М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 22

3.3.8). Поскольку эти^7~ьтри оси 4 эквивалентны (они связаны осями третьего порядка),,/ Xйячейка имеет форму куба, т. е.« ^ p ^ Y ^ Q O 0 , a = b = c.Такая№0°гкристаллографическаясистеманазывается кубической.Таким образом, семи голоэдрическим группам, описывающимсимметрию различных решеток,отвечает шесть координатных систем, которые перечислены вА—— -«—&6,1табл. 7. Отметим, что для решеток с симметрией mmm, 3m, Рис. 3.3.8. Кубическая система координат и кубическая ячейка4/mmm и m3m кристаллографическая система координат выбирается однозначно.

В решетке симметрии б/mmm возможны дваэквивалентных способа выбора координатных осей. В решетках,описываемых группами 1 и 2/т, кристаллографические оси координат можно выбрать многими способами.Таблица 7Координатные системы кристалловСимметриярешеткиГ2/тtntntn4/ mmmЗт6/ттттЗтУсловия, налагаемые на параметры ячейки—а = р = 90°а == р = Y = 90°a = p = Y=90°,a=b\ а ^ р ^ 9 0 ° , у = 120°, a = bа = р = у = 90° , a=^b ^cНазвание координатной системы(решетки, ячейки)триклиннаямоноклиннаяортогональнаятетрагональнаягексагональнаякубическая111В следующем разделе нам потребуются данные о координатных системах двумерных решеток (потребность в них вообщевозникает достаточно часто).

Поэтому проведем аналогичныйанализ и для двумерных групп Т.о-а-Оо—Рис. 3.3.9. Координатные системы и ячейки узловых сетокСначала рассмотрим симметрию узловых сеток. Здесь можнобыло бы воспользоваться двумерными точечными группами, однако, коль скоро они не фигурировали в нашем изложении, будемпо-прежнему пользоваться трехмерными группами, считая, чтос узловой сеткой всегда совмещена плоскость т.Очевидно, что для двумерного пучка трансляций справедливытеоремы, сформулированные в разделе 3.2. Но если в трехмерномслучае эти теоремы приводят к семи голоэдрическим точечнымгруппам, то применительно к двумерным узловым сеткам некоторые из этих групп следует исключить.

Прежде всего нужно отбросить группу 1^ как не содержащую плоскости т. Кроме тогоготпадает группа Зт. Действительно, ось 3 может быть ориентирована только перпендикулярно узловой сетке. Но в группе 3/п нетплоскости т, перпендикулярной оси 3. Очевидно, что к узловойсетке неприменима и группа гаЗт. Таким образом, симметриядвумерной решетки описывается только группами 2/т, тгага,А/ттт и 6/ттт (голоэдрические группы /С для двумерного случая) .Теперь выберем в двумерных решетках кристаллографическиекоординатные системы подобно тому, как это было сделано для112трехмерного случая. Естественно, здесь мы имеем дело с двумерным координатным крестом, содержащим векторы а, Ь, —а, —Ь,и двумерной ячейкой, характеризующейся параметрами а, Ь и у.Правила выбора кристаллографических осей остаются прежнимис той лишь разницей, что требование минимума объема ячейкизаменяется требованием минимума ее площади.

Конечный результат представлен в следующей таблице:Симметрия решетки2/шmmrn4/mmm6/mmmУсловия, налагаемыена параметры ячейкиY -90°у = 90°, а~ЬY - = 120°, а = ЬНазвание координатной системы(решетки, ячейки)косоугольнаяортогональнаятетрагональнаягексагональнаяСоответствующие ячейки показаны на рис. 3.3.9.3.4. Т И П Ы РЕШЕТОК ( Т И П Ы БРАВЭ)Мы приступаем к изложению очень важного вопроса, правильное понимание которого необходимо для каждого, кто имеет делос кристаллическими структурами. Между тем здесь нередко встречаются характерные ошибки (даже в специальной литературе).Существует лишь небольшое число типов решеток, их нетрудно перечислить. Это обстоятельство представляет собой точныйматематический факт.

Вместе с тем число возможных кристаллических структур бесконечно, и установление типа решетки, присутствующей в той или иной кристаллической структуре, — нетривиальная задача. Важно помнить, что узел решетки вовсе не адекватен атому (или молекуле) в структуре, о чем красноречивосвидетельствует пример, приведенный на рис. 3.1.6.В настоящем разделе речь идет только об узлах решетки —это необходимо подчеркнуть, чтобы не сложилось неверное представление, которое впоследствии придется преодолевать. Сначаламы приводим перечень и описание всех типов двумерных и трехмерных решеток, а затем даем последовательный вывод этих типов, который при желании читатель может пропустить.

Основнойс практической точки зрения вопрос — определение типа решеткив конкретной структуре — пока останется открытым. Частичноон будет рассмотрен в следующем разделе, но для окончательногоего решения нельзя обойтись без материала, представленногов главе 5. Только в разделе 5.5 будут даны полные рекомендации,позволяющие безошибочно определить тип решетки в каждом конкретном случае.Дре секторные группы трансляций (или две узловые решетки)называются однотипными, если они имеют одинаковую голоэдрическую группу симметрии К и если при этом одна из них можетбыть преобразована в другую непрерывной деформацией, причемв процессе деформации симметрия пучка векторов должна бытьне ниже /С Здесь подразумевается, что деформация состоит в изменении численных значений параметров координатного креста.Соответственно тип решетки представляет собой совокупностьоднотипных решеток.

Эти определения справедливы для решетоклюбой размерности.Чтобы охарактеризовать тип решетки, необходимо и достаточно указать два ее признака: а) координатную систему, б) тип«центрировки» ячейки.Мы уже говорили, что элементарная ячейка может быть какпримитивной, так и непримитивной.

Но если оси координат выбраны правильно, то дополнительные узлы (т. е узлы, не лежащиев вершинах ячейки) возникают лишь в некоторых вполне определенных позициях, и число возможных вариантов невелико. Непримитивные ячейки (и соответствующие решетки) называют также центрированными.Рис.3.4 1. Типы узловых сетокВ двумерном случае центрированная ячейка возникает тольков ортогональной сетке (рис. 3.4.1). В итоге существуют лишь 5 типов двумерных решеток: 1) косоугольная примитивная, 2) ортогональная примитивная, 3) ортогональная центрированная, 4) тетрагональная примитивная, 5) гексагональная примитивная.114Рис. 3.4.2. Примитивная и центрированные элементарные ячейкиТаблица^7 8Возможные способы размещения узлов в элементарной ячейкеОбозначениеЯчейкаПримитивнаяОбъемноцентрированнаяБазоцентрированнаяРIС (А, В)*ГранецентрированнаяFДважды объемноцентрированнаяRОписаниеузлы только в вершинах ячейкидополнительный узел в центре объемадополнительные узлы в* центрах двухпротиволежащих гранейдополнительные узлы в центрах всехгранейдва дополнительных узла на объемнойдиагонали, делящие эту диагональ натри равных отрезка* Обозначение С относится к ячейке, у которой центрирована грань аЪ\ ячейкис дополнительными узлами на гранях be и ас обозначаются А и В соответственно.В трехмерном случае возможны различные способы центрировки ячейки (табл.

8 и рис. 3.4.2). Но для каждой голоэдрической группы симметрии решетки реализуются только некоторые изэтих вариантов. Так, триклйнная ячейка всегда примитивна, чтоуже отмечалось выше; тетрагональная ячейка может быть координатная системаСпособ центрировкипримитивной и объемноцент- _______рированной; дважды объемно- ———————Рцентрированная ячейка возни- ТриклйннаяР, А (В)кает только присимметрии ре- Моноклиннаяк—к гОртогональнаяР, /, С (А, В), Fшетки Зт. Полный перечень ТетрагональнаяР, /ТИПОВрешетки(ИЛИ, ЧТО ТО Гексагональнаяже, типов ячейки) таков:КубическаяР, ЯР, /, F115-Таким образом, существует 14 типов трехмерных решеток (соответствующие ячейки изображены на рис.

3.4.3). Эти типы носятимя французского кристаллографа О. Бравэ, который нашел ихв 1848 г.-rxРис 3.4.3 14 типов элементарных ячеек (типы Бравэ)Важной особенностью гексагональной дважды центрированнойрешетки является то, что в ней всегда можно выбрать примитивный параллелепипед повторяемости, имеющий форму ромбоэдра116(рис. 3.4.4). Поэтому такую решетку часто называют ромбоэдрической', отсюда же происходит и ее обозначение R. Ребро примитивного ромбоэдра аР и угол при его вершине ар связаны с параметрами гексагональной ячейки следующими формулами:Теперь дадим последовательный вывод всевозможных двумерных, а затем и трехмерных решеток.Рис.

3.4.4.Примитивный ромбоэдр в гексагональной дважды объ^емноцентрированной решеткеРис.пов3.4.5. К выводу тиортогональных узловых сетокРис. 3.4.6. Переход от тетрагональной центрированнойячейки к тетрагональнойпримитивнойКосоугольная двумерная решетка сохраняет свою симметрию 2/т при любыхдеформациях. Следовательно, все такие решетки относятся к одному типу. Единственное ограничение в выборе осей координат — это требование минимальнойплощади ячейки. Поэтому ячейка всегда примитивна.Чтобы найти возможные типы ортогональной двумерной решетки симметрииmmm, направим в ней базисный вектор ti вдоль одной из осей 2, лежащих вплоскости узловой сетки, а второй базисный вектор t2 разложим на составляющиеt2 = T' + t", причем т' направлена вдоль другой оси 2, а т" ей перпендикулярна(рис 3.4.5).