Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра, страница 35

Обсуждаемые в гл. 5 симметричные матрицы никогда не бывают дефектными. Предложение 4.2. У жорданова блока имеется только один (с точностью до умножения на ненулевое число) правый собственный вектор ет —— (1, О,..., 0]т и только один левый собстпвенный вектор е„= [О,..., О, Ц« . Поэтому и собственным значениям матрицы тогда и только тогда соответствуютп п линейно независимых собственных векторов, когда эта матрица диагонализуема. В этом случае Я тАЯ = йак(Л«), что эквивалентно равенству АЯ = Яйая(Л«); таким образом, «'-й столбец матарицтя Я есть правый собственный вектор для Л;. Соотношение Я 'АЯ = йак(Л«) эквивалентно также равенству В тА = йая(Л;)Я т, поэтому вектор, сопряженный с т-й строкой матрицы В «, является левьсм собственным вектором длл Л;.

Если все п собственных значений матрицы А роэличньц то А — диагонализуемая матрица. Доказательство. Чтобы упростить обозначения, положим д = .7 (Л). Легко видеть, что .7ет = Лет и е„д = Ле„, поэтому ет и е„суть соответственно правый т т и левый собственные векторы для д. Чтобы убедиться в том, что д имеет единственный (с точностью до умножения на число) правый собственный вектор, заметим, что всякий собственный вектор х должен быть решением системы (з' — Л1)х = О, т.е. принадлежать ядру матрицы 0 1 ,1 — Л1 = Очевидно, что ядром матрицы д — Л1 является зрап(ет), так что действительно имеется только один собственный вектор.

Если все собственные значения матрицы А различны, то квзкдый ее жорданов блок имеет размер 1 х 1, поэтому 1 = 41аб(Лы..., Л„) — диагональная матрица. О Пример 4.1. Проиллюстрнруем понятия собственного значения и собственного вектора с помощью задачи о механических колебанилх. Как мы увидим, дефектные матрицы могут возникать в естественном физическом контексте. 153 4.2. Канонические формы ~ — хп "и ° ° ° П1в :Л -х; х| ° ° ° ьв ь, ь; х; = положение 1-й точки 10 = положение равновесия) гп, = масса |-й точки 11 = коэффициент упругости|-й пружянм Ь; = коэффипиепт демпфпроввиия |-го демпферв Рис. 4.1.

Связанная система материальных точек с демпфированием. Закон Ньютона г = п|а в применении к этой системе дает уравнения пг,хг(8) = 1гг(хг 1(3) — х|(3)) воздействие пружины 1 на точку 1 + Ььь~ (хьь| (3) — х|(Ф)) воздействие пружины 1+ 1 на точку 1 — Ь|х|(|) воздействие демпфера 1 на точку 1 или Мх(1) = — Вх(3) — Кх(2), (4.3) где М = г)гая(тг,...,пг„), В = |Пгая(Ь|,... Ь„) и к| + к2 — Кв ь2 ь2 + КЗ ьэ Кп-1 ьп-1 + )Еп ьп — й„й„ Предполагается, что все массы т, положительны.

Матрицу М называют матрицей масс,  — мап|рицей демпфирования и К вЂ” матрицей жесткости. Инженеры-электротехники приходят к аналогичному уравнению при анализе линейных цепей, пользуясь вместо закона Ньютона законами Кирхгофа н некоторыми родственными правилами. В этом случае вектор х представляет токи через ветви цепи, матрица М составлена из индуктивностей, В из сопротивлений и К из полных проводимостей (величин, обратных емкостям).

Воспользуемся стандартным приемом для сведения этого дифференциального уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка, состоящим в замене переменной Рассмотрим рис. 4.1, где изображена связанная система материальных точек с демпфированием. Эту систему мы используем для иллюстрации разнообраз- ных задач на собственные значения. 154 Глава 4. Несимметричная проблема собственных значений Повохення 0 2 4 В В 10 12 14 1В 1В 20 Время Скорости 1 0 2 4 В В 1О 12 М ГВ 1В 20 Время Рис.

4.2. Положения и скорости материальных точек в связанной системе с массами пзз = пзз = 2 и 1оз = тз = 1. Все коэффициенты упругости Ьз равны 1. Все коэффициенты демпфирования Ь, равны 4. Начальные смещения равны хз(0) = — 0 25, хз(0) = хз(0) = 0 и хз(0) = 0.25. Начальные скорости равны ез(0) = — 1, ез(0) = ез(0) = 0 и о4(0) = 1. Положения равновесия суть 1, 2, 3 и 4. Программа, рассчитывающая произвольные связанные системы материальных точек с выдачей соответствующих графиков, содержится в НОМЕРАСЕ/МаЗ!аЬ/шаверг1пй.ш.

Это дает х(1)1 ( — М-'Вх(1) — М-'Кх(1) ""= *()~ = ~ *() ж х(1) — М ' — М 'К 1 0 ~ -и-'в -М 'К 0 . д(1) = — Ар(1). (4.4) При решении уравнения у(1) = Ау(1) предположим, что значение у(0) задано (т.е. заданы начальные положения х(0) и скорости х(0)). Данное дифференциальное уравнение можно решать с помощью представления р(1) = с~~у(0), где е~~ — матричная экспонента. Мы применим другой, более элементарный метод для специального случая диагонализуемой матрицы А. Впрочем, предположение о диагонализуемости выполнено для почти всех значений величин тз, /01 и Ьз. Мы вернемся к анализу остальных ситуаций позже.

(Общая задача о вычислении матричных функций типа елз обсуждается в равд. 4.5.1 и вопросе 4.4.) Для диагонализуемой матрицы А можно написать А = ЗЛЯ 1, где Л = 011аб(Л1,...,Л„). Тогда соотношение у(1) = Ау(1) эквивалентно равенству у(1) = БЛБ ~у(1), или Я ~у(1) = ЛЯ 1(1), или 2(1) = Лх(1), где х(1) = Я ~у(1). Эта диагональная система дифференциальных уравнений 21(з) = Лзгз(1) име- 4.2.

Канонические формы 155 ет решение хь(с) = е"зь(0), поэтому у(с) = Яйай(еь",...,е~"ь)Б 'у(0) = Яельб 'у(0). Рис. 4.2 иллюстрирует решение конкретной задачи с четырьмя массами и пружинами. Чтобы понять физический смысл недиагонализуемости матрицы А в связанной системе, рассмотрим случай системы, состоящей из единственной точки, одной пружины и одного демпфера. Дифференциальное уравнение такой системы упрощается к виду. тх(с) = — 6х(с) — /сх(Ь), поэтому А ! — и/т — и/т 1 ~. Двумя собственными значениями матрицы А являются числа Л» = — ( — 1 х (1 — — р-) /.

Случай — р — < 1 соответствует сильному ь р «ьт «ь«к дсмпфированию. В этом случае система имеет два вещественных отрицательных собственных значения с полусуммой — —, а ее решение с течением времени ь монотонно стремится к нулю. При «ью ) 1 имеем слабо затухающее демпфирование. У системы два сопряженных комплексных собственных значения с вещественной частью — —, а решение, убывая к нулю, осциллирует. В обоих ь этих случаях матрица си™стены диагонализуема, так квк собственные значения различны. Случай ~~~™ = 1 соответствует критическому демпфированию. Оба собственных значения вещественны и равны — —, а А имеет единствень ный жордвлов 2 х 2-блок с этим собственным значением.

Другими словами, недиагонализуемые матрицы образуют «границу» между двумя физическими режимами поведения: осцилляциями и монотонным убыванием. Пусть А диагонализуема, но матрица Я плохо обусловлена, так что хорошее приближение к Я ' вычислить трудно. В этом случае явная формула для решения у(Ь) = Яе~~Я ~у(0) даст очень неточный результат, т. е., с вычислительной точки зрения, она бесполезна.

В дальнейшем мы будем постоянно возвращаться к этой механической системе, поскольку она хорошо иллюстрирует многие зздачи на собственные значения. О Чтобы продолжить наше обсуждение канонических форм, удобно ввести следующее обобщение понятия собственного вектора: Определение 4.4. Подпространство Х из К", обладающее тем свойством, что из х й Х следует включение Ах й Х, называется инварнантным подпространством матрицы А. Это определение можно записать и включением АХ С Х, Простейшим (одномерным) инвариантным подпространством является множество арап(х) всех скалярных кратных собственного вектора х.

Укажем аналогичный способ построения инвариантных подпространств большей размерности. Положим Х = [хы...,х ], где хы...,х,„— произвольная линейно независимая система собственных векторов для собственных значений Лы..., Л . Тогда Х = арап(Х) есть инвариантное подпространство. Действительно, из х й Х следует, что х = ~,, а;х; для некоторых сквляров а„ поэтомУ Ах = 2,ы, а;Ах; = ~,, а;Л;х; Е Х. Если ни одно из собственных значений Л, не равно нулю, то АХ совпадает с Х.

Описанная конструкция обобщается в следующем предложении. П Предложение 4.3. Пусть А — матрица порядка и, а Х = (хы..., х ] — произвольная п х т-матрица с линейно независимыми столбцами. Обозначим 156 Глава 4. Несимметричная проблема собственных значений через Х = гран(Х) надпространство размерности т, натянутое на столбцы матрицы Х. В таком случае, Х тогда и гаолько тогда является инвариантным подпространством матрицы А, когда найдется т х т-матрица В, танец что АХ = ХВ. 11ри этом т собственных значений матрицы В будут в то лсе время собственными значениями для А.

(Если т = 1, то Х = [хг] есть собственный вектор, а  — собственное значение.) Доказательство. Предположим вначале, что Х вЂ” инвариантное надпространство. Тогда всякий вектор Ах; принадлежит Х, а потому Ах; должен быть линейной комбинацией базисных векторов этого надпространства: Ах, ~"™ х Ь ь Эти соотношения эквивалентны матричному равенству АХ = ХВ. Обратно, равенство АХ = ХВ означает, что всякий вектор Ах, есть линейная комбинация столбцов матрицы Х, поэтому Х вЂ” инвариантное подпространство.

Пусть теперь АХ = ХВ. Возьмем какую-нибудь матрицу Х размера и х (и — т) так, чтобы матрица Х = (Х, Х] была невырождениой. Тогда матрицы А и Х 'АХ подобны, следовательно, имеют одни и те же собственные значения. Положим Х ' = ~ - ы,„„], тогда из Х ~Х = 1 следует, что УХ = 1 и УХ = ! В УАХ] - ~ . Отсюда заключаем (см. вопрос 4.1), что множество собственных значений матрицы А есть объединение множеств собственных значений матриц В и УАХ. О Запишем, например, соотношения 5 'А5 =,У = 61ая(дт(Л;)), определяющие каноническую форму Жордана, в виде А5 = 5,1, где 5 = (5ы 5г,..., 5г] и матрица 5, имеет п, столбцов (столько же, сколько и .У„, (Л;); по поводу обозначений см.

теорему 4.1). Тогда из А5 = 5,У выводим, что А5, = 5,,1ьч(Л;), т.е. подпространства зрап(5;) являются инвариантными подпространствамн матрицы А. Жорданова форма дает нам полную информацию о собственных значениях, собственных векторах и инвариантных подпространствах матрицы. Кроме того, имеются основанные на жордановой форме явные формулы для вычисления ел или любой другой функции от матрицы (см. равд. 4.5.1). Однако реальное вычисление жордановой формы затруднено по двум причинам: Первая причина: жорданова форма не является непрерывной функцией от А, поэтому ошибки округлений могут совершенно изменить ее.

Пример 4.2. Пусть матрица уже имеет жорданову форму 0 1 157 4.2. Канонические формы Взяв произвольно малое е, добавим число? е к элементу 1г,1) для г' = 1,...,и. Тогда собственными значениями станут т различных чисел г е, поэтому жорданова форма изменится от,У„10) к йаб(г, 2е,..., пс). О Вторая причина: в общем случае, жорданова форма не может быть вычислена устойчиво. Иначе говоря, для вычисленных Я и д мы не можем гарантировать, что при некоторой малой матрице 6А имеет место равенство Я '1А+ 6А)Я = Х. Пример 4.3. Предположим, что равенство Я 'АЯ = д выполнено точно и матрица Я обусловлена очень плохо 1т. е. число к1Я) = ЙЩ 'Оо г Й очень велико). Пусть нам очень повезло и матрицу Я удалось вычислить точно, а д— лишь с очень малой ошибкой бд, так что Обд)~ = 01е)ОА(!.