Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)

В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций), страница 10

PDF-файл В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций), страница 10 Теория интеллектуальных систем (53238): Лекции - 7 семестрВ.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций): Теория интеллектуальных систем - PDF, страница 10 (53238) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.А. Носов - Основы теории алгоритмов и анализа их сложности (курс лекций)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория интеллектуальных систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 10 страницы из PDF

Пусть n = γ ( P ) . Следовательно, f = f Pn и значит f = U (n, x)ч.т.д.Следствие.Для всякого k ≥ 1 существует частично рекурсивная функцияU k (n, x1 ,..., xk ) универсальная для всех k-местных частично рекурсивныхфункций. Это делается с использованием нумерационных функций.Полагаем`U 2 (n, x1 , x2 ) = U (n, p( x1 , x2 ))(12)U 3 (n, x1 , x2 , x3 ) = U (n, p( p( x1 , x2 ), x3 ))и так далее.58Покажем, например, что функция U 2 (n, x1 , x2 ) удовлетворяет нужнымусловиям. Во-первых, функция U 2 - частично рекурсивна , т.к. являетсясуперпозицией частично рекурсивных функций.

Во-вторых, функцияf n ( x1 , x2 ) = U 2 (n, p( x1 , x2 )) - частично рекурсивна, т.к. получается из частичнорекурсивной подстановкой константы. Пусть теперь f ( x1 , x2 ) произвольнаячастично рекурсивная функция. Образуем функцию g ( x ) = f (l ( x ), r ( x )) ,где l , r- нумерационные функции.

Т.к. g ( x ) - частично рекурсивна, то существует n ,такое, что g ( x ) = U ( n, x )Теперь положим x = p( x1 , x2 ) и тогда имеемf ( x1 , x2 ) = g ( p( x1 , x2 )) = U (n, p( x1 , x2 )) = U 2 (n, x1 , x2 ) .Представляет интерес вопрос о существовании универсальной функциидля других рассмотренных выше классов Ч0 и Чпр - общерекурсивных ипримитивно рекурсивных функций соответственно.Теорема 3.Не существует общерекурсивной функции U k (n, x1 ,..., x k ) , универсальной дляkкласса × 0 - k -местных общерекурсивных функций при любом k ≥ 1 .Док-во.Пусть, наоборот, существует такая функция U k (n, x1 ,..., x k ) для некоторого к.Образуем функцию f ( x1 , x2 ..., x k ) = U k ( x1 , x1 , x2 ..., x k ) + 1 .

Согласно свойствууниверсальности существует n0 , такое, чтоU k (n0 , x1 ,..., x k ) = f ( x1 , x2 ..., xk ) = U k ( x1 , x1 , x2 ..., x k ) + 1Поскольку данные функции всюду определены, то они определены и приx1 =... = x k = n0 . Тогда получаем противоречивое равенствоU k (n0 , n0 ..., n0 ) = U k (n0 , n0 ..., n0 ) + 1.Значите предположение о существовании универсальной функции ложно.ч.т.д.В то же время справедлива.Теорема 4.Для каждого k ∈ N класс всех k -местных примитивно рекурсивныхфункций имеет общерекурсивную универсальную функцию.Доказательство данной теоремы довольно громоздко. Полностью оноприведено в [7] ,§5.Заметим, что из данной теоремы следует, что класс общерекурсивныхфункций шире класса примитивно рекурсивных функций, т.к. универсальнаяфункция не может быть примитивно рекурсивной (доказать) и являетсяобшерекурсивной.Дадим еще одно применение универсальной функции.

Пусть f : N 0 → N 0частичная функция. Функцию f 0 будем называть доопределением f , если f 059всюду определена и совпадает с f в ее области определения. Покажем, чторассмотрение частичных вычислимых функций вызвано существом дела, аименно - существуют частичные вычислимые функции, любое доопределениекоторых делает их невычисляемыми.Теорема 5.Существует частично рекурсивная функция f ( x ) , которая не может бытьдоопределена до общерекурсивной.Док-во.Рассмотрим функцию f ( x ) = sg U ( x , x ) , где Uуниверсальная функция. Данная функция частично рекурсивна ,т.к. онаполучается суперпозицией частично рекурсивных функций. Предположим ,чтосуществует общерекурсивная функция f 0 ( x ) ,которая является доопределениемдля f ( x ) .По свойству универсальности Uсушествует n ,такое что f 0 ( x ) = U (n, x ) .Поскольку f 0 ( x )всюду определена ,то она определена при x=n, и тогда значение U(n,n)определено и, следовательно ,определено значение f (n) = sg U (n, n) .

Посколькуf 0 ( x ) есть доопределение f ( x ) ,то в области определения их значиния должнысовпадать , Поэтому имеем f (n) = sg U (n, n) = U (n, n) = f 0 (n) .Однако ,последнее равенство дает противоречие , т.к. если U (n, n) = 0 ,тоsg U (n, n) = 1 ,если U (n, n) ≠ 0 ,то sg U (n, n) = 0 .Значит ,допущение осущесвовании рекурсивного доопределения для функции f ( x ) приводит кпротиворечию.ч.т.д.60§10 Алгоритмически неразрешимые проблемы10 ) В данном разделе устанавливается алгоритмическая неразрешимость рядапроблем, относящихся к теории алгоритмов.

Будем рассматривать такназываемые массовые проблемы. Массовая проблема представляет собойбесконечную серию индивидуальных задач. Например, индивидуальной задачейявляется такая: обладает ли заданным свойством Q конкретная частичнорекурсивная функция. Совокупность всех таких задач (для всех частичнорекурсивных функций) образует массовую проблему распознавания свойства Q.Мы ограничимся такими массовыми проблемами, в которых всеиндивидуальные задачи имеют двузначный ответ ("ДА" или "НЕТ").Массовая проблема П является алгоритмически разрешимой, еслисоответствующая характеристическая функция f , которая определяетсясоотношением: 1 ⇔ инд зада ÷ а π ∈ П имеет ответ " ДА"f (π ) = 0 ⇔ инд зада ÷ а π ∈ П имеет ответ " НЕТ"(1)является вычислимой.Решая конкретную массовую проблему следует считаться с возможностью,что она может оказаться алгоритмически неразрешимой, поэтому необходимоиметь представление о технике доказательства неразрешимости.

Основнойметод, применяемый в доказательствах алгоритмической неразрешимости,базируется на следующем рассуждении. Пусть (имеем две массовые проблемыП1 и П2. Пусть имеется алгоритм А , который по всякой индивидуальной задачеπ 1 ∈ П1 строит индивидуальную задачу π 2 ∈ П2 , такую, что выполнено:π 1 имеет "ДА" ⇔ π 2 имеет "ДА" .В этом случае говорят, что проблема П1 сводится к проблеме П2. Еслипроблема П1 неразрешима, то проблема П2 также неразрешима.

Действительно,пусть это не так, и проблема П2 разрешима. Тогда можно построитьразрешающий алгоритм для проблемы П1. Берем произвольную индивидуальнуюзадачу π 1 ∈П1 . Имея алгоритм А ,строим индивидуальную задачу π 2 = A(π 1 ) .Теперь применяем к задаче π 2 существующий по предположению разрешающийалгоритм для проблемы П2. Если задача π 2 имеет ответ "ДА", то для задачи π 1полагаем ответ "ДА", в противном случае, для задачи π 1 полагаем ответ "НЕТ".Поскольку, по условию, проблема П1 неразрешима, то получим противоречие.Значит, проблема П2 неразрешима. Данное рассуждение называется методомсводимости, и его применение возможно, если уже имеется запас проблем,алгоритмическая неразрешимость которых уже установлена.

Приведем теперьнекоторые из таких проблем.20 ) Рассмотрим так называемую проблему самоприменимости машинТьюринга. Она заключается в следующем. Рассматриваются, машины Тьюринга,внешние алфавиты которых содержат символы О, 1 (наряду с другими). Длякаждой машины Тьюринга Т построим Код (Т) который является ( 0,1) - словом,61и запустим машину Т в начальной конфигурации q1 Код (T) .

Если машина Тостанавливается (т.е.попадает в заключительное состояние) череэ конечноечисло шагов, он называется самоприменимой в противном случае несамоприменимой.Заметим,что имеются как самоприменимые так и несамоприменимые машиныТьюринга.Например, несамоприменимой будет машина Т1 ,у которой всекоманды имеют вид qi a j → qi a j E (в правых частях команд нетзаключительного состояния), самоприменимой будет машина Т2 ,у которой всекоманды имеют вид qi a j → q0a j E ( в правых частях команд имеетсязаключительное состояние).Проблема самоприменимости состоит в том , чтобы по любой машине ТьюрингаТ определить ,является она самоприменимой или нет.Условимся ,что машинаТьюринга m решает проблему самоприменимости ,если для любой машины Тначальную конфигурацию q1 Код (T) она переводит в q11 ,если машина Тсамоприменима ,и в q1 0 , если машина Т несамоприменима.Теорема 1.Не существует машины Тьюринга m , решающей проблемусамоприменимости, т.е.

проблема самоприменимости алгоритмическинеразрешима.Док-во.Предположим противное, т.е. пусть существует машина Тьюринга m решающаяпроблему самоприменимости в указанном выше смысле. Построим новую′машину m0 , добавив новое состояние q0 и объявив его заключительным, атакже добавив новые команды для состояния q0 , которое было заключительнымвm:q0 1 → q0 1Eq 0 → q ′ 0E00(α )(β )Рассмотрим теперь работу машины m0 . Пусть Т - произвольная машина,если Т - самоприменима, то начальная конфигурация q1 Код (T) перейдет спомощью команд машины m через конечное число шагов в конфигурацию q0 1 ,далее применяется команда (α ) , и машина, m0 никогда не остановится. Если Т- несамоприменимая, то начальная конфигурация q0 Код ( T) перейдет спомощью команд машины m через конечное число шагов в конфигурацию q0 0 ,далее применяется команда ( β ) , и машина m0 остановится.

Значит машина m0применима к кодам несамоприменимых машин Т и неприменима к кодамсамоприменимых машин Т. Теперь рассмотрим Код(m0) и применим машинуm0к начальной конфигурации q1Код(m0). Сама машина m0 является либо62самоприменимой, либо несамоприменимой. Если m0 самоприменима, то подоказанному, она никогда не остановится, начав с q1Код(m0) и потому онанесамоприменима. Если m0 несамоприменима, то по доказанному, онаостанавливается через конечное число шагов, начав с q1Код(m0), и потому онасамоприменима.

Получили противоречие, которое является следствиемдопущения существования машины m , реализующей проблемусамоприменимости.ч.т.д.Приведем еще один пример неразрешимой проблемы. Проблемой останованазывают проблему, заключающуюся в том, чтобы по любой машине ТьюрингаТ и слову Р в ее внешнем алфавите узнать, применима ли Т к начальнойконфигурации q1 P .Проблема останова алгоритмически неразрешима, т.к. если бы она быларазрешимой, то взяв в качестве Рслово Код(Т), мы получили бы разрешимость проблемы самоприменимости.2 0 ) Приведем теперь неразрешимые проблемы, связанные о проверкой свойствчастично рекурсивных функций. Пусть U (n, x ) - универсальная функция дляодноместных частично рекурсивных функций и соответствующая ей нумерацияфункцийf0 ( x), f1 ( x),..., fn ( x),...где fn ( x) = U (n, x)(2)Теорема 2.Проблема "функция f n всюду определена", n ∈ N 0 алгоритмическинеразрешима.Док-во.Определим характеристическую функцию данной проблемы1 , еслиg ( x) = 0f x всюду оп ределена,else(3)Определим новую функцию Ф(x)? где f x ( x) + 1 , если f xФ ( x) = 0,всюду оп ределенаelse(4)Заметим,что функция Ф(x) всюду определена.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее