f не выполнима иусловие Задача 2)∈P влечет ВЫП∈P, что означает Задача 2)∈NPH.3.

Пусть f ( x1,..., xn ) - произвольная индивидуальная задача ВЫП.Образуем функцию f * ( x1,..., x n , y) = f ( x1,..., x n ) y , где y - новое переменное.Ясно, что y - существенно для f * ⇔ f - выполнима. Следовательно,Задача3)∈P ⇒ ВЫП∈P и поэтому Задача 3)∈NPH.4. Пусть f ( x1,..., xn ) - произвольная индивидуальная задача ВЫП.Образуем функцию f * ( x1,..., x n , y1, y2, y3 ) == f ⋅ y1 y2 ∨ y3 .

Ясно, что КНФ для f * строится по f за полиномиальное время.Функция f * образует функционально полную систему ⇔ f выполнима.Действительно, если f не выполнима, то f * ≡ y3 и f * не является функциональнополной. Если f выполнима, то пусть x10 ,..., x n0 - выполняющий набор. Тогдаимеем00f * ( x10 ,..., x n0 ,001, , ) = f * ( x1 ,..., x n ,110, , ) =1f * ( x10 ,..., x n0 ,000, , ) = f * ( x10 ,..., x n0 ,001, , ) =1Отсюда следует не самодвойственность и не линейность функции f *. Очевидно,что f * не сохраняет нуль, не сохраняет единицу и не монотонна. Значит, функцияf * удовлетворяет критерию Шеффера функциональной полноты. Следовательно,условиеЗадача 4)∈P ⇒ ВЫП∈P и поэтому Задача 4)∈NPH. Утверждениедоказано.Замечание. Легко убедиться, что отрицание задачи 2), задача 3) лежат вклассе NP и поэтому они NP -полны. Неизвестно, верно ли это для задач 1) и4).

Очевидно, что при табличном задании булевых функций рассмотренныезадачи имеют полиномиальную сложность.З°. Разберем еще одно важное понятие, относящееся к обсуждаемому кругувопросов. Рассмотрим задачу ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК, которая, какотмечалось выше, является NP -полной. Пусть c1,..., cn , K - натуральные числа испрашивается, существуют ли такие целые x1,..., x n ≥0, что выполненоn∑ j =1 c j x j= K.Приведем один алгоритм решения данной задачи. Для индивидуальной задачиЦР( c1,..., cn , K ) построим ориентированный граф G( c1,..., cn , K )=(V,E), гдеV = {0,1,...,K } ,105{}E = (m, k),0 ≤ m < k ≤ K и k − m = c j для некоторого j ≤ n .Значит, граф G имеет K+1 вершин и O(nK) дуг.Утверждение 6.

В графе G( c1,..., cn , K ) имеется путь из 0 в K тогда итолько тогда, когда индивидуальная задача ЦР( c1,..., cn , K ) имеет решение.Доказательство. Пусть (0 ≡ i0 , i1,..., i m ≡ K ) - нужный путь в графе G.Рассмотрим набор чисел ( s1,... sm ) == ( i1 − i0 ,..., im − im−1 ) . Все эти числа содержатся среди чисел {c1,..., cn }согласно определению графа G.

Кроме того, имеемn∑ i=1 si= K . Отсюда следует,что уравнениеn∑ j =1 c j x j=Kразрешимо в неотрицательных числах, причем x j равно числу появлений c j впоследовательности ( s1,... sm ) . Обратно, еслиn∑ j =1 c j x j= K длянеотрицательных целых чисел x1,..., x n , то можно восстановить некоторый путьиз 0 в K в графе G, если положить( s1,... sm ) = ( c1... c1 c2... c2...

cn ... cn123 123 12 3x1 раз x2 разxn рази пусть из 0 в K имеет вид (0 ≡ i0 , i1,..., i m−1, i m ≡ K ) , гдеi1 = s1, i2 = s1 + s2,..., im = s1 +...+ sm . Утверждение доказано.Утверждение 7. Любая индивидуальная задача ЦР может быть решена заO(nK) действий.Доказательство. По данным c1,..., cn , K строим граф G за O(nK) действий.Затем за O(nK) действий проверяем существует ли путь из 0 в K, используяспособ пометок: вершину 0 помечаем 0, вершины, достижимые из 0 за 1 шаг,помечаем 1 и т.д. Если K получает пометку, то задача разрешима, если нет, нонеразрешима. Утверждение доказано.Приведенный результат показывает, что NP -полная задачаЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК решается с помощью алгоритма с временнойсложностью O(nK) - полиномиального и, следовательно, доказано, что P = NP иможно считать ненужным предыдущее и последующее обсуждение теории NP полноты.

Дело в том, что оценка O(nK) не является полиномиальной функцией отдлины входа, т.к. целые числа в экономном кодировании должны задаваться вдвоичной системе счисления. В то же время приведенный результат важен, т.к. онпоказывает, что NP -полные задачи имеют разную "сложность".Для задач с числовыми параметрами введем следующие определения. ПустьI - индивидуальная вычислительная задача, т.е. с числовыми параметрами.Обозначим через num ( I ) - наибольшее целое число, появляющееся в I.Определение. Пусть А - вычислительная задача иf :N→N - числовая функция. Обозначим через A f подзадачу задачи А, в которойберутся индивидуальные задачи I, для которых выполнено106num( I ) ≤ f ( | I | )Говорят, что задача А сильно NP -полна, если для некоторго полинома p(n) задачаA p является NP -полной.Замечание.

Можно показать, что задачи КЛИКА, ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛявляются сильно NP -полными, а задачи (0,1)-РЮКЗАК и ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙРЮКЗАК не являются таковыми.Определение. Алгоритм а для задачи А называют псевдополиномиальным,если он решает любую индивидуальную задачу I∈A за время, ограниченноеполиномом (двух переменных) от | I | и num ( I ). Значит, алгоритм со сложностьюO(nK) для задачи ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК являетсяпсевдополиномиальным (Ясно, что для индивидуальной задачи I ЦР num ( I )=K ).Отметим, что сильная NP -полнота задачи делает маловероятнымсуществование псевдополиномиального алгоритма точно также, как NP -полнотазадачи делает маловероятным существование полиномиального алгоритма.Утверждение 8.

Если P = NP, то ни для одной сильно NP -полной задачи несуществует псевдополиномиального алгоритма.Доказательство. Пусть А - сильно NP -полная задача. Значит, длянекоторого полинома p(n) задача A p является NP -полной. Далее, пусть для Асуществует псевдополиномиальный алгоритм a, который решает любуюиндивидуальную задачу I∈А за время q( | I | ,num ( I )) для некоторого полинома qот двух переменных. Тогда очевидно, что алгоритм a решает NP -полную задачуA p за время q(n,p(n)) - что является полиномиальной оценкой.

Полученопротиворечие при P = NP. Утверждение доказано.107§ 17. Сложность алгоритмов, использующих рекурсию1°. Рекурсия является важным и очень общим алгоритмическим приемомдля построения эффективных алгоритмов. Данный прием заключается в решениизадачи путем сведения ее к одной или нескольким подзадачам за счет разбиенияисходной задачи. Используя рекурсию, часто можно достаточно простопредставить и записать алгоритмы.

Многие языки программирования (Алгол,PL/1, Паскаль, но не ФОРТРАН) допускают рекурсивные процедуры. Для многихпрактически важных задач лучшие оценки сложности дают алгоритмы,использующие рекурсию. Рассмотрим несколько примеров.1. Сортировка чисел. Дана последовательность x1 , x2 ,..., xn натуральныхчисел.

Требуется путем попарных сравнений чисел упорядочить ее, т.е.представить в видеxi1 , xi2 ,..., xin ,(1)причемxi1 ≤ xi2 ≤ ...≤ xin .Ясно, что данная задача может быть решена с помощью алгоритма, которыйпопарными сравнениями находит наименьший элемент последовательности иставит его в начало результирующей последовательности и затем повторяетданный шаг. Легко видеть, что такой алгоритм требует O( n2 ) попарныхсравнений в худшем случае. Предложим для данной задачи рекурсивныйалгоритм. Пусть n= 2k .При k=1 алгоритм упорядочивает последовательность одним сравнением.Пусть для k алгоритм определен.

Тогда при k +1 алгоритм работает так:1. Последовательность x1 , x2 ,..., x2k +1 разбивается на две длины 2k :x1 , x2 ,..., x2k и x2k +1 ,..., x2k +1 .2. К обеим последовательностям длины 2k применяется построенныйалгоритм и получаем две упорядоченные последовательности: x1′ , x2′ ,..., x2′ k иx2′ k +1 ,..., x2′ k +1 .3. Осуществляется слияние двух полученных упорядоченныхпоследовательностей сравнением их наименьших элементов x1′ и x2′ k +1 ипомещением наименьшего в начало результирующей последовательности.Пусть n ≠ 2k .

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее