Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 7

Сформулируем его в виде теоремы.7. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ЗАПУТАННОСТЬ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ35Теорема 7.5. Имеется чистое двухчастичное состояние в пространстве HA ⊗ HB :dim(HA ) dim(HB )XXaij |iiA |jiB ,|ψi =j=1i=1dim(HA ) dim(HB )XXi=1j=1|aij |2 = 1.Тогда существуют ортонормированные базисы eiA и eiB пространств HAи HB соответственно, такие, что|ψi =dXλi |eiiA |eiiB ,i=1где d = min(dim(HA ), dim(HB )), λi ∈ R,λi ≥ 0,dPλ2i = 1.i=1Действительные амплитуды λi называются коэффициентами Шмидта, а число ненулевых коэффициентов Шмидта – рангом Шмидта состояния.Задача 104.

Чистое двухчастичное состояние запутано тогда и толькотогда, когда его ранг Шмидта больше единицы.Ранг Шмидта может являться мерой запутанности двухчастичныхсостояний. Т.е. чем больше ранг Шмидта, тем сильнее запутано состояние. Теория мер квантовой запутанности выходит за рамки данной книгии мы не будем разбирать подробно это утверждение.7.4Разложение Шмидта и редуцированные матрицы плотностиРазложение Шмидта тесно связано со спектром редуцированных матрицплотности состояния. Кроме того, благодаря разложению Шмидта, легкоувидеть связь двух матриц плотности подсистем одного состояния.Снова запишем двухчастичное состояние в виде разложения Шмидта:|ψi =dXλi |eiiA |eiiB .i=1Задача 105. Вычислите редуцированные матрицы плотности ρA = T rB (|ψihψ|)и ρB = T rB (|ψihψ|).36Задача 106.

Убедитесь, что собственные значения матриц ρA и ρB совпадают и представляют собой квадраты коэффициентов Шмидта.Задача 107. Убедитесь, что |eiiA и |eiiB являются собственными векторамиρA и ρB соответственно.Следствием приведенных выше свойств является важная связь понятий чистоты и незапутанности:Задача 108.

Докажите, что двухчастичное состояние незапутано тогда итолько тогда, когда матрицы плотности его подсистем являются чистыми.Кроме того, приведенные выше свойства дают алгоритм вычисленияразложения Шмидта двухчастичного состояния |ψi без использованияSVD-разложения:1. Вычислить редуцированные матрицы плотности ρA = T rB (|ψihψ|)и ρB = T rB (|ψihψ|).2. Найти общие собственные значения ai и соответствующие им собственные вектора |eiiA и |eiiB матриц ρA и ρB .3.

Разложение Шмидта будет иметь вид:dX√ e eai |iiA |iiB .|ψi =i=1√Задача 109. Найти разложение Шмидта состояния 1/5 2(5|00i + 3|10i −4|11i).Задача 110. *(Расширение состояния до чистого) Доказать, что для любого смешанного состояния ρA ∈ HA ⊗ HA∗ найдется чистое состояние|ψi ∈ HA ⊗ HB , такое, что ρA является состоянием его подсистемы, т.е.ρA = T rB (|ψihψ|).Указание. Использовать связь коэффициентов Шмидта чистого запутанного состояния со спектром его смешанных редуцированных матриц плотности.Задача 111. *Какова минимальная возможная размерность пространства HB из предыдущей задачи?Замечание 7.6.

Как и в случае с анализом двухчастичной запутанности,можно рассматривать разложение Шмидта многочастичной системы подвум подсистемам (разбиению множества частиц на два).√Задача 112. ** На примере состояния |W i = 1/ 3(|100i + |010i + |001i)показать, что для трех кубитов не существует разложения Шмидта, т.е.|W i =6 λ0 |0̃0̃0̃i+λ1 |1̃1̃1̃i. Или, что эквивалентно, не существует унитарныхматриц U1 , U2 , U3 , таких, что U1 ⊗ U2 ⊗ U3 |W i = λ0 |000i + λ1 |111i.7. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ЗАПУТАННОСТЬ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ37Указание. Рассмотреть разложение Шмидта для первого кубита идвух оставшихся. Использовать его единственность.7.5Энтропия фон НейманаДля матриц плотности важную роль играет аналог классической энтропии Шеннона - энтропия фон Неймана:HvN (ρ) = −tr(ρ log ρ).Как и в случае энтропии Шеннона, основание логарифма не играет существенной роли.Задача 113.

Как вычислять энтропию фон Неймана?Указание. Вспомнить, как вычислять матричные функции от эрмитовых матриц.Задача 114. Вычислить энтропию фон Неймана матрицы плотности2/3 1/3ρ=1/3 1/3Задача 115. Доказать, что энтропии фон Неймана матриц плотности подсистем чистого двухчастичного состояния совпадают.Предыдущая задача дает возможность ввести следующие определение:Определение 7.7. Энтропия фон Неймана подсистем чистого двухчастичного состояния называется его редуцированной энтропией фон Неймана.Задача 116.

Доказать, что редуцированная энтропия фон Неймана состояния совпадает с энтропией Шеннона квадратов его коэффициентовШмидта.Задача 117. Доказать, что матрица плотности является чистой тогда итолько тогда, когда HvN (ρ) = 0. Или, что эквивалентно, двухчастичноесостояние является незапутанным тогда и только тогда, когда его редуцированная энтропия фон Неймана равна нулю.Замечание 7.8. Редуцированная энтропия фон Неймана, как и ранг Шмидта, может служить мерой двухчастичной запутанности.38Литература1. Винберг Э. Б.

Курс алгебры. Факториал Пресс, 2002.2. Деммель Д. Вычислительная линейная алгебра. МИР, 2001.3. Колмогоров А.Н. Ф. С. Элементы теории функций и функционального анализа . Физматлит, 2006.4. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация:Пер с англ. МИР, 2006.5. Ожигов Ю. И. Квантовые вычисления. Учебно-методическое пособие.2003.6.

Preskill J. Lecture notes for physics 229: Quantum information and computation // California Institute of Technology. 1998.39.